考点09 数字特征与概率的计算问题（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点09 数字特征与概率的计算问题 概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。例如：2021年全国高考甲卷（文）、（理）[17]，2022年全国新高考卷Ⅰ[20]，2022年全国乙卷（文）、（理）[19]，2022年全国甲卷（文）[17]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。 〔1〕样本的数字特征： 1.众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或者最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数. 平均数：. 2.样本方差、样本标准差 标准差，其中是样本数据的第i项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映数据总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方。 3.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就是数据在对应区间的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础.准确理解频率分布直方图的特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组对应的频率除以组距，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆。 〔2〕概率计算： 1.古典概型： 2.互斥事件与对立事件：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1。 3.相互独立事件：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。 4.条件概率问题的解题步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在······条件下”“在······前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响所求事件发生的概率时，也需注意是否为条件概率。第二步，利用公式计算概率，若事件A与事件B相互独立，且P(A)>0，则P(B|A)=P(B)。 5.全概率公式：，，，……，是一组两两互斥的事件，∪∪……∪=，且，i=1，2，……，n，则对任意的事件B⊆Ω，有。 例1．（2022年全国乙卷（文）、（理）·19）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·17）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 1．（2022·广西·模拟预测（理））某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关. 属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计 男生 女生 合计 参考公式：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.