条件概率讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学条件概率核心知识点，系统梳理其核心原理（事件已发生前提下的概率，本质是缩小样本空间，核心公式为P(B|A)=P(AB)/P(A)）、解题思路（两步法：定条件与目标、选公式计算）及核心技巧（样本空间关键、积事件理解等），构建从原理到步骤再到技巧的学习支架。 该资料亮点在于例题与变式训练丰富，涵盖摸球、生肖、航天值班等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界。解题“两步法”强化逻辑推理，体现数学思维，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

条件概率讲义 条件概率讲义 知识点解析 一、核心原理 条件概率是在事件已发生的前提下，事件发生的概率，本质是缩小样本空间，将原样本空间限定为事件的结果集，再求在该子集内的发生概率；核心公式：（，为同时发生的概率），或古典概型下直接用（为基本事件数）。 二、解题思路（两步法） 1. 定条件与目标：明确条件事件（已发生）和目标事件（待求概率），区分“在发生下的概率”与普通概率； 1. 选公式计算： · 古典概型（有限等可能）：直接数的基本事件数、同时发生的事件数，代入； · 一般概型：先求（条件事件概率）和（积事件概率），再代入核心公式计算。 三、核心技巧与注意事项 1. 样本空间是关键：计算时始终以发生为前提，切勿仍用原样本空间计算； 1. 积事件理解：表示“发生且发生”，并非独立； 1. 古典概型优先数个数：比先算和更简洁，减少计算错误； 1. 验证：条件事件概率不能为0，否则无意义。 例题分析 例1．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 例2．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 例3．（25-26高二下·江苏南京·月考·多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A为“两次的点数均为奇数”，B为“两次的点数之和小于7”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题可知； 若两次的点数之和小于7，则当第一枚骰子的点数分别为时，第二枚骰子的点数依次有种可能， 所以； 若“两次的点数均为奇数”，且“两次的点数之和小于7”则两枚骰子的点数组成的数对可能为，共6种情况， 所以. 所以； ，故A,B,D正确，C错误. 例4．（2026·陕西榆林·三模·多选）对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 例5．（25-26高二下·河北石家庄·月考）用组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是__________. 【答案】 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数，并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数，并分在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： （1）当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； （2）2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后将剩余的1个偶数和2个奇数填入剩余的3个空位中，此时有种， 所以，个位是偶数共有种， 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻的数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 例6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 例7．（25-26高二下·广东广州·月考）考虑恰有两个小孩的家庭．（假定生男生女为等可能） (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设事件写出样本空间，再应用条件概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算求解. 【详解】（1）（1）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． 设“有男孩”，则（男，男），（男，女），（女，男）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是得， 所以； （2）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是， 所以． 例8．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 变式训练 变式1．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·月考）设A，B为两个事件，且，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因， 则. 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 【答案】BCD 【分析】根据古典概型即可判断AC；根据条件概率公式即可判断B；根据互相独立事件的概率公式即可判断D． 【详解】由题可知，总基本事件数为，事件为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分配需保证少华山和渭华起义纪念馆都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与A同往华山，其余2人在少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与1人在少华山和渭华起义纪念馆排列，共有种， 所以，同理可得，故A错误； 事件：当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况， ①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②华山或少华山有两位同学研学， 在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共有种情况； 所以事件共有种情况， 所以，故C正确； 因为，，，， 所以，故B正确； 因为， 所以事件A与事件B不独立，故D正确； 故选：BCD． 变式4．（25-26高二上·广西北海·期末·多选）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 【答案】ABD 【分析】利用概率的加法公式判断A，利用独立事件的概率公式判断B，利用条件概率公式判断C，利用条件概率公式结合互斥事件概率的加法公式判断D即可. 【详解】对于A，由概率加法公式得， 解得，故A正确， 对于B，因为，所以， 则事件相互独立，故B正确， 对于C，由条件概率公式得，故C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以由条件概率公式得， 可得，则， 解得，则A与C互斥，故D正确. 故选：ABD 变式5．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以. 变式6．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 变式7．（25-26高二下·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求的“恰有一幅通过设计”事件分解为三个互斥的独立事件组合，分别用独立事件概率乘法计算每个组合的概率，再相加得到最终结果； （2）明确所求为条件概率，找出对应分子和分母，代入条件概率公式计算得结果. 【详解】（1）设分别表示通过设计图案环节， 由题得，且三个事件相互独立. 恰有一幅通过设计环节可分解为仅通过、仅通过、仅通过三个互斥事件， 设仅通过为事件： 仅通过为事件： 仅通过为事件： 由互斥事件概率加法公式，恰有一幅通过的概率： （2）设事件为“三幅中恰有一幅通过设计环节”，事件为“通过设计的作品为”， 由条件概率公式： 其中即“仅通过设计环节”， 故， 由（1）知， 所以 变式8．（25-26高二下·福建厦门·月考）考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设事件写出样本空间，再应用条件概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算求解. 【详解】（1）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． 设“有男孩”，则（男，男），（男，女），（女，男）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是得， 所以； （2）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是， 所以． 实战演练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶， 由题意可得，， 所以. 2．（25-26高二下·江苏淮安·月考）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】事件两次投掷点数和为9的所有情况为：，共4种； 总样本空间为种，则； 事件要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：，共2种： ； 由条件概率公式得：． 3．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【分析】结合题意，设出事件，根据条件概率的计算公式，直接求解即可. 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 4．（25-26高三上·天津宝坻·月考）袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【答案】 【分析】利用对立事件概率的性质以及条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 5．（24-25高二下·广东深圳·月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定已知“男生甲被选中”的概率，再计算“女生乙被选中”的概率，用条件概率公式求解； （2）先计算“一男一女”的概率，再计算“女生乙被选中”的概率，用条件概率公式求解. 【详解】（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况， 记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为5种，故． 记“女生乙被选中”为事件，则，故． （2）记“被选中的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，，故． 6．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为比赛终止时小明的积分，要计算，列举全部三种积分达到分且比赛终止的胜负平序列，分别计算概率并相加. （2）设为“比赛两场便终止”，为“晋级成功”，两场终止只有连胜或连负两种情况，计算和（连胜情形），代入条件概率公式即可. 【详解】（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场､第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负. ∴. （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知， . 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $条件概率讲义 条件概率讲义 知识点解析 一、核心原理 条件概率是在事件已发生的前提下，事件发生的概率，本质是缩小样本空间，将原样本空间限定为事件的结果集，再求在该子集内的发生概率；核心公式：（，为同时发生的概率），或古典概型下直接用（为基本事件数）。 二、解题思路（两步法） 1. 定条件与目标：明确条件事件（已发生）和目标事件（待求概率），区分“在发生下的概率”与普通概率； 1. 选公式计算： · 古典概型（有限等可能）：直接数的基本事件数、同时发生的事件数，代入； · 一般概型：先求（条件事件概率）和（积事件概率），再代入核心公式计算。 三、核心技巧与注意事项 1. 样本空间是关键：计算时始终以发生为前提，切勿仍用原样本空间计算； 1. 积事件理解：表示“发生且发生”，并非独立； 1. 古典概型优先数个数：比先算和更简洁，减少计算错误； 1. 验证：条件事件概率不能为0，否则无意义。 例题分析 例1．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏南京·月考·多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A为“两次的点数均为奇数”，B为“两次的点数之和小于7”，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·陕西榆林·三模·多选）对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·河北石家庄·月考）用组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是__________. 例6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 例7．（25-26高二下·广东广州·月考）考虑恰有两个小孩的家庭．（假定生男生女为等可能） (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率． 例8．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 变式训练 变式1．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·月考）设A，B为两个事件，且，，则（    ） A． B．1 C． D． 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．事件A与事件B不独立 变式4．（25-26高二上·广西北海·期末·多选）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 变式5．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 变式6．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 变式7．（25-26高二下·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 变式8．（25-26高二下·福建厦门·月考）考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）． 实战演练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏淮安·月考）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 4．（25-26高三上·天津宝坻·月考）袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 5．（24-25高二下·广东深圳·月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 6．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $