期中培优：导数及其应用10种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：导数及其应用10种高频考点专项训练 期中培优：导数及其应用10种高频考点专项训练 考点目录 导数的定义及其运算 利用导数求切线问题 利用导数求函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值 利用导数图像研究函数性质 含参单调性讨论问题 恒成立求参数问题 函数零点问题 导数实际应用问题 考点一 导数的定义及其运算 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 例2．（23-24高二下·广西·期末）设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由已知， . 例3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考·多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】因为， ， ， ， 所以AD错误，BC正确. 例4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数在处的导数 _____. 【答案】 【详解】由题设，则. 例5．（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则 ___________. 【答案】1 【分析】先求出导函数再计算. 【详解】，. 变式1．（25-26高二下·天津西青·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：， A错误. 选项B：，B错误. 选项C：由商的求导法则，令，， 则，C正确. 选项D：由积的求导法则，令，， 则，与选项结果不符，D错误. 变式2．（25-26高二下·广西贺州·月考）下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以基本初等函数公式以及求导法则逐项判断即可. 【详解】，A正确． ，B错误． ，C正确． ，D正确． 变式3．（25-26高二下·山东济南·期中·多选）下列关于各函数导数的计算，正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】若，则，所以A正确； 若，则，所以B不正确； 若，则，所以C正确； 若，则，所以D不正确. 变式4．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数，则__________. 【答案】/ 【分析】通过求导，再令即可求解. 【详解】因为， 所以， 故. 变式5．（25-26高二下·江苏无锡·月考）若，则__________． 【答案】4 【详解】根据导数的定义可得 ， 由可得，可得， 即． 考点二 利用导数求切线问题 例1．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 例2．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 例3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确认点在曲线上，再对函数求导，根据乘积求导法则得导函数，然后将切点横坐标代入导函数， 得切线斜率 ，最后利用点斜式写出切线方程，将方程化为一般式即可. 【详解】因为，故点为函数图象上的切点， 因为，所以， 又因为，切线斜率为 在 处的值， 所以， 所以，， 所以， 即 . 例4．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数，则过原点且与函数图象相切的直线方程为__________． 【答案】 【分析】设切点，由导数的几何意义求得切线斜率，结合切线经过原点求得，即得切线方程. 【详解】由求导得， 设过原点的直线与该段图象相切于点，则， 解得，故切线方程为，即. 例5．（2026·海南省直辖县级单位·二模）曲线在点处的切线方程为_____. 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率为1，进而可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得，即切线斜率为1， 所以曲线在点处的切线方程为. 例6．（25-26高二下·天津·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 变式1．（25-26高二下·四川成都·月考）若直线是曲线的切线，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】先对曲线求导，得到曲线在某点处的切线斜率表达式，再结合已知切线方程的斜率，求出切点的横坐标，进而求出切点坐标，最后将切点坐标代入曲线方程，即可求出的值. 【详解】对曲线求导 设切点坐标为，因为切线的斜率为. ，解得，将代入切线方程可得. 切点坐标为. 将切点坐标代入曲线 可得，解得. 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义，求出切线方程，代入点，根据关于的一元二次方程有两个不同解，利用求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设过点的直线与相切于点， 则切线方程为， 代入， 得， 整理得， 因为有两条这样的切线， 所以此方程有两个不同解， 所以， 解得或， 所以实数的取值范围为. 变式4．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 【答案】和 【分析】设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，即可求出切点，则可得答案. 【详解】设切点， 因为，所以，则， 所以切线方程为：， 将点代入得：， 化简得：即： 解得：或 当时，切线方程为：，化简得：， 当时，切线方程为：，化简得：. 所以过点且与曲线相切的直线方程为和. 变式5．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 变式6．（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 考点三 利用导数求函数的单调性 例1．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 例2．（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，，，在上单调递增， 当时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 例3．（25-26高二下·天津河东·月考）函数的单调递减区间是_____________. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对求导得， 令，即，即， 因为函数在上单调递增，所以解得， 所以函数的单调递减区间为. 例4．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 例5．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 变式1．（25-26高二下·四川·月考）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 变式2．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 变式3．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 变式4．（25-26高二下·天津·月考）函数在上是单调函数，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的定义域为， . 的图象开口向下，所以不能恒成立. 因为函数在上是单调函数， 所以恒成立，所以， 解得. 所以的取值范围是. 变式5．（25-26高二下·广西·月考）判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)在上单调递减,的单调递减区间为 (2)在上单调递增,的单调递增区间为 【详解】（1） 求导得. 因为时，恒成立， 所以在上单调递减. 的单调递减区间为. （2） 求导得. 因为时，，故恒成立. 所以在上单调递增，的单调递增区间为. 考点四 利用导数求函数的极值 例1．（25-26高二下·吉林通化·月考）已知函数在处取得极小值，则（ ） A． B． C．或 D．3 【答案】B 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 例2．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，因为（）有两个极值点， 所以在R上有两个不同的实根， 所以或， 即. 例3．（25-26高二下·天津武清·月考）函数的极小值是______． 【答案】 【详解】， ， 令，则， 解得：， 随着的变化，和变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 由表可知，函数的极小值是． 例4．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 例5．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 变式1．（25-26高二下·天津·月考）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为函数有三个极值点，所以其导函数有三个不同的变号零点，先对原函数求导，转化为方程​有三个不同实根的问题，构造函数，对求导，分析其单调性与极值，确定范围 【详解】对求导得 有三个极值点有三个不同实根，整理得​， 设， 时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减 因此的极小值为，极大值为​；且当时，时，恒大于0 要使​有三个不同实根，则. 变式2．（25-26高二下·北京·月考）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A． B．1 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据是函数的极小值点求出的值，再列出表格求出的极大值 【详解】， 又是函数的极小值点，，. 经检验符合题意.. 令，，列表如下 极大值 极小值 的极大值为 变式3．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 【答案】3 【分析】由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论． 【详解】的定义域是,, 由题意在上有两个变号的零点， 设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根， 方程化为，即， 设，则在上恒成立， 所以在上是增函数， 又，因此，即， 所以问题等价于,即在上有两个不等的实根， 设，则， 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以函数在处取得极大值， 作出的大致图象及直线，如图， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3. 变式4．（25-26高二下·河北唐山·月考）已知函数在处取得极大值，则_________． 【答案】3 【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解. 【详解】求导可得， 由题意可得，即，解得或3， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 函数在处取得极大值，符合题意； 综上，. 变式5．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 考点五 利用导数求函数的最值 例1．（25-26高二下·四川德阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与导数的关系可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，则，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）知， 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，的极小值为， 又，，所以在区间上的最大值为，最小值为. 例2．（25-26高二下·天津南开·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间内的最值 【答案】(1) (2)最大值是2，最小值 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【详解】（1）函数，则，切点是， ，，故切线方程是. （2）令，解得或， 当时，； 当时，；当时，， 在和上单调递增，在单调递减， ，，，， 函数在区间内的最大值是2，最小值. 变式1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求当时，函数的最值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值. 【详解】（1）因为， 所以. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，所以. 综上，当时，函数的最小值为，最大值为. 变式2．（25-26高二下·福建三明·月考）设函数在处取得极大值． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1），， 由题意得，即，解得，，经验证符合题意， 所以． （2）由（1）可得， 令，得，， + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在，单调递增，在单调递减，且，，， 所以， 考点六 利用导数图像研究函数性质 例1．（25-26高二下·广东珠海·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 【答案】BD 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增， 可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误， 当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误. 例2．（25-26高二下·广西·月考·多选）导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 【答案】BCD 【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项. 【详解】根据导函数的图象可知：的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值；的两侧的小区域内，左增右减， 所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知A错误，BCD正确. 例3．（24-25高二下·河北邢台·月考·多选）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在点处的切线的斜率为0 D．有1个极大值点 【答案】BC 【分析】利用导函数图象得出的正负，求出函数的单调性，可判断AB；利用导数的几何意义可知C正确，根据极值点定义可得D正确. 【详解】根据图象可知在上满足，所以可知在上单调递减，即A错误； 在上满足，且不恒为0，即在上单调递增，B正确； 易知曲线在点处的切线是水平的，其斜率为0，C正确； 根据已有分析，在处取得极小值，其仅有1个极小值点，没有极大值点，D错误． 故选：BC 变式1．（24-25高二下·贵州贵阳·期中·多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    变式2．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】CD 【分析】由导函数图象与原函数关系可判断选项正误； 【详解】对于A，由图可得，又在附近，的符号发生了变化， 则是的极值点；注意到，但在附近，的符号没有发生变化，则不是函数的极值点，故A错误； 对于BC，由图可得当时，，则在上单调递增， 则不是函数的最小值点，故B错误，C正确； 对于D，由图可知，，即在处切线的斜率大于零，故D正确. 故选：CD 变式3．（24-25高二下·福建福州·期中·多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据所给函数图象可求得的单调性，结合图象可判断A错误，得出原函数的单调性可知B正确，C错误，再由极值点定义可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知当时，可得图象为单调递减的， 由图可知时，，即A错误； 对于B，由图象可得时，时， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有一个极值点，可得B正确； 对于C，由B选项分析可知，函数的单调递增区间为，即C错误； 对于D，由B选项分析可知，是函数的极小值点，可得D正确. 故选：BD 考点七 含参单调性讨论问题 例1．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2) 【分析】（1）求导函数，分讨论，由确定增区间，确定减区间； （2）结合（1）得的极小值，再由极小值小于0得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）由（1）可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取到极小值， 则，即． 令，由，故单调递增，且， 因此，即a的取值范围为． 例2．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求函数在的最值； (2)函数，若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) (3)时，单调递增区间为，无递减区间；时，单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）问题转换成，恒成立，由（1）得到，求解即可； （3）求导，通过，讨论导数符号，即可求解. 【详解】（1）对， 求导得 ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，， 所以函数最大值为，最小值为， （2）在上恒成立，等价于对任意恒成立， 由（1）知在的最大值为，因此只需：， 整理得， 解得或， 即的取值范围为， （3）的定义域为R，求导得， 分类讨论： ① 当时，恒成立， 因此在R上单调递增，无单调递减区间； ② 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上：时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 例3．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 变式1．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时，时，时讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 变式2．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求出切点、由导数几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解； （2）利用导数工具分、、和四种情况分析导函数正负情况即可求解函数单调性. 【详解】（1）若，函数， 所以， 所以切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由题可得函数定义域为，， 令或， 所以当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 考点八 恒成立求参数问题 例1．（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 例2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. (2) 【分析】（1）求导，对的取值进行讨论，根据导函数的符号确定函数的单调性. （2）分离参数，问题转化成，设，求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为，， 所以. 当时，由，由， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）因为，. 所以，. 设，，则， 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以，即实数的取值范围为. 例3．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导后转化为讨论的正负，分类讨论求解即可得； （2）参变分离后可得，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得. 【详解】（1）， 令，； 若，即，则恒成立， 故，故在上单调递增； 若，即，则，， 若，则，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则，， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）令，则， 整理得， 令，则， 令，则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 即. 变式1．（25-26高二下·江西南昌·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间； （2）由（1）得的最小值为，解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为. 对求导得. 当时，在上，，，，所以，则在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，，，所以，在上单调递减； 当时，，，，所以，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， ， 因为恒成立，所以，即， 移项可得，因为，两边同时除以a得， 令，，对求导得，所以在上单调递增， 又因为，所以即，根据单调性可知， 故实数a的取值范围. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)1 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【详解】（1）已知，则. 因为，则，解得， （2）由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 变式3．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述，的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． 考点九 函数零点问题 例1．（23-24高三上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由函数零点的意义可得，再构造函数，利用导数求出直线与函数图象有两个交点的的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，得，而，则，令， 函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，，又当时，， 则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数b的取值范围是. 例3．（25-26高三下·海南海口·月考）已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 【答案】(1)， (2)存在个零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到最小值小于，再利用零点存在性定理判断零点个数即可得解. 【详解】（1），， 由在处的切线为，则， 故，； （2）当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 变式1．（25-26高二下·陕西榆林·开学考试）已知函数在处取得极大值． (1)求a，b的值； (2)求函数的零点的个数． 【答案】(1)， (2)函数的零点的个数为1 【分析】（1）根据极大值点导数为0及列方程求解，再检验即可； （2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）对求导得， 由，且，解得，． 经检验，，符合题意，所以，． （2）由， 令或 令， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以可得函数的极小值为，又极大值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内． 变式2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数. (1)若，求函数的单调区间; (2)设,讨论函数的零点个数. 【答案】(1)若，单调递增区间，单调递减区间. (2)当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导,将代入导函数，通过判断导函数的正负来划分单调区间，再利用导数研究函数单调性即可. （2）将零点个数转化为方程解的个数，可将方程变形为，构造新函数，通过求导研究的单调性，极值与最值，再结合的图像趋势，根据与这些值的关系来判断零点个数. 【详解】（1）当时，， ，令，解得， 因而函数的单调递增区间是， 令，解得,因而函数的单调递减区间是; （2）令， 分离参数得，设， ，令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 的最大值是，又， 增长比要慢很多，， 因此当时，直线与无交点， 当或时，直线与有一个交点， 当时，直线与有两个交点. 所以当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 变式3．（25-26高二下·广东江门·月考）设函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)或 【分析】（1）求出，讨论导数的符号后可判断并求出函数的极值. （2）在区间上有两个零点等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，后者可利用导数讨论其单调性，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，则， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，而， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）由，得. 问题等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，              又，令，解得，.      当时，；当或时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增.       又因为，，，， 所以或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                            ∴当或时，函数在区间上有两个零点 考点十 导数实际应用问题 例1．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 【答案】(1)， (2)当时，最大利润为分 【分析】（1）根据题意，结合球的体积公式求解； （2）利用导数求最值. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为 由题可知， （2）则， 由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为分. 例2．（25-26高二下·河北保定·月考）若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x. (1)试将表示成关于x的函数； (2)求圆锥体积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过圆锥与内接圆柱的轴截面，利用相似三角形对应边成比例得到关于的函数. （2）先求圆锥体积公式，再对其求导，根据导数判断单调性进而求出最小值. 【详解】（1）因为圆锥的内接圆柱的轴截面为边长2的正方形，则圆柱底面半径为，高为， 由题意作图如下，根据图形可知：圆锥的轴截面为等腰三角形，其内接圆柱的轴截面为边长为的正方形， 易得， 则，整理得 ：， 即. （2）由（1）可知，， 则， 对求导可得： ， 令，可得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此在处取极小值，也就是最小值， 故. 例3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．杭州是世界著名的旅游城市，也是我国重要的高科技企业孵化地．现已知某初创高科技企业每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产x台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的x的值； (2)求成本函数的边际函数的最小值； (3)求每月企业利润的最大值． 【答案】(1)千万元， ； (2)千万元； (3)千万元. 【分析】（1）利用基本不等式求解； （2）求出，利用单调性求解； （3）求出，方法一：将整理成，设，求出的最大值和最小值，转化为，求出对称轴，从而得到时，取最大值，从而得到每月企业利润的最大值.方法二：分别求出的函数值，从而得到的最大值. 【详解】（1）对于月收入函数， 当且仅当时，即时，等号成立， 则月收入函数的的最小值为千万元，并求出此时的x的值为； （2），， ， 设， 对称轴为， ，， 在范围内是单调递增函数， 在范围内是单调递减函数， 时，取最小值，且最小值为，千万元； （3）每月企业利润等于月收入减去月成本函数， ， ，， ， 方法一：， 设，根据均在上单调递增，则在上单调递增， 当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为， 则转化为， 的对称轴为， 故时，取最大值， 且最大值为， 故每月企业利润的最大值为千万元. 方法二：， ， ， ， ， ， ， ， 故每月企业利润的最大值为千万元. 变式1．（25-26高二下·广东广州·月考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】(1)，， (2)销售价格元时，利润最大. 【分析】（1）将数据代入解析式，求出a，b的值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，当时，利用导数求出的单调性和最值，当时，根据基本不等式，求出的最值，分析比较即可得答案. 【详解】（1）由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. （2）由题意：， 当时，， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 变式2．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2.由制作工艺的限制，满足. (1)当时，求容器的容积和液体体积； (2)在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？ (3)当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围. 【答案】(1)48，  32 (2)72 (3) 【分析】（1）根据体积公式计算体积即可. （2）根据液面的高度要小于容器的高度列出不等式求解的范围，再用表示出容器的体积，利用导数求出容器体积的最大值. （3）当液面到时，此时最大，利用液体体积不变，求出的长度，从而计算出，确定的取值范围. 【详解】（1）当时，， 容器的容积，液体体积. （2），. 由于液面的高度为2，故容器的高度，即，，又. 的取值范围是. 此时容器的容积. ，令，即，解得或. 又，，即在上单调递增. . （3）当时，由得，液体体积. 当液面与水平面平行时，此时有最大值.过作交于点. 设，则，液体的体积，解得. ，，. 故的取值范围是. 变式3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)4元／千克，最大值为42元 【分析】（1）由题可得将代入函数得到，列方程求解即可得到的值； （2）由题求出利润的表达式为，，利用导数得到函数的单调性进而得到函数的最大利润为42元． 【详解】（1）∵当时，， ∴由函数式， 得． （2）由（1）知该商品每日的销售量， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为， ，     ． 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，函数取得最大值， ∴当销售价格为4元／千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：导数及其应用10种高频考点专项训练 期中培优：导数及其应用10种高频考点专项训练 考点目录 导数的定义及其运算 利用导数求切线问题 利用导数求函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值 利用导数图像研究函数性质 含参单调性讨论问题 恒成立求参数问题 函数零点问题 导数实际应用问题 考点一 导数的定义及其运算 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 例2．（23-24高二下·广西·期末）设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 例3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考·多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数在处的导数 _____. 例5．（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则 ___________. 变式1．（25-26高二下·天津西青·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广西贺州·月考）下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·山东济南·期中·多选）下列关于各函数导数的计算，正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式4．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数，则__________. 变式5．（25-26高二下·江苏无锡·月考）若，则__________． 考点二 利用导数求切线问题 例1．（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 例2．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数，则过原点且与函数图象相切的直线方程为__________． 例5．（2026·海南省直辖县级单位·二模）曲线在点处的切线方程为_____. 例6．（25-26高二下·天津·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 变式1．（25-26高二下·四川成都·月考）若直线是曲线的切线，则（    ） A． B．3 C． D．1 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 变式5．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 变式6．（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 考点三 利用导数求函数的单调性 例1．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·天津河东·月考）函数的单调递减区间是_____________. 例4．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 例5．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 变式1．（25-26高二下·四川·月考）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 变式3．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 变式4．（25-26高二下·天津·月考）函数在上是单调函数，则的取值范围是______． 变式5．（25-26高二下·广西·月考）判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1)； (2)； 考点四 利用导数求函数的极值 例1．（25-26高二下·吉林通化·月考）已知函数在处取得极小值，则（ ） A． B． C．或 D．3 例2．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·天津武清·月考）函数的极小值是______． 例4．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 例5．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 变式1．（25-26高二下·天津·月考）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·北京·月考）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A． B．1 C．4 D．5 变式3．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 变式4．（25-26高二下·河北唐山·月考）已知函数在处取得极大值，则_________． 变式5．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 考点五 利用导数求函数的最值 例1．（25-26高二下·四川德阳·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 例2．（25-26高二下·天津南开·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间内的最值 变式1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求当时，函数的最值. 变式2．（25-26高二下·福建三明·月考）设函数在处取得极大值． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 考点六 利用导数图像研究函数性质 例1．（25-26高二下·广东珠海·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 例2．（25-26高二下·广西·月考·多选）导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 例3．（24-25高二下·河北邢台·月考·多选）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在点处的切线的斜率为0 D．有1个极大值点 变式1．（24-25高二下·贵州贵阳·期中·多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 变式2．（24-25高二下·广东广州·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 变式3．（24-25高二下·福建福州·期中·多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 考点七 含参单调性讨论问题 例1．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 例2．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求函数在的最值； (2)函数，若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)求函数的单调区间． 例3．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 变式1．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 变式2．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 考点八 恒成立求参数问题 例1．（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 例2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 例3．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高二下·江西南昌·月考）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 变式3．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 考点九 函数零点问题 例1．（23-24高三上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 例3．（25-26高三下·海南海口·月考）已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 变式1．（25-26高二下·陕西榆林·开学考试）已知函数在处取得极大值． (1)求a，b的值； (2)求函数的零点的个数． 变式2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数. (1)若，求函数的单调区间; (2)设,讨论函数的零点个数. 变式3．（25-26高二下·广东江门·月考）设函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 考点十 导数实际应用问题 例1．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 例2．（25-26高二下·河北保定·月考）若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x. (1)试将表示成关于x的函数； (2)求圆锥体积的最小值. 例3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．杭州是世界著名的旅游城市，也是我国重要的高科技企业孵化地．现已知某初创高科技企业每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产x台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的x的值； (2)求成本函数的边际函数的最小值； (3)求每月企业利润的最大值． 变式1．（25-26高二下·广东广州·月考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 变式2．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2.由制作工艺的限制，满足. (1)当时，求容器的容积和液体体积； (2)在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？ (3)当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围. 变式3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $