专题07 二次函数（云南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 二次函数 一、考点01 高次多项式的化简求值和大小比较 1．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 2．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， ． 【分析】（1）由对称轴为直线直接求解； （2）当时，；当时， ． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， 而 代入得：， ∴， ∴， ∵， 解得：， 当时， ∴； 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理． 3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． (1)求c的值； (2)直接写出T的值； (3)求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出，，带入原式即可求解． 【详解】（1）解：∵将点（0，2）带入得： ． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， ∵当S=m时恰好有三个点M满足， ∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数． 当时，． 即此时M（ ， ），则另外两个点的纵坐标为． ∴． （3）由题可知，，则 ∴ 则 ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键． 4．（2021·云南·中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m＞1，证明见解析 【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值； （2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可得，从而可得； （3）由变形可得，再证明r＜0，根据不等式的性质可得结果． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2）， ∴，即c=-2， ∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小， ∴直线x=-4是抛物线的对称轴， ∴，解得：b=-16， ∴b=-16，c=-2； （2）证明：∵b=-16，c=-2， ∴， ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r是方程的解， 即，则， ∴， ∴ = = ∵， ∴， ∴； （3）m＞1正确， 证明：由（2）可知：， ∴，即， ∴， 在中，令， 解得：或， ∴r＜0， ∴，， ∴， ∵， ∴，即m＞1． 【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形． 二、考点02 抛物线与x轴交点问题 5．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 6．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数，当时，函数值y的取值范围是，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”． 【举例】：对于函数，当时，函数值y的取值范围是，我们称1到3（含1、3）这段取值范围是函数的一个“2倍取值范围”． 【问题】：已知二次函数（b、c均为常数）的图象经过点，其对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)若对于实数，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m和n的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂题意，确定满足条件的点的位置是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）分三种情况：Ⅰ．当时，随的增大而减小．Ⅱ．当时，的最小值为，Ⅲ．当时，随的增大而增大．分别求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过点， ，得，． 二次函数的图象的对称轴为直线， ， ． ． （2）解：二次函数的图象的对称轴为直线， 根据、与2的大小关系，可分为三种情况： Ⅰ．当时，随的增大而减小． 将、分别代入函数解析式得，，整理得，， 化简得，．代入得， 解得，（不符合题意，舍去），． 当时，（不符合题意，舍去）． Ⅱ．当时，的最小值为，． ，解得，，此时，． ①当时，解得，，此时． 此时，，符合题意． ②当时，当时，取得最大值． ，解得，或（舍去） 此时，，，符合题意． Ⅲ．当时，随的增大而增大． 将、分别代入函数解析式得，， 解得（舍去），． 综上所述，，或，时满足题意． 7．（2025·云南临沧·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图图形的综合，正切值的计算，掌握待定系数法，正切值的计算方法是关键． （1）根据题意得到，把，分别代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，设，由面积的计算得到，过点作于点，如图，则，，根据正切值的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 把，分别代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ， 设， ， ， 整理得， 解得舍去，， ， 过点作于点，如图，则，， 在中，， 即的值为． 8．（2025·云南昆明·三模）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．直线与二次函数图象交于点P和Q（点P在点Q的左边），与二次函数的对称轴交于点H． (1)求该二次函数的解析式； (2)若线段被二次函数的对称轴分成的两条线段的长度比为，求直线l的解析式． 【答案】(1) (2)当时，直线l解析式为；当时，直线l解析式为 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的结合，二次函数的图形和性质，待定系数法，通过交点坐标求一次函数的解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数性质． （1）通过顶点坐标，假设出来顶点解析式，利用待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式，表示出根与系数之间的关系，通过线段之间的数量关系，分两种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数图象顶点为， 设二次函数解析式为 把代入得， ， ． 二次函数解析式为，即； （2）解：设，，由题可知 联立方程组 且 ， 线段被直线分成的两条线段长度比为2∶1， ，或， 即，或， 当时， ， 解得 代入，得 ． 当时， 解得 代入，得 ． 当时，直线l解析式为； 当时，直线l解析式为． 9．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1)； (2)对称轴为直线时，的值最大，最大值为． 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入与中，得 ，， 得． （2） 解：如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 10．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线是过点，当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用待定系数法求解即可； 首先根据题意得到，求出，，然后整理为即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线， ， ． 抛物线经过点， ． 此二次函数的解析式为； （2）解：抛物线与坐标轴交于点， ，即， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴． 11．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，将已知点代入，化简求值，即可解答． （1）将，代入二次函数的解析式，即可解答． （2）将点代入二次函数的解析式，得，即，由，可得，再将t代入，化简，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式中， 得， ∴； （2）∵函数图象经过点， ∴将该点坐标代入，得，即， ∴，即， ，即， 又∵，， ∴，，解得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，设抛物线与一次函数的图象交点的横坐标为，设． (1)求抛物线的解析式； (2)记，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到，则，可把整体代入m中把m的分子降次化简得到，再解方程求出t的值，进而可得，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解；把点的坐标代入二次函数得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：联立得， ∵抛物线与直线交点的横坐标为， ∴， ． ， ，或． ， ， 当时，， 此时； 当时，， 此时． 13．（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质． （1）将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 此时二次函数的解析式为． 14．（2025·云南玉溪·三模）已知抛物线交x轴于，，交y轴于C，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2025 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利用二次函数的解析式解答即可；②利用已知条件求得m，n的值，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、， ∴， 解得：； （2）解：①由（1）得：抛物线解析式为， ∵点是第四象限内抛物线上的一个动点． ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴， 当时，， ∴满足条件的点的坐标为； ②∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点．， ∴轴，，且直线与抛物线交于点M，N， ∵， ∴，即 ∴方程，即的实数根为m，n， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 15．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线． (1)求b的值； (2)若点在抛物线上且，求证：点A、B、C三点共线； (3)点、在抛物线上（），记抛物线在 P、Q 之间的部分为图象G（包含 P、Q 两点），若图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式为，即可求解； （2）通过解析式得点，点，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出点，通过点在直线上，即可证明点A，B，C三点共线； （3）由点、（）在抛物线上，得、（），因为抛物线的开口向下，对称轴为，分以下两种情况进行讨论：①当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，即，求出值并判断其是否在的取值范围内；②当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，即，求出值并判断其是否在的取值范围内． 【详解】（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线， ，解得； （2）由（1）知，， 抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B， ，， 设经过点A，B的直线的解析式为， 将点A，B的坐标代入，得，解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上，且， ，解得（舍）或， 即点， 将代入直线得，， 点在直线上，即点A，B，C三点共线； （3）点、（）在抛物线上， ，， 即、（）， 抛物线的开口向下，对称轴为， 分以下两种情况： ①当时，则， 即，点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， 此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8， 由得：， ，， 点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时点P的纵坐标最小， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）或； ②当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 16．（2025·云南玉溪·三模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，且不低于成本价，该蔬菜的销售单价为多少元时，才能使日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1）；（2）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，掌握待定系数法，正确列出关系式，二次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， ∴； （2）成本为每千克10元， ∴每千克的利润为元，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，是最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 17．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数图象过点，当时，y随x的增而增大，当时，y随的x的增大而减小，该二次函数图象与函数的图象交于点，设，． (1)求二次函数解析式． (2)以下三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)③正确，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据题意，易得抛物线的对称轴为直线，结合图象过点，进行求解即可； （2）根据与的图象交点是，得到，，进而得到，求出，易得与的图象交点在第一象限，得到，进而得到，得到，进而推出，即． 【详解】（1）解：把代入中，得 由已知可得：抛物线的对称轴为：， ， 即二次函数解析式为： （2）由与的图象交点是可得： ，， ∴ ； ∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点， ∴与的图象交点在第一象限， ∴， ， ∵， ∴． 18．（2025·云南临沧·三模）已知二次函数 （，为常数）的图象经过点，对标轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论等知识点．对进行分类讨论是本题的难点． （1）根据二次函数对称轴为求出值，再把点代入二次函数解析式进而求出值； （2）根据二次函数的性质求得最大值为，而时，，进而根据对称轴来判断的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，∵二次函数为，对标轴为直线 ∴． ∴． ∴抛物线为． 又图象经过点， ∴． ∴． ∴抛物线为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，取得最大值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为， 当时，，且点关于对称轴的对应点为， ∴n的取值范围为． 19．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)已知抛物线的对称轴是直线，求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，若点的横坐标为整数，则称这样的点为横整点． 抛物线与直线交于两点，将抛物线在两点之间的部分记作曲线（不含两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据对称轴公式，求出的值，即可得出结果； （2）联立抛物线与直线，求出点的坐标，根据上恰有两个横整点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）联立，得：， 解得：， 不妨设点的横坐标为， ∵上恰有两个横整点， 当点在点左侧时，则：两个横整点的横坐标为：， ∴， ∴； 当点在点右侧时，则：两个横整点的横坐标为：， ∴， ∴； 综上：或． 20．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时， 【分析】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与x轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． （1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求，求出函数的解析式，然后令求值，再对进行变形化简，得出关于的表达式，最后分情况比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线为， 则抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：代入函数表达式得：，解得， 故抛物线解析式． 令，得，解得， ∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，∴， ∴ ， ∴， 故． 当时，，此时； 当时，，此时． 21．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (1)求二次函数的解析式； (2)是二次函数与一次函数图象交点的横坐标，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式，分式化简求值，完全平方公式的变形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解当时随的增大而减小，当时随的增大而增大；得，以及把代入，进行计算，即可作答． （2）依题意，联立，得，则，则，再把数值代入．即可作答． 【详解】（1）解：的图象经过点，且当时随的增大而减小，当时随的增大而增大； ， 解得， ． （2）解：依题意，联立， 消去得：； 由题意得： ； 则， 则， ． 22．（2025·云南文山·模拟预测）已知二次函数． (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)当二次函数图象过点时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是二次函数的性质，整式乘法的应用，分式的值； （1）根据对称轴公式直接求解即可； （2）由二次函数图象过点，可得，可得，再进一步证明即可. 【详解】（1）解：对称轴为：直线． （2）证明：二次函数图象过点， ， ∴， ∵ ， ∴． 23．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线． (1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标； (2)已知该抛物线经过，两点．若，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）首先求出点A和点B到抛物线对称轴的距离，然后由判断出，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． （2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴点A到抛物线对称轴的距离为， 点B到抛物线对称轴的距离为． ∵， ∴，，， ∴， ∴点A到抛物线对称轴的距离大于点B到抛物线对称轴的距离． ∵， ∴此抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，点的纵坐标就越大， ∴． 24．（2025·云南昭通·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，． (1)求的值； (2)请你猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时，．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，二次根式的化简，实数的大小比较等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴公式即可求解； （2）可得，由实数是抛物线与轴交点的横坐标，得到，则，利用完全平方公式求出，，再化简得到，解得，，那么，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 抛物线的对称轴为直线， ， ； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 实数是抛物线与轴交点的横坐标， ，则， ，， ， 解得，， ， ①当时， ， ，即， ②当时， ， ，即． 25．（2025·云南昆明·模拟预测）某水果批发商以每千克元的价格购进一批水果，规定其售价每千克不低于成本价且不高于元．经市场调查发现，水果的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间为一次函数关系，部分数据如下表： 每千克售价x（元） 日销售量y（千克） (1)求与之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当每千克水果的售价定为多少元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为（） (2)当每千克水果的售价定为元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设批发商每日销售这批水果所获得的利润为元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表中数据得：， 解得：， 与之间的函数关系式为（）； （2）设批发商每日销售这批水果所获得的利润为元， 由题意得：， 市场监督部门规定其售价每千克不高于元， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大，最大值为， 当每千克水果的售价定为元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大，最大利润为元． 26．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出抛物线的顶点坐标为，确定抛物线的顶点横坐标为，计算即可求解； （2）根据题意得出， ，得到，求出，继而得到． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为 抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1 （2）解：由（1）知， ， 点在抛物线上， ， 点在抛物线上， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 27．（2025·云南昆明·二模）已知抛物线与y轴交于点． (1)求c的值； (2)若m是抛物线与x轴交点的横坐标，且满足的值为60，请求出抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查抛物线的基本性质，包括与坐标轴的交点、对称轴的求解，以及代数方程的解法． （1）将代入抛物线，即可求出． （2）将化简得出 ，令，则，即，求出，；再分为①当时和②当时分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∴． （2）解法一：∵， ∴， ∴ ， 令， 则，即， 解得：，； ①当时：， 解得：，； ∴抛物线与x轴的交点为：，， ∴抛物线的对称轴为直线； ②当时：，即， ， ∴此方程无解， 综上所述，抛物线对称轴为直线． 解法二：令， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 解得：，， ①当时，，即， ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：． ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线； ②当时，，即． 此方程无解． 综上所述，抛物线的对称轴为直线． 28．（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)若，求二次函数的顶点坐标； (2)若对于，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线上的点离对称轴越远近，判断函数值大小是解题关键， （1）根据顶点公式求解即可； （1）根据抛物线解析式可得：对称轴，开口方向向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，由此得出， 根据，得不等式组，分类根据的取值范围化简绝对值解不等式组即可． 【详解】（1）解：当 时，二次函数为 ， 顶点横坐标为 ， 代入 ，得 ， 故顶点坐标为 ． （2）∵抛物线的对称轴，开口方向向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 又∵点， ， ∴， 又∵， ∴， 当时，不等式组化为 ，不等式组无解， 当时，不等式组化为 ，解得：， 当时，不等式组化为 ，不等式组无解， 当时，不等式组化为 ，解得：， 综上所述： 的取值范围为 或 ． 29．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 30．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 31．（2025·云南楚雄·二模）习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表： （元/千克） 950 1000 1050 1100 （千克） 250 200 150 100 (1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式； (2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润． 【答案】(1) (2)，药材公司每周的最大利润为40000 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据数量关系列式得到二次函数，根据二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 根据题意，得 解得 则． （2）解：， ，， 当时，取得最大值，， 答：与之间的函数解析式为，药材公司每周的最大利润为40000元． 32．（2025·云南大理·二模）已知二次函数（是常数且）． (1)若，求出该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值． 【答案】(1) (2)或8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：当时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为， 则该函数图象的顶点坐标为． （2）∵函数图象经过点， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 33．（2025·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． (1)求抛物线表示的二次函数的解析式； (2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为顶点式，把点的坐标代入即可求解； （2）由点A在抛物线上，得；变形为，根据与均为整数，得，即可求得点A的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入得：， 解得：    ， ∴； （2）解：∵点A在抛物线上， ∴， 即； ∵ ； 由于K，m都为整数，则， ∴或， 此时； 综上，点A的坐标为或． 34．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，其对称轴为直线．设是二次函数的图象与轴交点的横坐标，． (1)求，的值； (2)以下结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，见解析 【分析】（1）根据图象经过点，对称轴公式求出a的值即可； （2）由（1）知，该二次函数的解析式为，从而得到，进而得到，，再代入化简，即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ， 解得； （2）解：正确，理由如下： 由（1）知，该二次函数的解析式为， 是二次函数的图象与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键． 35．（2025·云南楚雄·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．数与形反映了事物两个方面的属性．数形结合思想是中学数学中一种重要的数学思想，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．请用所学的数学知识来解决下列问题． 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为图象． (1)求证：图象与轴只有一个交点． (2)若点在图象上，且，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，当取最大的整数时，在线段上方的图象上是否存在一点，使点到线段的距离最大？若存在，请求出点的坐标及点到线段的最大距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点的坐标为，点到线段的距离 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可证明； （2）将点，点代入中，求出 ，根据，建立不等式求解即可； （3）由（2）可知，则当取最大的整数时，，求出点的坐标为．点的坐标为，直线的解析式为．过点分别作于点轴，与线段交于点，连接．设点P的坐标为，则点的坐标为，利用而阐述的性质求出点的坐标为．进而求出即线段的长度为定值面积的最大值为8，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 图象与轴只有一个交点； （2）解：将点代入中， 得 ， 将点代入中， 得 ． ， ， 解得， 的取值范围为； （3）解：存在． 由（2）可知，则当取最大的整数时，， 此时． 将点代入中， 得， 点的坐标为． 将点代入中， 得， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 如答图，过点分别作于点轴，与线段交于点，连接． 设点P的坐标为，则点的坐标为， 铅垂高 ． 点与点的水平宽为， 水平宽铅垂高 ； ， 当时，， 此时， 点的坐标为． ， 即线段的长度为定值面积的最大值为8， 点到线段的距离． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 36．（2025·云南楚雄·二模）已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)记：，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、整式的乘法运算，解决本题的关键是根据整式的乘法法则进行整理，得到． 根据抛物线的对称轴是，可以求出，根据图象经过点，可以求出，从而可知抛物线的解析式为； 根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得，，从而可得：，又因为抛物线与轴交点的横坐标为，可得方程，解方程可得：或，根据所求结果比较较与的大小即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， ． 求抛物线的图象经过点， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交点的横坐标为， ， 即， ， 把代入， 可得：， ， 把代入， 可得：． ， ， 两边同时平方可得：， ， ， ． ， 或， ①当时，； ②当时，． 37．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)若，，求此二次函数的解析式； (2)若，，为正实数，设，试判断是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查二次函数性质与代数式最值求解．解题关键是将点代入二次函数得出等式，利用已知条件化简求解解析式；通过对N平方变形，结合均值不等式求N最小值． （1）将点代入二次函数，得到． 把，代入，求出和的值．将、的值代入二次函数，得到解析式． （2）对两边平方得到 ，由即，将其代入表达式．利用推出 ，对进行放缩，求出的最小值． 因为、、为正实数，从而得出的最小值． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ，， ， ， ， 此二次函数的解析式为； （2）存在， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，，为正实数， 为正实数， ， 的最小值为． 38．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的函数 (1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 【答案】(1) (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程． （1）根据对称轴是直线，得到，据此求解即可； （2）当时，求得该函数与x轴的交点的横坐标为；当时，利用因式分解法解方程，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， 解得， 经检验，是该方程的解， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 由，得， 该函数与x轴的交点的横坐标为，是整数，符合题意，m的值为0， 当时，函数是二次函数， 由， 解得，， 该函数与x轴的交点的横坐标为整数，即是整数， 或 综上所述，当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 39．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（a为常数，）． (1)当时，求该二次函数的值； (2)若二次函数与直线有唯一交点，设，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的值，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，分式的化简； （1）将 代入二次函数 中，计算即可求解； （2）联立 与直线 ，得出，根据题意得，得出，可得，进而将代数式中进行降次计算，即可求解． 【详解】（1）将 代入二次函数 中： ； （2） 与直线 的交点的横坐标满足： 整理方程： 二次函数与直线有唯一交点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 40．（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与3的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，求出，，然后整理为，再将n分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：． 抛物线经过点， ． 此二次函数的解析式为． （2）抛物线与坐标轴交于点， ，即，解得：． ， ， ，即， ，即， ． 当时，， ，即； 当时，， ； 当时，；当时，． 41．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大.设n是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标. (1)求b，c的值； (2)求代数式的值. 【答案】(1)， (2)0 【分析】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图像上的点坐标、对称轴、增减性、与轴交点坐标等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，可得对称轴为直线，可求，,由抛物线经过点，可得； （2）根据题意可得，变形计算即可． 【详解】（1）解：经过点， ， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ， ； （2）解：设n是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， ， ， ， ， ， ， ， ， . 42．（2025·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)试说明点在该抛物线上； (2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将代入抛物线解析式进行计算即可判断； （2）先求出抛物线对称轴是直线，分，和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 点在该抛物线上； （2）解：抛物线对称轴是直线， 当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即， 当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即， ①当，即时， ∵，都有，即， ∴， ， ， ， ②当，即时， 同理或， 或， ， ， 综上所述：的取值范围是或． 43．（2025·云南文山·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，求出，，然后整理为，再将分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，即， 解得：， 抛物线经过点， ， 此二次函数的解析式为； （2）抛物线与坐标轴交于点， ，即， 解得：， ， ， ，即， ，即， ， 当时，， ，即； 当时，， ； 当时，；当时，． 44．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线（）与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有四个，求整数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系． （1）由，可得抛物线解析式，令求解即可； （2）由抛物线恒在x轴下方可得，由符合条件的整数a只有四个可得c的取值范围，进而求解． 【详解】（1）解：当，时，， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：抛物线恒在轴下方， ， 解得：， 符合条件的整数只有四个，分别是，，，， ， 解得：， ∵取整数， ， 整数的最小值为． 45．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点． (1)若抛物线与轴的公共点为，抛物线与轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； (2)当时，设二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1)有， (2)或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，抛物线与一元二次方程的关系以及坐标平移等知识，关键是二次函数性质的应用． （1）把点A坐标代入抛物线解析式求出，再由抛物线与y轴的交点为，可以求出m的值，然后由，可以得抛物线与x轴有一个公共点，再令解方程求出x即可； （2）先求出抛物线对称轴，然后分-三种情况分别求出函数的最大值M和最小值N，由求出m的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴有公共点，理由如下： 将点代入抛物线， 得， 解得； 抛物线与轴的公共点为， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线与轴有1个公共点， 令，解得， 公共点的坐标为； （2）解：由题意得，抛物线的解析式为， 对称轴为直线， ①当时，即， 开口向下，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，即， 解得，不合题意，舍去； ②当时，即，若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； 若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ③当时，即， 开口向下，当时，随的增大而增大， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为或． 46．（2025·云南德宏·一模）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)若满足方程，设，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查二次函数对称轴公式，一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，解题的关键是熟练运用二次函数对称轴公式求出a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件求出代数式的值． 【解析过程简要分析】（1）利用二次函数对称轴公式求出的值； （2）先根据的值确定方程，再利用根与系数的关系求出与的值，进而得到与的值，对进行变形，代入与的值计算。 【详解】（1）解：∵ （2）把带入，得：， ∵满足方程， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ． 47．（2025·云南楚雄·二模）已知，是抛物线上的两个不相同的点． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据二次函数解析式，二次函数与轴交点的计算即可求解； （2）根据题意解得，分类讨论：①若点都在轴上，由可得或；②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，解得，不妨设，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线与y轴的交点坐标是； （2）解：∵抛物线关于y轴对称， ∴， 解得， ①若点都在轴上，由可得或， ∴， ∴； ②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，设直线的解析式为， 联立，可得， 解得， 不妨设，则，， ∴，， ∴ ； 综上所述，． 48．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用对称轴结合待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点、关于对称，进而得到，再根据二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：． 当时，的值为，即：，得：． 此二次函数的解析式为． （2）证明：，理由如下： ， 点、关于对称， ，即，， ，， ． 当时，，， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值． 故． 49．（2025·云南红河·三模）商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： (1)求与之间的函数解析式； (2)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当售价为35元时，利润最大，最大值为1350元 【分析】本题主要考查了利用一次函数和二次函数解决销售问题，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的性质和待定系数法． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一元一次不等式求出自变量的取值范围，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：假设与之间的函数解析式为， 将代入解析式得， 解方程组得， ∴函数解析式为； （2）解：∵该食品的日销量不低于90千克， ∴， 解得， 每天的利润用来表示，则， ∵，抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴顶点横坐标为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，利润最大， 最大值为， 所以，当售价为35元时，每天获取的利润最大，最大利润为1350元． 50．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线的图象经过点，对称轴是直线，为抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)20 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，分式的化简，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）把代入即可求解，根据对称轴公式即可求解； （2）根据题意可得，再把分别叠代入分子分母，进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得； 对称轴是直线， ， ； （2）解：∵m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标， ∴， ∴， ∴ ； ∴ ． 51．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线． (1)若抛物线经过点时，求a的值； (2)若点，在此抛物线上，求的值． 【答案】(1)2 (2)2025或2007 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质． （1）将点代入抛物线解析式求解，即可解题； （2）把代入函数解析式得得到，，再分两种情况①若与不重合，②若与重合，求出的值，最后将，，以及的值代入式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：把代入函数解析式得， 整理得：， ∴， ∴， ①若与不重合， 则，解得：， ∴ ； ②若与重合，则， ∴ ． 52．（2025·云南临沧·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式． (2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值． 【答案】(1) (2)，当时，， 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）把代入即可得到答案； （2）求解顶点坐标为：，如图，函数的对称轴为直线时，可得，如图，当与函数值相等时，可得：， 当直线为对称轴时，如图，可得：，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴顶点坐标为：， 如图，函数的对称轴为直线时， ∴， 解得：， 如图，当与函数值相等时， ∴， 解得：， ∴时， 如图， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为，最小值为时的函数值， ∵， ∴， 解得：， ∴二次函数为：， 当时，， 当直线为对称轴时，如图， ∴， 解得：， 当时， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为，最小值为时的函数值， ∵， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， 综上：，当时，． 53．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值； (2)点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为：或或或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）把代入表达式求出结论即可； （2）先得出表达式，把代入表达式，根据分析得出可取，进而求出结论． 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴， ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵的值为整数， ∴为整数， ∴可取， ①当时，此时， ∴， ②当时，此时， ∴， ③当时，此时， ∴， ④当时，此时， ∴， 综上所述，点P的坐标为：或或或． 54．（2025·云南昆明·二模）某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间部分数值对应关系如下表： 销售单价（元/件） 10 12 14 16 18 日销售量（件） 180 168 156 144 132 (1)当时，你认为一次函数、反比例函数，哪个更符合与之间的关系，请求出与之间的函数关系式； (2)设该商品的日销售利润为元，当该商品的销售单价（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每件定价为20元时，可获利最大，最大利润为1200元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求函数的解析式，二次函数的性质和最值问题，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的性质． （1）根据一次函数的性质可得，与之间的关系符合一次函数，利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据题意列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系符合一次函数，设， 将，；，代入可得 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：该商品日销售利润为与单价的函数关系式为 ∵，且 即抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大 ∴当时，有最大值， 所以，当每件定价为20元时，可获利最大，最大利润为1200元． 55．（2025·云南昆明·二模）已知二次函数（是常数）的图象过点． (1)求的值； (2)设抛物线与轴的交点为，设．请判断，，哪个成立？并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及分式化简求值．解题关键是熟练掌握抛物线与x轴交点坐标特征． （1）把点代入二次函数，得到关于m的方程，求解该方程即可． （2）先由第一问得出二次函数表达式，根据抛物线与轴交点得到，并变形得到 、等关系．对的分子分母进行变形化简，利用前面得到的的关系式，逐步将分式化简求值，判断与的大小关系． 【详解】（1）解：把点代入，得： 解得：； （2），理由如下： 由（1）得， 因为抛物线与轴的交点为， ∴， 从而可得，，， ∴， ， ． ∴． 56．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析，二次函数的最值问题，解题的关键是求出解析式； （1）将代入中求解即可； （2）求出平移后相应的坐标，利用两点间的距离公式进行列式，再利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ． （2）解：，则， 将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点， 设，解得：， ， 设点，则， ， 当时，取到最小值，为． 57．（2025·云南昭通·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A、B、C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M、N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)4 (3)点H在直线上，见详解 【分析】（1）待定系数法即可求解二次函数解析式，再进行配方即可求点P坐标； （2）先由与的正切值相等得到，继而可证明，再由垂径定理得到； （3）将点代入得直线表达式为， 则，而点E为中点，则，可求，联立抛物线与直线表达式，得：，可求，可证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图： 当时，， ∴点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是经过点A、B、C的的直径， ∵，经过圆心， ∴； （3）解：∵， ∴； 如图： 将点代入，得， ∴， 把点N横坐标，代入得， ∵轴，轴， ∴，点G为中点， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∵点P关于E的对称点为Q， ∴， ∴， 联立抛物线与直线表达式， 得：， 整理得：， ∴， 解得：， 即， ∵，， ∴， ∴点N、Q、H三点共线， ∴点H在直线上． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，抛物线与直线的交点问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 58．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式． (2)若和是抛物线上不同的两点，且，求p的值． 【答案】(1) (2)p的值为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意． （1）把点，分别代入解方程组即可解答； （2）点A、B是抛物线上的对称点，可得，结合，解方程即可得，， 【详解】（1）解：把点，分别代入得 ， 解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 、B的坐标分别为，， 点A、B是抛物线上的对称点， ， 即， ， ，， 当时，， 即p的值为 59．（2025·云南西双版纳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则和二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用二次函数的图象性质得到抛物线的对称轴为，即，再把代入运算即可； （2）运算化简式子后，再根据图象性质分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为，即， ∵与轴交于点， ∴， 即，解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的交点的横坐标为m， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，当时，， ∵当时，随的增大而减小， ∴，则， ∴，即． 60．（2025·云南楚雄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式． (2)若轴与抛物线相交于点E，H是直线下方抛物线上的动点，过点H作于点G，交直线于点F．试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求此时点H的横坐标及四边形面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)当横坐标为时，四边形的面积取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形面积的计算，掌握待定系数法，几何面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，，设，则，所以，由列式，结合二次函数最值的计算方法得到当时，四边形的面积取最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：，两点在抛物线上， ， ， 抛物线的函数表达式为， 当时，，即， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵，轴， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴， ， 如图所示， 设， 直线的函数表达式为， ， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 61．（2025·云南曲靖·一模）二次函数经过点． (1)求二次函数解析式； (2)若是该二次函数与轴交点的横坐标，记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及其变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）将点代入，求出的值，即可求解； （2）根据题意，得，整理，得，利用完全平方公式变形为，再将变形为，将代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入，解得：， 二次函数解析式为． （2）解：根据题意，得：， ， ， ， ， ． 62．（2025·云南大理·一模）定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． (1)求证：函数与轴有两个不同的交点； (2)若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出，即可得证； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线，结合，可得，从而可得当时，随着的增大而增大，推出当时，取得最大值，当时，取得最小值，根据，求出，再由，得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵函数：， ∴， ∵， ∴， 故函数与轴有两个不同的交点； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，当时，取得最小值， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 63．（2025·云南文山·二模）已知抛物线的对称轴为直线，设抛物线与函数图象的交点的横坐标为d、设 (1)求抛物线的解析式； (2)以下结论：，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论． 【答案】(1) (2)正确，证明见解析 【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可； （2）由结合两个交点的横坐标为d，可得，再化简m可得，然后根据作差法即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则：， ∴抛物线的解析式为﹔ （2）解：我认为正确， 证明如下： 由可得：，则：． ∵两个函数交点的横坐标为d， ∴，即：． ∵ ， ∵， ∴， 而，则． ∴， ∴﹒ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键． 64．（2025·云南保山·模拟预测）已知二次函数图象的对称轴是． (1)求二次函数的解析式； (2)设直线与抛物线交点的横坐标为m，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据二次函数的对称轴即可求解； （）先根据题意转化为一元二次方程，然后通过配方得出，最后由完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴是， ∴， ∴，   ∴二次函数的函数解析式为； （2）解：由得， ∵直线与抛物线交点的横坐标为m， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 65．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括顶点式，二次函数的最大值，二次函数图象与几何变换（平移），二次函数图象与x轴的交点，代数式的求值，降次计算等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键 ． （1）根据题意将函数化为顶点式，然后得出方程求解即可； （2）由平移方式确定函数解析式，然后得出，代入分式化简求值即可． 【详解】（1）解：二次函数， 当时，二次函数有最大值， 二次函数的最大值为， ， ； （2）由（1）知二次函数，将其向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，则， 是的图象与x轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ． 试卷第40页，共94页 试卷第2页，共91页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数 一、考点01 高次多项式的化简求值和大小比较 1．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 2．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)比较与的大小． 3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． (1)求c的值； (2)直接写出T的值； (3)求的值． 4．（2021·云南·中考真题）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 二、考点02 抛物线与x轴交点问题 5．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 6．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数，当时，函数值y的取值范围是，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”． 【举例】：对于函数，当时，函数值y的取值范围是，我们称1到3（含1、3）这段取值范围是函数的一个“2倍取值范围”． 【问题】：已知二次函数（b、c均为常数）的图象经过点，其对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)若对于实数，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m和n的值． 7．（2025·云南临沧·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 8．（2025·云南昆明·三模）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．直线与二次函数图象交于点P和Q（点P在点Q的左边），与二次函数的对称轴交于点H． (1)求该二次函数的解析式； (2)若线段被二次函数的对称轴分成的两条线段的长度比为，求直线l的解析式． 9．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 10．（2025·云南昆明·三模）已知抛物线是过点，当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 11．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 12．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，设抛物线与一次函数的图象交点的横坐标为，设． (1)求抛物线的解析式； (2)记，请比较与的大小． 13．（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 14．（2025·云南玉溪·三模）已知抛物线交x轴于，，交y轴于C，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 15．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线． (1)求b的值； (2)若点在抛物线上且，求证：点A、B、C三点共线； (3)点、在抛物线上（），记抛物线在 P、Q 之间的部分为图象G（包含 P、Q 两点），若图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值． 16．（2025·云南玉溪·三模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，且不低于成本价，该蔬菜的销售单价为多少元时，才能使日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 17．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数图象过点，当时，y随x的增而增大，当时，y随的x的增大而减小，该二次函数图象与函数的图象交于点，设，． (1)求二次函数解析式． (2)以下三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 18．（2025·云南临沧·三模）已知二次函数 （，为常数）的图象经过点，对标轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 19．（2025·云南玉溪·三模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)已知抛物线的对称轴是直线，求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，若点的横坐标为整数，则称这样的点为横整点． 抛物线与直线交于两点，将抛物线在两点之间的部分记作曲线（不含两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围． 20．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小． 21．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (1)求二次函数的解析式； (2)是二次函数与一次函数图象交点的横坐标，，求的值． 22．（2025·云南文山·模拟预测）已知二次函数． (1)若，求该二次函数图象的对称轴； (2)当二次函数图象过点时，求证：． 23．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线． (1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标； (2)已知该抛物线经过，两点．若，判断与的大小关系，并说明理由． 24．（2025·云南昭通·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，． (1)求的值； (2)请你猜想与的大小关系，并说明理由． 25．（2025·云南昆明·模拟预测）某水果批发商以每千克元的价格购进一批水果，规定其售价每千克不低于成本价且不高于元．经市场调查发现，水果的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间为一次函数关系，部分数据如下表： 每千克售价x（元） 日销售量y（千克） (1)求与之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当每千克水果的售价定为多少元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 26．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求的值． 27．（2025·云南昆明·二模）已知抛物线与y轴交于点． (1)求c的值； (2)若m是抛物线与x轴交点的横坐标，且满足的值为60，请求出抛物线的对称轴． 28．（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)若，求二次函数的顶点坐标； (2)若对于，有，求实数的取值范围． 29．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 30．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 31．（2025·云南楚雄·二模）习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表： （元/千克） 950 1000 1050 1100 （千克） 250 200 150 100 (1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式； (2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润． 32．（2025·云南大理·二模）已知二次函数（是常数且）． (1)若，求出该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值． 33．（2025·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． (1)求抛物线表示的二次函数的解析式； (2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 34．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，其对称轴为直线．设是二次函数的图象与轴交点的横坐标，． (1)求，的值； (2)以下结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 35．（2025·云南楚雄·模拟预测）我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．数与形反映了事物两个方面的属性．数形结合思想是中学数学中一种重要的数学思想，用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．请用所学的数学知识来解决下列问题． 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为图象． (1)求证：图象与轴只有一个交点． (2)若点在图象上，且，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，当取最大的整数时，在线段上方的图象上是否存在一点，使点到线段的距离最大？若存在，请求出点的坐标及点到线段的最大距离；若不存在，请说明理由． 36．（2025·云南楚雄·二模）已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)记：，比较与的大小． 37．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)若，，求此二次函数的解析式； (2)若，，为正实数，设，试判断是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 38．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的函数 (1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 39．（2025·云南昆明·模拟预测）已知二次函数（a为常数，）． (1)当时，求该二次函数的值； (2)若二次函数与直线有唯一交点，设，求T的值． 40．（2025·云南玉溪·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与3的大小． 41．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大.设n是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标. (1)求b，c的值； (2)求代数式的值. 42．（2025·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)试说明点在该抛物线上； (2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围． 43．（2025·云南文山·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 44．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线（）与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有四个，求整数的最小值． 45．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点． (1)若抛物线与轴的公共点为，抛物线与轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； (2)当时，设二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 46．（2025·云南德宏·一模）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)若满足方程，设，求代数式的值． 47．（2025·云南楚雄·二模）已知，是抛物线上的两个不相同的点． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值． 48．（2025·云南红河·三模）已知二次函数的图象上，时，取得最小值为．点、是二次函数的图象上任意两点，设． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 49．（2025·云南红河·三模）商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： (1)求与之间的函数解析式； (2)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 50．（2025·云南楚雄·三模）已知抛物线的图象经过点，对称轴是直线，为抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求，的值； (2)求的值． 51．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线． (1)若抛物线经过点时，求a的值； (2)若点，在此抛物线上，求的值． 52．（2025·云南临沧·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式． (2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值． 53．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值； (2)点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 54．（2025·云南昆明·二模）某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间部分数值对应关系如下表： 销售单价（元/件） 10 12 14 16 18 日销售量（件） 180 168 156 144 132 (1)当时，你认为一次函数、反比例函数，哪个更符合与之间的关系，请求出与之间的函数关系式； (2)设该商品的日销售利润为元，当该商品的销售单价（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 55．（2025·云南昆明·二模）已知二次函数（是常数）的图象过点． (1)求的值； (2)设抛物线与轴的交点为，设．请判断，，哪个成立？并说明理由． 56．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值． 57．（2025·云南昭通·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A、B、C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M、N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 58．（2025·云南楚雄·一模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式． (2)若和是抛物线上不同的两点，且，求p的值． 59．（2025·云南西双版纳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求证：． 60．（2025·云南楚雄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式． (2)若轴与抛物线相交于点E，H是直线下方抛物线上的动点，过点H作于点G，交直线于点F．试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求此时点H的横坐标及四边形面积的最大值． 61．（2025·云南曲靖·一模）二次函数经过点． (1)求二次函数解析式； (2)若是该二次函数与轴交点的横坐标，记，求的值． 62．（2025·云南大理·一模）定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． (1)求证：函数与轴有两个不同的交点； (2)若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 63．（2025·云南文山·二模）已知抛物线的对称轴为直线，设抛物线与函数图象的交点的横坐标为d、设 (1)求抛物线的解析式； (2)以下结论：，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论． 64．（2025·云南保山·模拟预测）已知二次函数图象的对称轴是． (1)求二次函数的解析式； (2)设直线与抛物线交点的横坐标为m，求代数式的值． 65．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 试卷第14页，共15页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$