精品解析：江苏省南京市联合体2025～2026学年下学期八年级数学期中练习卷

江苏省南京市联合体2025~2026学年下学期八年级数学期中练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）. 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长度是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A. 一直增大 B. 保持不变 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）． 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，在该市8500名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是___________． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 11. 在中，若，则___________°． 12. 将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 13. 一个口袋里放有大小完全相同的2个红球，3个白球和5个黑球，至少摸______次，才能使摸出的球各种颜色的都有． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 15. 如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 16. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 17. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕的长为________． 18. 如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 20. 某校为了了解学生对课外体育运动项目的喜欢程度，随机抽取了七年级部分学生进行问卷调查（每人限选一种体育运动项目）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校有七年级学生1000人，请你估计该校喜欢“足球”的学生约有多少人？ 21. 一只不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率接近__________；（精确到0.1） （2）估算一下袋中黑球的个数； （3）若小明又将（为正整数）个相同的黑球放进了这只不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在__________左右．（用含的式子表示） 22. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 23. 如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． （1）若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； （2）如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 24. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔"的次数 落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位) （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)； （2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度． 25. 如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 （1），； （2）， 26. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市联合体2025~2026学年下学期八年级数学期中练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）. 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、直角梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，根据普查的适用条件：调查范围小、易操作、不会破坏调查对象，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵普查适合调查范围小，数量少，易实施，且调查不会破坏调查对象的情况， ∴A选项调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求， B选项了解某班学生的跳远成绩，调查范围小，人数少，适合普查，符合要求， C选项调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，测试会破坏车辆，适合抽样调查，不符合要求， D选项了解全国中学生的脊柱侧弯情况，调查范围大人数多，适合抽样调查，不符合要求． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，根据频率估计概率，摸出红球的频率稳定在0.25，因此红球的概率约为0.25，再用球的总数乘以概率即可得红球个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右， ∴摸出红球的概率约为0.25， （个）， ∴袋子中红球的个数可能是5个， 故选：A． 4. 如图，在中，，分别是边，的中点，若，则的长度是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理，即可求出BC的长度. 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=； 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理进行解题. 5. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 对边平行且相等，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； C. 对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故该选项不符合题意； D. 对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形和菱形的性质定理． 6. 如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需要加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，再由菱形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ，， 当时，四边形是菱形， 当时，四边形是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键． 7. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰梯形的性质的掌握情况．如图，梯形中，过点作，则四边形是平行四边形，根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，即可求解. 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过点作，则四边形是平行四边形 根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，有 ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 8. 已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　） A. 一直增大 B. 保持不变 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】B 【解析】 【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可． 【详解】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4， 延长BE，与GF的延长线交于点P． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BP，∠ADG＝∠P． ∵四边形AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF， ∴∠G＝∠EFP． ∵AD∥BP，AE∥DP， ∴四边形ADPE是平行四边形． 在△AGD与△EFP中， ∴△AGD≌△EFP（AAS）， ∴S4＝S△EFP， ∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD， 即S▱AEFG＝S▱ADPE， 又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等， ∴S▱ABCD＝S▱ADPE， ∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积． 故▱AEFG面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）． 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，在该市8500名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是___________． 【答案】1500 【解析】 【分析】根据样本容量的定义进行解答即可． 【详解】解：在该市名八年级学生中随机抽取名学生进行身高情况调查，根据样本容量的定义，样本中个体的数目即为样本容量，因此本次抽样调查的样本容量是． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 11. 在中，若，则___________°． 【答案】70 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补可得，结合已知条件求出，再根据平行四边形对角相等得到的度数． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， ， ， ． 12. 将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率与频数的关系，先计算第二组和第三组的频数和，再用数据总数减去已知各组的频数，即可得到第四组的频数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， ∵第二组和第三组的频数和为：，第一组与第五组的频数分别为和， ∴第四组的频数为：． 13. 一个口袋里放有大小完全相同的2个红球，3个白球和5个黑球，至少摸______次，才能使摸出的球各种颜色的都有． 【答案】9 【解析】 【分析】求至少摸几次，需要按最倒霉的情况来计算即可． 【详解】解：要保证一定摸到三种颜色，需要按最倒霉的情况来计算，即先摸出了5个黑球，3个白球，最后再摸1次，摸出红球，此时才保证摸出来的球各种颜色都有，故摸出的球各种颜色的都有的至少次数为（次）． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 15. 如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 16. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】##40度 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键． 过点G作于F，根据轴对称的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出的值． 【详解】解：如图，故点G作于点F， 由折叠的性质得：四边形与四边形关于对称， ∴四边形四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：． ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． 18. 如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】略 20. 某校为了了解学生对课外体育运动项目的喜欢程度，随机抽取了七年级部分学生进行问卷调查（每人限选一种体育运动项目）．如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校有七年级学生1000人，请你估计该校喜欢“足球”的学生约有多少人？ 【答案】（1）500 （2）见解析 （3）200人 【解析】 【分析】（1）用喜欢“篮球”的人数除以占比可求出调查的总人数； （2）求出喜欢“羽毛球”的人数，即可补全条形统计图； （3）用乘以样本中喜欢“足球”的学生人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：（名）； 答：这次活动一共调查了500名学生； 【小问2详解】 解：喜欢“羽毛球”的人数为：（名）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人） 答：该校喜欢“足球”的学生约有200人． 21. 一只不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率接近__________；（精确到0.1） （2）估算一下袋中黑球的个数； （3）若小明又将（为正整数）个相同的黑球放进了这只不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在__________左右．（用含的式子表示） 【答案】（1）0.5 （2）25个 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定在的常数即为本题的答案； （2）根据（1）的值求得答案即可； （3）根据题意可知摸到黑球最终稳定的频率． 【小问1详解】 解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率接近0.5； 【小问2详解】 解：∵摸到黑球的频率会接近0.5， ∴黑球数应为球的总数的一半， ∴估计袋中黑球的个数为25个； 【小问3详解】 解：小明放入黑球x个， 则黑球的频率稳定在左右． 22. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】首先，根据四边形是平行四边形，得到 ，进而得到，再由平分，平分及等腰三角形的“三线合一”得出，，，即可得出结论． 【详解】略 23. 如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． （1）若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； （2）如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查图形翻折的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形中位线定理，特殊角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点． （1）连接交于点，根据折叠的性质得到垂直平分，继而证明是的中位线，从而得证结论． （2）根据四边形是菱形，得到是等边三角形，过点作于点，设，根据特殊角的直角三角形的性质，以及勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分， 是的中点， ∵点为边的中点， 是的中位线， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点，则， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得：， ． 24. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔"的次数 落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位) （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)； （2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度． 【答案】(1)0.7；(2)该商场每天大致需要支出元奖品费用：(3)36 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）根据扇形统计图，结合获得铅笔的概率为0.7，求出获得一瓶饮料的概率为0.3，列出算式40000×0.7×0.5+40000×0.3×3，计算即可求解； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，则，解方程即可． 【详解】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7； （2）1-0.7=0.3，40000×0.7×0.5+40000×0.3×3=14000+36000=50000元； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°， 则， 解方程得：n=36． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，也考查了扇形统计图的意义．题目较长，但信息量不大，关键要认真审题，理清题意． 25. 如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 （1），； （2）， 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点A，交于点C，连接，即可； （2）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点B，交于点D连接，即可． 【小问1详解】 解：如图1中，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，菱形即为所求． 26. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $