平面直角坐标系——面积与规律问题探究 2025-2026学年 人教版 数学七年级下学期

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理平面直角坐标系的面积与规律探究知识，面积问题部分以公式法、割补法、等积变形、铅锤法为核心，结合示意图呈现“规则”与“不规则”图形的解题思路，规律探究部分用表格归纳等差数列和等比数列公式，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如面积问题中“已知面积求坐标”题型，引导学生用铅锤法建立函数关系，培养几何直观和推理意识，规律探究中“沿斜线运动的点”问题，通过归纳运动周期培养抽象能力。基础题夯实方法，综合题提升应用，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

平面直角坐标系一一面积与规律探究 平面直角坐标系一一面积与规律探究. …1 【知识梳理：面积问题】1 【题型演练】 …2 题型一：三角形面积求解。2 题型二：已知面积求坐标.8 题型三：已知面积关系求解15 题型四：面积问题综合.33 【知识梳理：规律探究】… 44 【题型演练】45 题型一：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 45 题型二：沿斜线运动的点的规律探究.47 题型三：沿坐标系翻折运动的点的规律探究。 53 题型四：绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究54 1 平面直角坐标系—一面积与规律探究 【知识梳理：面积问题】 ①公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面 积，直接用面积公式. 图1 图2 图 ②割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三 角形的面积，用“割”或“补”的方法， ③等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等. 如图5，同底三角形的面积比等于高的比 如图6，同高三角形的面积比等于底的比. 图4 图5 图6 图7 ④铅锤法：如图7，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线 之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做 △ABC的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法：S44BC= ah 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标 t,at2+bt+c过点P做辅助线： 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式（一般为二次函数的形式）： 3,写出表示面积的二次函数的顶点式，求出最值，即可得到三角形面积的最值 模型1 模型2 模型3 D 水平宽 SaA=2CD·lza-xAl S△ABc= 2AD·lxn-xe 1 SAABC= 2BD·lx-xa 【题型演练】 题型一：三角形面积求解 1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点在网格点上，A的坐标为 0,7) (1)填空：点B的坐标为 △OAB (2)求出 的面积 △OA 向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到C0E.在图中画出 CDE (3)把 并写 出C、D、E三点坐标.若△OAB上的一点M的坐标为m,m,请直接写出M点的对应点 M 的坐标. 8,2) 【答案】(1) (2)28 2 3)作图见解析，C(-4,-5),D(-4,2).E(4,-3)(m-4,n-5 【分析】本题考查平面直角坐标系，及坐标系中的平移作图，平移性质，三角形面积，熟练 掌握平移的性质和平移作图是解题的关键。 (1)利用平面直角坐标系即可得出： △OAB OA=7 8 △OAB (2)利用格点得到 的底为 ,则高为，即可求出 的面积： (3)利用平移性质得出对应点坐标，再作图，即可求解. 【详解】(1)解：如图所示，△O4B的顶点在网格点上，A的坐标为 0,7) B(8,2) 故答案为：(8,2). 2×7×8=28. (2)如图所示，S△oB (3)如图所示，△CDE即为所求作图形， C(-4,-5),D(-4,2),E(4,-3): 若△01B上的一点M的坐标为m,m,则M点的对应点M的坐标为m-4m-5) 2.如图，已知三角形ABC的顶点都在格点上，请回答下列问题： 3 B (1)将三角形ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，画出平移后的三角形 ABC 并写出顶点的坐标： (2)求三角形ABC的面积. (1,3) 【答案】(1)见解析， 19 (2)2 【分析】本题考查坐标与平移. (1)根据平移规则，画出三角形48，G, 进而写出顶点的坐标即可： (2)分割法求面积即可。 掌握平移的性质，是解题的关键 【详解】(1)解：如图，三角 ABC即为所求， 顶点B的坐标为 ,3) 4 (2)Sc=5×5- 2x5x2 x5x3-x2x3=25-5-15 19 3= 2 2 2. 3,按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面 直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上. V (1)点A的坐标为」 2)将△1BC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得 △ABG,画出 △AB,C △1BC内一点P无，W,平移后P的对应点P坐标为 B)△48C 的面积为 【答案】()-4,2) 2)3+5,%-2 (3)5.5 【分析】(1)根据点A的位置和平面直角坐标系直接写出坐标即可： △4BC (2)根据平移规律先作出点A、B、C的对应顶点，然后顺次连接，即可画出 ，根据 平移规律写出点的坐标即可； (3)利用割补法 △4B,C 的面积，把 △1B,G补成一个矩形，然后用矩形的面积减去其他 三个三角形的面积即可. -4,2) 【详解】(1)解：如图所示：点A的坐标为 5 故答案为： (-4,2) (2)解：如图作出点A、B、C的对应顶点，顺次连接， △AB,C即为所求： B A 点P平移后对应点乃坐标为+5-2列 故答案为： x+5,%-2) (3)解：△4BC的面积为：3x4- ×1x3-1 2x3-1 ×1×4=5.5 2 2 故答案为：5.5 【点睛】本题主要考查了平移变换、割补法求三角形面积等知识点，掌握平移变换以及利用 割补法求三角形面积是解答本题的关键 4.四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8),B(-11,6),C(-14,0),D(0,0). (1)确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ (2)如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多 少？ 2,8 什狱1站⑤并 C-14.0) 【答案】(1)80，做法见解析；(2)80 6 【分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,把四边形ABCD的面积分 成两个三角形的面积与梯形的面积的和，然后列式求解即可： (2)横坐标增加2，纵坐标不变，就是把四边形ABCD向右平移2个单位，根据平移的性质， 四边形的面积不变. 【详解】 y A(2,8) B116) C-14,0月 解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, 1 则四边形ABCD的面积=2×(14-11)×6+2×(6+8)×(11-2)+2×2×8=9+63+8=80， (2)所得的四边形面积不变等于80，因为原来四边形ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐 标增加2，就是把四边形ABCD向右平移2个单位，所以，所得的四边形面积不变. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，平移变换的性质，不规则四边形的面积的求解， 作辅助线把四边形分成两个三角形与一个梯形是求面积的关键。 7 5.如图，在平面直角坐标系中，△1BC的三个顶点4，B,C的坐标分别是-，0)，(0,3)， (4,-,若△ABC经过一次平移后得到△4BC,点4，B,C的对应点分别为点术，B, C，已知点4的坐标为，-2刘 根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的△AB'C': (2)ABAC(填“>”或“=”或“<”)： (3)在平移过程中，边BC扫过的面积为」 【答案】(1)见解析 (2)= (3)16 【分析】(1)根据点A和点A的坐标，确定平移规则，进而画出平移后的△AB'C即可； (2)勾股定理进行求解，比较后即可得出结论： (3)利用矩形的面积公式进行求解即可， 【详解】(1)解：“点1(-1,0平移后的对应点4的坐标为，-2， 图形的平移规则为：先向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 如图，△AB'C,即为所求： 8 A (2)由图可知： AB'=32+1P=V10,AC'=32+1P=√0 :.AB'=AC', 故答案为：= (3)解：BC扫过的面积为四边形BCC'B的面积， 由图可知： BC=V4+4=4W2,CC=2+2=25,四边形BCCB为矩形， ∴四边形BCCB面积为：4W5x2W5=16, 故答案为：16 【点晴】本题考查坐标与平移，坐标与图形，矩形的判定和性质.解题的关键是根据对应点， 确定平移规则. 题型二：已知面积求坐标 6.如图，在平面直角坐标系中，三角形4BC三个顶点的坐标分别为 (-3,2),B(1,1 C-,-2,将三角形AC平移，使点A平移到点4-1刂处，得到三角形4B,G,其中点 B.C 的对应点分别为 B,C 9 平面直角坐标系——面积与规律探究 平面直角坐标系——面积与规律探究 1 【知识梳理：面积问题】 1 【题型演练】 2 题型一：三角形面积求解 2 题型二：已知面积求坐标 4 题型三：已知面积关系求解 7 题型四：面积问题综合 15 【知识梳理：规律探究】 20 【题型演练】 21 题型一： 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 21 题型二：沿斜线运动的点的规律探究 22 题型三：沿坐标系翻折运动的点的规律探究 24 题型四：绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 25 1 学科网（北京）股份有限公司 平面直角坐标系——面积与规律探究 【知识梳理：面积问题】 ① 公式法：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 图1 图2 图3 ② 割补法：如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． ③ 等积变形 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 图7 ④ 铅锤法：如图7，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度h叫做的“铅锤高”。我们可得出一种计算三角形面积的铅锤法： 铅锤法的解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最值 【题型演练】 题型一：三角形面积求解 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为． (1)填空：点的坐标为______． (2)求出的面积． (3)把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标． 2．如图，已知三角形的顶点都在格点上，请回答下列问题： (1)将三角形先向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，画出平移后的三角形，并写出顶点的坐标； (2)求三角形的面积． 3．按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上． (1)点A的坐标为___________． (2)将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出．内一点，平移后P的对应点坐标为___________． (3)的面积为___________． 4．四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2，8)，B(-11，6)，C(-14，0)，D(0，0)． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，已知点的坐标为．根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)______（填“”或“”或“”）； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______ 题型二：已知面积求坐标 6．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点的对应点分别为． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)若线段上一点的坐标为，写出平移后点的对应点的坐标； (3)若点在坐标轴上，三角形的面积为4，求点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到． (1)画出平移后的并写出，，的坐标； (2)内部一点的坐标为，写出平移前点的对应点P的坐标． (3)请在x轴上找一点G，使得的面积为8，直接写出满足条件的点G坐标． 8．在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，且， (1) ______，________ (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 9．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段MN的长度为若，则轴，且线段MN的长度为； 【实践操作】 (1)若点、，则轴，的长度为 ﹔若点，且轴，且，则点N的坐标为 ． 【拓展应用】 (2)如图，在平面直角坐标系中，，，． ①如图1，求的面积； ②如图2，点D在线段上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若的面积等于14，求点D坐标． 题型三：已知面积关系求解 10．如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移得到的，点，，分别与，，对应．其中点的坐标为． (1)直接写出点和点的坐标，并在图中画出； (2)求的面积； (3)若点在轴上，且的面积为的一半，求点的坐标． 11．如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①当时，求的面积； ②当时，求t的值． 12．已知在平面直角坐标系中有两点,满足 (1)直接写出坐标：点A___________，点B___________； (2)将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点D；将点B先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C；求四边形的面积； (3)在第（2）问的条件下，若c为实数，平面直角坐标系中是否存在一点使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知，其中． (1)求点B的坐标． (2)在x轴正半轴上找一点P，使以A，C，P三点为顶点的三角形的面积为10． (3)在（2）的条件下，连接，在直线上，是否存在点D，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：可用坐标的平移来求点D的坐标） 14．如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且．点在第四象限． (1)求a，b的值； (2)若点C到y轴的距离是到x轴距离的两倍，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接交y轴于点E，则当点D运动多少秒时，三角形与三角形面积相等？ 16．如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 17．在平面直角坐标系中，点，，、满足关系式． (1)______，______； (2)平面直角坐标系中有一点． 若直线与轴平行，求此时三角形的面积； 记三角形的面积为，三角形的面积为，当时，求的值． 18．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且，过 A，B 两点分别作 y 轴，x 轴的垂线交于 C 点． (1)求 C 点的坐标； (2)P，Q 为两动点，P，Q 同时出发，其中 P 从 C 出发，在线段 CB，BO 上以2个单位长度每秒的速度沿着 C→B→O 运动，到达O点P停止运动；Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段BO向O点运动，到O点Q停止运动． 设运动时间为t秒， 当点P 在线段BO上运动时，t 取何值，P，Q，C 三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，连接 AB，点 M（m，n）在线段AB上，且 m，n 满足，点N在y 轴负半轴上，连接MN交x轴于K点，记M，B，K 三点构成的三角形面积为S1，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为S2，若，求N点的坐标． 题型四：面积问题综合 19．如图所示，已知，，将线段先向上平移5个单位长度，再向左平移若干个单位长度，使点的对应点恰好落在轴上，此时点的对应点为点． (1)点和点的坐标分别是：（_____，_____），（_____，_____）； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），其坐标为，线段平移后点的对应点为点，连接，用含的代数式表示的面积，并直接写出面积的取值范围； (3)若将四边形沿着轴的方向平移3个单位长度，，，，的对应点分别为，，，，四边形中与四边形不重叠部分的面积是20.4，已知四边形的边与四边形的边的公共点（不在轴上）为，求点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 22．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，其中，满足．点是轴正半轴上一动点（不与点重合）． (1)直接写出点的坐标______________． (2)如图，当点运动到点右侧时，连接、，若，求的面积． (3)在点运动过程中，直线与直线交于点，以、、、为顶点的四边形的面积记为，的面积记为．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 23．如图1，在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点和在x轴上，其中负数b的立方根等于它本身，又． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)已知线段与y轴交于点，点P为y轴正半轴上一点，且满足，请直接写出点P的坐标； (3)点M为线段上一点（不与A，B两点重合），点N为线段上一点（不与A，C两点重合）． ①如图2，若，点Q是线段上一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点E，试探究与的数量关系并证明； ②如图3，若，，连接，交于点F．记的面积为，的面积为，的面积为，已知，求出n的值． 【知识梳理：规律探究】 等差数列： 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差， 公差常用字母d 表示. (1) 学会观察和归纳， 找出相连两个数之间的关系。 (2) 确定首项和项数， 熟练掌握高斯求和公式， 即等差数列通项公式： (首数+尾数)×项数÷2=和。 等差数列的其它相关公式为： ①等差数列和= (首项+末项) ×项数÷2； ②项数= (末项-首项)÷公差+1 ③末项=首项+(项数-1) ×公差 ④首项=末项 - (项数-1) ×公差 ⑤公差= (末项-首项)÷(项数-1); 等比数列： 是说如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示((q≠0),等比数列首项a1≠0. (1)先观察数列之间的关系，判断相连两数之间是否恒等于一个比值，就此判断为等比数列。 (2)求等比数列的和，把原式乘以公比作为第二式子，与原式进行相减消项，得出结果再除以(公比-1)。 等比数列公式： 通项公式： 求和公式： 【题型演练】 题型一： 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……请观察图形，写出点的坐标为：______________；按此运动规律，则  点的坐标为：______________． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，…按此规律，则点的坐标是________． 题型二：沿斜线运动的点的规律探究 4．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（    ） A．2695 B．2697 C．2699 D．2700 5．如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是______． 6．如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是___________． 7．如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2025次跳动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（　　）    A． B． C． D． 题型三：沿坐标系翻折运动的点的规律探究 10．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2025次翻滚后点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型四：绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究 12．如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．如图，平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第一次相遇的点为，第二次相遇的点为，第三次相遇的点为，……，则点的坐标为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“”方向依次排列：根据这个规律，第2020个点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 16．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是______． $