精品解析：重庆市九龙坡区2026届高三下学期第二次学业质量调研抽测数学试卷

高 2026 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时， 将答案写在答题卡指定位置上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 4. 已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若 的展开式中的系数为80，则正整数 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知是定义在上的偶函数，且在 上单调递减， 是定义在 上的奇函数， 且在上单调递增. 设 ， . 则（ ） A. B. C. D. 8. 某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 10. (多选)函数的部分图象如图所示，则正确的有（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 方程 =sin2x在上有个解 11. 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 13. 将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 14. 两位同学在讨论函数（且都不为0）的特征. 甲认为：取最大值时的取值只与有关，与的符号无关. 乙认为：取最大值时的取值不仅与有关，还与的符号有关. （1）你认为更合理的说法是_____(填“甲”或“乙”)； （2）若的图象关于直线对称，则与之间的关系式为_____. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2026 年 3 月， 某市“山城邻里”社区团购平台在市中心商业区设立户外直播间， 推广本地特产晚熟春橙. 该社区团购平台共进行了5场户外直播销售，相应的直播时长与销售额数据经财务与运营双岗复核如下: 场次 1 2 3 4 5 时长(小时) 1 2 3 4 5 销售额(万元) 3.0 5.0 7.0 10.0 12.0 （1）求销售额关于直播时长的经验回归方程； （2）从这5场直播中随机抽取2场复盘，记“销售额超过7万元”的场数为，求的分布列与数学期望. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ，. 16. 设函数. （1）化简，并判断在区间上的单调性； （2）设为钝角三角形，角的对边分别为，若，，求. 17. 已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. （1）求圆 的方程； （2）是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 18. 已知函数，记． （1）讨论和的单调性； （2）当时，比较与的大小，并说明理由； （3）设数列满足，，证明：． 19. 如图，已知六面体中，点与点在平面的两侧，且是边长为的正三角形. （1）求证:平面； （2）空间一点满足.点分别在棱上运动，且的面积为. (i)求的最小值； (ii)若是(i)中使取得最小值时的位置，且点在六面体的表面上，求四面体体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2026 届学业质量调研抽测(第二次) 数学试卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时， 将答案写在答题卡指定位置上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以． 3. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 4. 已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算及运算律求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 代入得. 又， 则，解得. 5. 已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直角三角形三个点为两个实轴端点、一个虚轴端点或两个虚轴端点、一个实轴端点，结合勾股定理求得关系，即可求解. 【详解】双曲线的两个实轴端点为，两个虚轴端点为，集合共4个点， 从4个点中任取3个点，共种取法，而为直角三角形，即所有取法均满足直角三角形条件： 若取两个实轴端点和一个虚轴端点， 直角只能在点，由勾股定理得： ， 代入坐标得，化简得， 同理，对任意其他三个点的组合（两个虚轴端点+一个实轴端点）也可得，满足条件， 所以 . 6. 若 的展开式中的系数为80，则正整数 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得的展开式中的系数为， 化简可得，即，解得. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在 上单调递减， 是定义在 上的奇函数， 且在上单调递增. 设 ， . 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为是上的偶函数，故；又在上单调递减， 由偶函数对称性得在上单调递增. 是上的奇函数，故，且；又在上单调递增， 由奇函数单调性得在上单调递增，且时. 由偶函数性质，， 因此，即，因此A、B错误； 由在上单调递增，得， 则，， 比较大小得， 又在上单调递减， 因此，故C正确，D错误. 8. 某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（ ） A. 第3个月消耗的算力为1 B. 前5个月消耗的总算力为16 C. 第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D. 前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列， 设第个月消耗的算力为，则；已知，， 得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率，故C错误； 对于D：，，故D正确. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【详解】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 10. (多选)函数的部分图象如图所示，则正确的有（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 方程 =sin2x在上有个解 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：由图象可知，当时，有最大值为； 当时，有最小值为； 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：由图象可知，当时，有最大值为； 当时，有最小值为；所以，所以， 因为， 所以，所以，即， 又因为，所以当时，，故B错误； 对于C：因为，当时，， 由于是正弦函数的一个对称中心，故点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D：由题意可得， 展开可得：， 即，即，可得， 令，由得到，即， 由于正切函数在每个周期内有唯一解，且在和各有一个解， 所以在内有两个解，即在内有两个解，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点， 代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 【点睛】验证C选项时，设切点坐标，写出切线的方程再把原点代入进行证明， 验证D选项时，能想到分别用和来进行证明. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积：  ， 解得：， 将  代入椭圆方程： ， 即  故直线​的斜率： .​ 13. 将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【解析】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 14. 两位同学在讨论函数（且都不为0）的特征. 甲认为：取最大值时的取值只与有关，与的符号无关. 乙认为：取最大值时的取值不仅与有关，还与的符号有关. （1）你认为更合理的说法是_____(填“甲”或“乙”)； （2）若的图象关于直线对称，则与之间的关系式为_____. 【答案】 ①. 乙 ②. 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式可得，再结合正弦函数的性质分析判断即可； （2）由题意根据正弦函数的对称性可得，进而结合求解即可. 【详解】（1）由， 其中， 要使函数取得最大值，则，即， 因此的取值与有关，而的取值由所在象限决定， 不仅与有关，还与的符号有关，乙的说法更合理. （2）由（1）知，， 由于的图象关于直线对称， 则，即， 则，即， 所以，即. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2026 年 3 月， 某市“山城邻里”社区团购平台在市中心商业区设立户外直播间， 推广本地特产晚熟春橙. 该社区团购平台共进行了5场户外直播销售，相应的直播时长与销售额数据经财务与运营双岗复核如下: 场次 1 2 3 4 5 时长(小时) 1 2 3 4 5 销售额(万元) 3.0 5.0 7.0 10.0 12.0 （1）求销售额关于直播时长的经验回归方程； （2）从这5场直播中随机抽取2场复盘，记“销售额超过7万元”的场数为，求的分布列与数学期望. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ，. 【答案】（1）； （2）的分布列为 数学期望. 【解析】 【分析】（1）求经验回归方程：先计算，，，，再代入最小二乘公式算，最后由得回归方程； （2）求分布列与数学期望：先确定的可能取值，再用超几何分布概率公式计算各取值概率，列出分布列后求期望. 【小问1详解】 首先计算均值：，， 计算所需求和项： ， ， 根据最小二乘公式计算系数： ， ， 因此，经验回归方程为. 【小问2详解】 5场直播中，销售额超过7万元的共有2场，不超过7万元的共有3场，的所有可能取值为0，1，2，服从超几何分布. 计算概率： ， ， . 因此的分布列为： 计算数学期望：. 16. 设函数. （1）化简，并判断在区间上的单调性； （2）设为钝角三角形，角的对边分别为，若，，求. 【答案】（1），，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合正切函数的性质求得定义域，再结合正弦函数的性质分析单调性即可； （2）由可求得，再利用余弦定理求出或，进行检验即可. 【小问1详解】 由 ， 由于，要有意义，且， 则，解得，即函数的定义域为， 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，，即， 由于，则为锐角，即，则， 所以，即， 由，则，解得或， 当时，，此时为钝角，满足题意； 当时，，此时为直角，不满足题意. 综上所述，. 17. 已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. （1）求圆 的方程； （2）是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 不存在这样的，理由如下： 设，， 联立，消去整理得， 故，， 若，则，即得， 又，所以，即，即， 所以，无解，故不存在这样的，使得. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出点的坐标和的长，得解； （2）设，，联立直线与抛物线方程，由条件结合抛物线定义可得，代入韦达定理得解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，令，得，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 不存在这样的，理由略. 18. 已知函数，记． （1）讨论和的单调性； （2）当时，比较与的大小，并说明理由； （3）设数列满足，，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）当时，，当 时， （3）证明：因为， 所以， ， 所以，设，则为公比为的等比数列， 其通项公式为， 又根据得，即为奇数时， 为偶数时， 所以或， 考虑，当时，， 单调递减，有，即， 因为，所以， 考虑，当时，显然为增函数， 且，，所以存在唯一的使得， 所以在上先减后增，最大值为或，即， 因为，所以， 综合得到，当时有（因为）， 所以，当时，， 综上所述． 【解析】 【分析】（1）第一问先对求导判断符号得单调性，再对求导并化简分子，利用二次函数恒正得出单调递增； （2）第二问可以利用第一问中得到的关于的单调性，通过 和 的大小关系得到和的大小关系，再变形得到与的大小关系，也可以将两式作差通分，分子展开化简后得到，因式分解得到因式，按 与 的大小关系比较大小； （3）第三问先变形递推式得到为等比数列，进而得到的通项公式，代入得的表达式，再通过构造函数得到，最后进行放缩得到． 【小问1详解】 由， 得， 所以在上单调递减． 由， 得 所以，故在上单调递增． 【小问2详解】 解法一：由（1）可知在上单调递增， 所以当时，， 且有从而，所以， 当时，， 且有从而，所以. 解法二： ， 当时，， 所以，即， 当 时，， 所以，即． 【小问3详解】 略 19. 如图，已知六面体中，点与点在平面的两侧，且是边长为的正三角形. （1）求证:平面； （2）空间一点满足.点分别在棱上运动，且的面积为. (i)求的最小值； (ii)若是(i)中使取得最小值时的位置，且点在六面体的表面上，求四面体体积的最大值. 【答案】（1）证明：在中，， 由得，故． 取中点，连接，则． 在中，同理可得． 又，平面， 所以平面，又因为平面，从而． 同理可得． 又，平面，因此平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）首先求出点在以为球心，半径为的球面上，再将立体问题平面化，最后利用基本不等式即可求出最值. （ii）结合（i）得到的位置，再分点在内和点在内两种情况，结合点到面的距离公式及锥体体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为原点，分别为,,轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 则． 设，由得： ．故在球心，半径的球面上． 设，又，故由 得. 在中，由余弦定理： . 将平面沿展开到与平面共面．则 . 当，即时取得最小值，此时，且． （ii）由（i）可得，．从而． 设平面的法向量． 由，可得．又，故． 因为为中点，在以为圆心为半径的球上， 到平面距离为，所以不在平面上． 记为在平面上的投影，为内任意一点， 为在平面上的投影．则在内， 连接于，． 从而不在内（不含边界）， 同理，可得不在内（不含边界）． 平面的法向量， 故到平面的距离．从而不在平面上． 因此，的轨迹为和内的两段半圆弧． 当在平面上时，设． 则. 故到平面的距离 ， 当时等号成立． 当在平面上时，设． 则． 故到平面的距离 因为，所以， 则此时， 所以，四面体体积的，即最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $