重庆市巴蜀中学校2026届高三下学期二模数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合N是自然数集，A={x∈Nx2-3≥0}，则CNA= A.{-1,0,1i B.{0,1} C.{0} D.{1} 2.已知复数：满足1 1i,则1z A.2 B.5 C.2 D.1 x+≥1的解集为xx≥1或xK-1,则实数a的值为 3x-a 3.已知不等式 A.-1 B.0 C.1 D.2 4已知ae0,},2m=子，则ama= 3-√5 2 B3+5 D.2 2 3 19 5.已知正项等比数列{a,}单调递增，S,是其前n项和，a,=之，S,=4,则$4= 65 55 55 65 A. B. C. D. 16 16 8 8 6若=2+ 号，将八)的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的}倍，得到 y=g()的图象，则g()在区间[石，引 的最大值是 A.2 B.1 C.3 D.6+2 2 4 7.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为2，戴墨镜的概 4 率为5， 每天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望E(X)= A.4天 B.8天 C.10天 D.16天 [山 预祝考试顺利 8.如图1所示，二面角A-BD-C为120°，△BCD是边长为2的正三角形，若AC是三棱锥A-BCD外 接球的直径，则AC= A. 5v3 3 B. 2/21 3 85 图1 3 D.37 3 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，且Sg<0,S,>0,则下列说法正确的是 A.d>0 B.当n=8时，Sn取最小值 C.as<0 D.ag>0 10.已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R,满足f(2-x)+f(x)=0,f(3-x)+f(x+1)=0,若 x∈[1,2]时，f(x)=(x-2)lnx,则下列说法正确的是 A.f(x)是奇函数 B.x∈[0,1]，f(x)=xln(2-x) c茗=0 D.在区间[0,2026]上，f(x)有2027个零点 知双曲线C:10>0,b>0)的左、右焦点分别是R,F,过R,的直线与双曲线的 右两支分别交于A,B两点，4，B两点均在x轴上方，∠P,BF,=年，则下列说法正确的是 A.若F2A=F2B,则F2B=4a B.若F2A=F2B,则双曲线C的渐近线方程为y=±√2x C.若△BFF2是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是(1,1+√2) D.若△BF:F2是钝角三角形，直线BF1,BF2的斜率分别是1，k2,则k2-8k1的最小值是-1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知x=e是函数f(x)=ln2x-alnx(a∈R)的极值点，则a= 13.已知向量a=(1-入，√5)，=(2，入)，若(a+)1(a-),则a在方向上的投影向量的坐标是 14.已知直线1与抛物线y=2x(p>0)交于A,B两点，A,B两点均在x轴上方，F为抛物线的焦点， 若|FB|=3|FA|,且∠AFB是锐角，则直线l的斜率的取值范围是 [山坊 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C满足sinB+sinC=sin(A-B). (1)求∠A; (2)若D为BC边上一点，D=子C+},1=1,AD1AB,求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正 月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目 给出的数据为准) 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第x天 1 2 3 4 5 6 票房y(单位：亿元) 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 (1)根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算 结果均保留一位小数)； (2)在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人 生3》，只有1人两部电影均没看过.现从这6人中随机抽取3人，记X为抽取的3人中两部电影 都看过的人数，求X的分布列及数学期望 参考数据：含=21，言号=91，含0=29.3 盒4-用6-列 店：-0可 A 参考公式：b= ,a=y-b0. 17.（本小题满分15分) 已知椭圆C的左、右焦点分别为P,(-1,0),,(1,0),Q1,) 为椭圆上一点， (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线1过点P(3,0),且与椭圆C相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AB0面积的最 大值及此时1的方程. 第3页·预祝考试顺利 18.(本小题满分17分) 如图2，已知立方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点E是棱CC1上一动点. ()当E为C,中点时，P为线段CD上一点，CF=子，求证：BFL面AD,B (2)当E在CC1上运动（不包括端点)时，线段AE上是否存在点M,使得BM∥面A,D,E,若 存在，请间点M在平面ACC1A,内的轨迹是什么曲线？若不存在，请说明理由； (3)当E在CC,上运动（包括端点）时形成一系列点列{E},其中E,与C,重合，E:是线段 屈，C(≥2)的中点。：是四陵锥屈-ABCD的内切球半径，求证：含万<1 D B E D 图2 19.(本小题满分17分) 已知函数)=e(x1)月，xe[0,+n), (1)求曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)在[0，+∞)上的单调区间； (3)若，名e[0,+),且气≠，满是))求证：场2 (参考数据：e=2.71828…) 圈]第4页·预祝考试顺利 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D B A D 【解析】 1.A={x∈N|x≥2；，CA={0,1},故选B. 2.z=1-i,|z上√2，故选C. 3.x=1,是方程3x-0=1的根，所以a=l,故选C x+1 4.sin 2a= 中ana号，ama<l,所以ana-3,5,故选A 2tana2 2 5.8兰+a+a9-骨g-号g号合去所以a1S 2 65 故选D. 3 8 1 6.=+引92+引a=+引所以+号[ g(x)的最大值为1，故选B. 7.记A为事件“小明戴帽子”，记B为事件“小明戴墨镜”，P(AUB)=P(A)+P(B) -P(AB)=1,P(AB)=0.3,P(AB)+P(AB)=P(4A)=0.5,所以P(AB)=0.2,X~B(20,0.2), E(X)=4天，故选A. 8.如图1，令BD的中点为E,连接CE,并延长至F,使得 CF=4 3 ,此时CF为△BCD的外接圆直径，连接AF,AE, 易得，EF= ，∠AEF=60,4E=25 由余弦定理得， 3 图 4C=VAE+CE-2·AE·CB·eos120°-57 故选D 数学参考答案·第1页（共7页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 【解析】 9.S>0>S,d>0,A正确：S=4+.8=4a+as)<0,S=4+4.9=9a,>0,所 2 2 以a4<0,a>0,所以，S4最小，B错误；所以ag>0,a,>0,C错误，D正确，故选 AD. 10.f(3-x)+f(x+)=0,f(2-x)+f(x)=0,所以其对称中心为(1,0)，(2,0)，所以(0,0) 为对称中心，所以A正确：x∈[0，刂，2-x∈l,2],f(x)=-f(2-x)=xln(2-x),所以 B正确：由对称惟知)+0+)+2=0，艺（付）(2}+001) {日=0，C错误：x∈L2引，/)=，2+nx=1-2+nx,f)单调递增，0<0， f"(2)>0,存在唯一的x∈(1,2)，使得x∈(1，x)时，f'(x)<0,f(x)单减，x∈(x,2), f'(x)>0,f(x)单增，f)=f(2)=0,所以在(1,2)上f(x)没有零点，所以仅x=i(i∈Z) 是f(x)的零点，所以D正确，故选ABD. 11·令FA=t,则FA=FB=t+2a,△ABF是等腰直角三角形，所以， AB=FB-FA=1+4a-1=4a=V2FB,所以1=(2N2-2)a,EB=2N2a,所以选项A 错误；在△BFE中，由余弦定理得，4c2=(2+2√2)2a2+8a2-2×2√2a×(2+2√2)a× 牙，得e=5,渐近线方程为y=±2x,所以选项B正确：若△所5是钝角三角形， c0 必有∠B5<牙，在△BF5中，通径<B肌<F5,所以<2c,双曲线离心率的取 值范围是（仙，1+V2),所以选项C正确：令直线BE,BF,的倾斜角分别是，B,α< 0<k<1,k>0,则tan(B-a)= tan B-tan a 1+tana tan B 5=1,即k-k=1+kk2,(k-10k+)=-2, 所以8-8kX6+)=16,所以由8-8%X,+)≤⑧-8张+6。+1，得k-8张+9≥8， 4 所以k-8k≥-1，当k=3,k=。时取等号，所以选项D正确，故选BCD. 数学参考答案·第2页（共7页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2 1,0) 【解析】 12.=21nx0,fe=0,即a=2. xx 13.(a+b)⊥(a-b),所以aHb,=0,a=(L,√5)，b=(2,0),数形结合知投影向量为 (1,0). 14.过A作AA垂直准线于A,过B作BB垂直准线于B,过A作AM⊥BB于点M,令 H,则B<,BM=2x,所以cos∠B>品，k=m∠Ma1<S,所以范 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) (1)sin B+sinC=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B =sin Acos B-cos Asin B, 所以.csA=,乙A=120r. ……(6分) 22 (2)AD.B=AB+2AB.4C=0,所以川ABH4C1, AD2=44C+44C.AB+4B=1, 9 (10分) 所以，14BH4CE5, 所以面积S 35 4 (13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为下=3.5，=1.3， ∑xy-版万 所以6= 29.3-6×3.5×1.32 ≈0.1， 91-6×3.5217.5 …(3分) 数学参考答案·第3页（共7页） a=-b标=1.3-0.1×3.5≈1.0， 所以回归方程为：y=1.0+0.1x,当x=7时，y=1.7亿元， 正月初七，预计《镖人》的票房为17亿元. (7分) (2)由题意可知，6人中同时看过两部电影的只有两人，所以X的可能取值为0,1,2， 则P(X=0)= C-4-1 c2051 P(X=1)= Cc123 Cg205 P(X=2)= C8205' ……………(13分) 所以X的分布列为： X 0 1 2 1 3 1 5 5 5 E(x)=0+1×2+2×:=1. (15分) 5 17.(本小题满分15分) 解：)1Q5F,1QrF,2aQ51+1Q5F4, 3 Q=2,b2=3,所以椭圆方程为4+3=1了 …(5分) (2)设直线AB为x=my+V5,A(x),B(x,2), 联立得， x=my+3 3x2+4y2-12=0'(3m+4y+65m-3=0, △=108m2+12(3m2+4)=144m2+48, 63m 3 y+片=- 3m2+4’5=- 3m2+4' (7分) SamoPl-y67 3m2+4 -5.25v3m+l≤5.3+3+l-5, …(12分) 3m2+4 3m2+4 数学参考答案·第4页（共7页） 当m=名时，S取最大值5，即此时1的方程为x=±5y 3 3y+. ……（15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、:轴建立 如图2所示的坐标系，A(0,0,0),A(0,0,1),D,(0,1,1), E).Fo 4E-（1-》40=010.F-(子0》 图2 所以AE.EF=- 4+0+ =0,即AE⊥EF, AD·EF=0+0+0=0,即AD⊥EF, AD∩AE=A,AD,AEc平面ADE,所以EF⊥面ADE. …(4分) (2)解：存在点M使得BM∥面ADE,且点M在平面ACC,A内的轨迹是抛物线的一部 分. 令E1,1,),AE=1,1,t-1),AD=(0,1,0),令面ADE的法向量为n=(xz), n.AE=x+y+(t-1)==0 ，所以n=0-t,0,1), n.AD=y=0 令AM=AE=(2,元，)，BM=BA+AM=(1-1,元，1， BM.n=(元-1)1-t)+2t=0,2=1-t, (7分) 在平面ACC,A建立如图3所示的坐标系， 令M(xy), AM=AE=2N2,)=1-t)(2t)=(21-,t-), E M 思，心少得点M的轨迹方程为三5 所以 22 图3 所以点M在平面ACC,A内的轨迹是抛物线的一部分. ……(11分) (3)证明：记S为四棱锥E-ABCD的表面积，CE,=2石，所以 S=2SAEAB+2SAEBC+SABCD, =AB·BE+BC·CE,+AB2 数学参考答案·第5页（共7页） 22-2+ 2+1, 3V i-1 片= 1=2+1-222+ 16112 1 2×2- 实小✉安 (17分) 19.(本小题满分17分) D解：w=e-+,0=e8e号0=0， 4 所以切线方程为)号 ........... (3分) （2)解：设8)=)=e-x+, 令M=gw)=e-+,h=e- 所以xe0.n时，)<0，M单减，xe（+时， H(x)>0,hx)单增， M=4-n<0,0=1-0,M0=0, 所以当x∈(0,1)，h(x)<0,g(x)单减，当x∈(1，+o),x)>0,g(x)单增， 所以g(x)mm=g(I)=0,即g(x)=f"(x)≥0， 故f(x)的增区间为[0，+o),无减区间. …(8分) (3)证明：由(1)，(2)知，f'(x)=g(x)≥0，f(x)单增， 若无+国，必有)+)>20-号 若，本∈0，)，必有f)+f:)<20=2 若=山，必有)写，=名=1，矛盾， 所以不妨令0≤x<1<x2, 数学参考答案·第6页（共7页）