精品解析：重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊数学试题

高三二诊数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ） 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（ ） A. 20 B. 512 C. 1024 D. 2048 4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（ ） A. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2 B. 当时，面积为 C. 当时，点M的坐标为 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，是直线上任意一点，则______． 13. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答） 14. 若函数在定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设，若是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接． （1）证明：； （2）若，求平面与平面所成角正弦值． 16. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数极大值为，求证：． 17. 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响． （1）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率； （2）设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率不为0直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 19. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，． （1）设，，求证：是一个周期，且恒成立； （2）已知数列的通项公式为，设． ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二诊数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ） 1. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再结合交、并、补运算逐项判断即得. 【详解】函数中，，解得，即， 解不等式，得或，则或，， 对于A，或，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据复数的四则运算、共轭复数的定义与复数的几何意义计算，即可求解. 【详解】设R)，则， 由，得， 即，所以， 解得，故， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3. 设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（ ） A. 20 B. 512 C. 1024 D. 2048 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出结果，再运用等比数列求和公式时要对进行分类讨论. 【详解】设正项等比数列的公比为，则当时，由得： ，不满足，所以，则， 又因为，,所以可得：， 化简得：，解得， 所以， 故选：C. 4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积 【详解】由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为（）， 故选：B 5. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可求得点的纵坐标为，写出直线的方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，最后由抛物线的定义表达式可求出焦点弦的长. 【详解】 如图，，则,在中，， 故， 即点的纵坐标为，代入中，解得， 则， 因，则直线的斜率为， 于是，代入，整理得：， 解得或，即 故. 故选：C. 6. 有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的概念可知，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率. 【详解】由题意得，，由于， ， 所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变， 所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是. 故选：D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据诱导公式及和差公式进行化简求出，进而，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由，， 得，即， 所以，又， 所以，即，所以， 又，由正弦定理， 得，所以. 故选：A 8. 已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用函数的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用对称轴，结合，可解得；有了具体的解析式，就可以得，从而判断选项B是正确的；利用相位，可判断正弦函数在此区间不单调；利用可确定时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定D是正确的. 【详解】由函数的图象关于直线对称可得： ，解得：， 又因为，所以，即选项A是错误的； 此时， 则为偶函数， 所以选项B是正确； 当，， 此时正弦函数在区间上不单调，所以选项C也是错误的； 因为，所以，而， 则的最小值就是半个周期，即，所以选项D是正确的. 故选：BD. 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（ ） A. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2 B. 当时，面积为 C. 当时，点M的坐标为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点到直线的距离，结合题意求出a，b，c，即可判断A；由双曲线的定义，结合余弦定理计算和三角形的面积公式，即可判断B；根据角平分线定理，结合求出点M的坐标，即可判断C；作辅助线，构造全等三角形求出OE，根据OE与渐近线之间的关系建立不等式，解之即可判断D. 【详解】A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为， 则到该渐近线的距离为，又，所以， 所以，得双曲线的离心率为，故A正确； B：在中，，得， 由余弦定理得，即， 得，所以的面积为， 又，所以，故B错误； C：因为，，所以， 由角平分线定理可得，得，又， 所以，又，所以，故C正确； D：延长交于点，连接，如图， 易知，即，所以， 又分别是的中点，所以， 所以， 又点P在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率， 设渐近线的倾斜角为，由，得， 则，即，整理得， 又，所以，解得，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、焦点三角形面积和双曲线中参数范围的求解；其中选项D，充分挖掘集合关系，建立a，b的不等式，是解题的关键． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，是直线上任意一点，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意可得，设，可得，计算可求. 【详解】由，，可得， 设，可得， 因为是直线上任意一点，所以，即， 所以. 故答案为：. 13. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】分类讨论录取的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为， 当4人全部被录取，则不同的录取情况数为， 综上不同的录取情况数共有种. 故答案为：60 14. 若函数在定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设，若是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接根据“点”的定义即可求出第一空；然后对分类讨论，即可求得第二空. 【详解】根据定义，若是的一个“点”，则，即，得. 若为“函数”，则存在“点”，设为，则，即. 不妨设，则由可知，这得到， 所以； 若，取，则. 所以， 故是的“点”，所以为“函数”. 综上，使得为“函数”的的取值范围是. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，充分理解定义的本质方可解决问题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接． （1）证明：； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面得，再证，推得平面,得，推得平面，即得； （2）依题建系，根据（1）的结论，可得平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 ∵四边形为矩形，∴， ∵平面，平面，∴， 又， 平面，∴平面， 又平面，∴． ∵，点E是的中点，∴． 又， 平面，∴平面． 平面，∴． 又，,平面，∴平面， 平面，∴． 【小问2详解】 如图，因两两垂直， 故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，． 由（1）可知，可看成平面的一个法向量， 可看成平面的一个法向量． 设平面与平面的所成角为， ∴，∴， ∴平面与平面所成角正弦值为． 16. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数的极大值为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得该点的斜率，代入直线的点斜式方程即可； （2）根据导数判断函数的单调性，即可确定极大值，再将不等式转化为函数，通过导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，且 即函数的导数：， 所以函数在点的斜率， 又， 所以函数在点的切线方程为：，即． 【小问2详解】 由得 函数的导数为：． 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以函数的极大值为：． 要证明，即证明， 设，且. 则导数为：， 所以当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 即 即， 所以． 17. 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响． （1）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率； （2）设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，256 【解析】 【分析】（1）由题意，满足题意的事件分两种情况：第一关闯关成功且第二关闯关失败、第一关闯关成功且第二关闯关成功且第三关闯关失败，求出对应的概率即可求解； （2）X的可能取值为0，200，600，1200，根据独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望. 【小问1详解】 根据题意得，选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况： 第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败， 其概率为：； 第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败， 其概率为：； 记“选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A， ∴． 【小问2详解】 根据题意得：X的可能取值为：0，200，600，1200， ∴， ， ， ， ∴X的分布列为： X 0 200 600 1200 P ∴X的期望为：． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于方程组，解之即得椭圆C的标准方程； （2）①结合图形，将使最大问题转化为使最大，即使最小，可通过余弦定理和基本不等式得到； ②依题意设出直线的横截距式方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据，代入坐标，求得，，计算并将韦达定理代入化简即得. 【小问1详解】 由题意得：解得， ∴椭圆C的标准方程是． 【小问2详解】 ①因为I为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大， 即须使最大，又，则须使最小， 在椭圆中，，， 在中，由余弦定理， ． 当且仅当时取等号，即当时， 为正三角形时，取得最大值，取最大值， 此时的最大值为； ②由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0， 设l的方程为，则，令可得． 联立方程得，， 设，，则，， 由可得， 则有，解得，同理． ∴ ． 故为定值． 19. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，． （1）设，，求证：是的一个周期，且恒成立； （2）已知数列的通项公式为，设． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②88. 【解析】 【分析】（1）根据新定义的理解，计算可得，结合当时即可求解； （2）①：记，则，利用放缩法可证得、，进而，即可证明；②：由①知，由（1）可得，则，令，结合裂项相消法计算可得，即可求解. 【小问1详解】 ． 故是的一个周期． 当时，，，故． 由于周期为，故对任意，都有． 【小问2详解】 ①记． ，则． ∵ ，∴． 而 ．∴． ∴，∴． ②由①知，则． 由（1）知：对任意，都有， ∴．∴． ∵，∴． 令， ∵； ． ∵，∴． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $