期中检测压轴卷2025-2026学年 人教版八年级数学下册

期中检测压轴卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 4．（本题3分）下列三条边长不能构成直角三角形的是（   ） A．、、 B．13、14、15 C．、、1 D．2、2、 5．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．13 D．16 6．（本题3分）如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 8．（本题3分）如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（本题3分）如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）化简： __________ 12．（本题3分）勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国汉代的______在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 13．（本题3分）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 _____________________． 14．（本题3分）在中，，，，点D，E分别为射线和射线上的两动点，且，连接，，则的最小值为________． 15．（本题3分）正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1) (2) (3) (4) 17．（本题9分）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米? 18．（本题9分）已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 19．（本题9分）如图，四边形是菱形，E，F是对角线上的两点，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 20．（本题9分）如图，是等腰直角三角形，，在线段上一个动点，连接．是线段上的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足、、三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 21．（本题10分）结合图形，解答下列各题： 问题提出： (1)如图1，在四边形中，对角线，，E，F，G，H分别是各边的中点，连接，，，，求证：四边形是正方形． 问题解决： (2)如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元米，经测量，，，设计要求四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 22．（本题9分）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 23．（本题10分）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测压轴卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 答案：B． 2．（本题3分）在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故该选项不符合题意； B、是无理数，故该选项符合题意； C、是有理数，故该选项不符合题意； D、是有理数，故该选项不符合题意； 故选： B． 3．（本题3分）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 4．（本题3分）下列三条边长不能构成直角三角形的是（   ） A．、、 B．13、14、15 C．、、1 D．2、2、 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理，若三角形为直角三角形，则最长边的平方等于另外两边的平方和，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A：边长为、、，最长边为，其平方为，另两边平方和为，满足勾股定理，可构成直角三角形； B：边长为13、14、15，最长边为15，其平方为，另两边平方和为，因，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； C：边长为、、1，最长边为1，其平方为，另两边平方和为，满足勾股定理，可构成直角三角形； D：边长为2、2、，最长边为，其平方为，另两边平方和为，满足勾股定理，可构成直角三角形； 故选：B． 5．（本题3分）如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线、平行线的性质等知识．结合平行四边形的性质和角平分线的定义证明和均为等腰三角形，设，易得，，结合，列方程求解即可求得答案． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（本题3分）如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间距离；点分别作的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，由平行线间距离相等可知，，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 7．（本题3分）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 8．（本题3分）如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，先根据勾股定理分别求出，，的长，根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴边上的高为， 故选：B． 9．（本题3分）如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】首先在等腰中，可知，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，，；过点作于点，解得，进一步可得，再在中，利用勾股定理解得的值，易得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，，是斜边的中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（本题3分）如图，已知线段，点在线段上，且是边长为的等边三角形，以为边在其右侧作矩形，点为中点，连接，求线段的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据四边形是矩形和是等边三角形，证明，从而求出，当时，有最小值，然后根据角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴对角线、的交点为它们的公共的中点， ∵点是的中点， ∴点是的中点，即、、共线， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 此时， ∴线段的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形，垂线段最短．解题的关键掌握：直线外一点和直线上一点的最短距离即为直线外一点到直线上的距离． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）化简： __________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，先根据二次根式的性质，绝对值的意义化简，再算加法． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．（本题3分）勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国汉代的______在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 【答案】赵爽 【分析】根据数学常识求解即可． 【详解】解：由数学常识可知，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的， 故答案为：赵爽． 【点睛】本题主要考查了赵爽弦图，熟知相关数学常识是解题的关键． 13．（本题3分）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 _____________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）在中，，，，点D，E分别为射线和射线上的两动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 过点作，使得，过点作于点，连接，证明，然后得到，，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，然后根据勾股定理求得的最小值为，然后即可求解； 【详解】解：过点作，使得，过点作于点，连接，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； 15．（本题3分）正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是________，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与正方形的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、正方形性质及规律探究．关键是通过分析、的坐标关系，结合直线解析式推导通用规律，利用规律求解具体点坐标．先通过、坐标确定、坐标，用待定系数法求直线解析式，再结合正方形边长与坐标的关系，推导坐标规律，进而求解、的坐标． 【详解】解： ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即； ∵，正方形， ∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即． 把、代入， ， 解得，即直线解析式为． 推导坐标规律 观察，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； ，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标； 对于，正方形的边长为（由在直线上，结合规律 ∴横坐标为，纵坐标为 ），则横坐标为，纵坐标为，即； 归纳 ∴坐标为． 当时，； 当时，． 故答案为：，． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可； （2）结合平方差公式，根据二次根式混合运算的法则计算即可； （3）先计算二次根式的除法，再计算二次根式的减法即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 17．（本题9分）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米? 【答案】点到地面的距离的长为2.2米 【分析】 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．根据题意，在中，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，由勾股定理得：， ， （米）， 答：点到地面的距离的长为米． 18．（本题9分）已知七个实数，，，，，，，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的实数用“”连接． ______________________________ 【答案】(1)，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解答本题的关键． （1）根据、、、在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案； 【详解】（1）解：根据、、、在数轴上的位置，可知， 点表示数0，点表示数，点表示数，点表示数， 故答案为：； （2）解：在数轴上准确地表示数如图所示： 由数轴可知，， 故答案为：． 19．（本题9分）如图，四边形是菱形，E，F是对角线上的两点，．    (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形性质得出，，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据证明即可； （2）连接交于点O，根据菱形性质得出，，根据三角形全等的性质得出，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接交于点O，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 20．（本题9分）如图，是等腰直角三角形，，在线段上一个动点，连接．是线段上的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足、、三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，通过证明，从而得到． （2）由全等得，结合、、共线及等腰直角三角形的角度，证明，再在中用勾股定理列方程求解的长． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：设， ， ， 由（1）知， ，， 是等腰直角三角形， ， 、、三点共线， ， ， ， 在中，由勾股定理：， ，， ， 解得， ． 21．（本题10分）结合图形，解答下列各题： 问题提出： (1)如图1，在四边形中，对角线，，E，F，G，H分别是各边的中点，连接，，，，求证：四边形是正方形． 问题解决： (2)如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元米，经测量，，，设计要求四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)符合要求，证明见解析，4000元 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，并结合已知条件可证明，，，可得四边形是矩形，再证明，即可证明结论； （2）连接，，与相交于点O，先证明，可得，，进一步可证，再根据（1）可知，四边形为正方形，即知王师傅的设计方案符合要求；根据三角形中位线定理，可求得米，即可求出答案． 【详解】（1）证明：E，F分别是，的中点， ，， 同理可证， ， ， ，， 同理还可证明， ，，， 四边形是矩形， 同理还可证明， ， 四边形是正方形； （2）解：王师傅的设计方案符合要求； 证明：如图，连接，相交于点O， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是正方形， 王师傅的设计方案符合要求； 米，米，， 由勾股定理得（米）， G，H分别是，的中点， （米）， （元）， 铺设地砖所需的费用为4000元． 22．（本题9分）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 23．（本题10分）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【答案】(1)；证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质和勾股定理可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $