精品解析：福建泉州市培元中学2025-2026学年下学期九年级期中阶段评价数学试题

泉州市培元中学2025-2026学年春季初三年级期中阶段评价数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 （第Ⅰ卷 选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键． 【详解】解：实数的倒数是3， 故选：C． 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键． 3. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可. 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律： (1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 5. 某校为了解学生在校一周的体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（ ） A. B. C. 15人 D. 10人 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用众数的概念求解可得． 【详解】解：由图可知，出现15人，人数最多， ∴这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，平方差公式，根据多项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，平方差公式进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先推导出，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品， 依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 9. 如图，在中，，，M是的中点，平分，，则的长为（ ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质．先由平分，并结合过点D的平行辅助线推得；设、的份数，结合M是中点得的份数，进而得与的比例；因，由平行线分线段成比例定理得 ，代入数值计算． 【详解】解：如图，过点D作的平行线，交于点E，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴，，即， ∴， 已知，，代入得． 设，则，故， ∵M是的中点， ∴． ∵，由平行线分线段成比例定理：， ∴， 解得． 故答案为：9． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．由二次函数解析式得出对称轴为直线，结合当时，y随x的增大而增大，得抛物线开口向上，，再结合，，，即可作答． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ， ∵，， ∴，， ∵， 则， ∴， 故选：A． （第Ⅱ卷 非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______． 【答案】． 【解析】 【详解】扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：l＝ 考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系. 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果． 【详解】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，AB⊥x轴， ∴AB∥y轴， 则△AOC和△APC面积相等， ∵A在上，C在上，AB⊥x轴， ∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=9-3=6， ∴△APC的面积为6， 故答案为：6． ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，过点作，过点作，可证，根据全等三角形的性质可知，，把点的坐标用含的代数式表示出来，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得，可知当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 在矩形中，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作，过点作， 则，，， 由旋转可知，， ，， ， 在和中，， ， ，， ，， 点的坐标为， ， 当时，有最小值，最小值为． 三、解答题：本题共25小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】 ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 20. 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1），补全图见详解 （2）估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名 （3） 【解析】 【分析】本题考查了从统计图获取信息，样本估计总体，用列表或画树状图求概率； （1）由等级名占可求出总人数，即可求解； （2）竞赛成绩为B等级的百分比，即可求解； （3）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能从统计图获取正确信息，会用样本估计总体，并会用列表或画树状图求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次共抽取的人数为：（名）， 故答案为：； 等级的人数为：（名）， 补全图，如下 【小问2详解】 解：由题意得 （名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，并 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有种等可能结果，甲、乙两人同时被选中的结果有种， ， 故甲、乙两人同时被选中的概率为． 21. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求（1）中所作菱形的边长． 【答案】（1）作图见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，先作的角平分线，交于，再作的垂直平分线，交于，交于，连接，得到菱形； （2）根据菱形，得出，，可推出，进而得到，把代入即可解得菱形的一条边． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求， 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 菱形的边长． 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）x的值为2m； （2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2 【解析】 【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解； （2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； 【小问2详解】 解：设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10， ∴0＜3x≤0， ∴0＜x≤， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． （1）求b的值及点M的坐标； （2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）令求出点坐标，待定系数法求出的值，求出对称轴，进而求出点M的坐标； （2）设直线与轴交于点先求出直线的解析式为，从而得到点，点，即可求出，再求出，即可得到，则． 【小问1详解】 解：∵， ∴当，解得， ∴， 把代入，得，解得； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，直线的解析式为， 直线向下平移后过点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设直线与轴交于点， ∵， ∴令，解得，令，则， 点，点， ，， ， ， 过点作于点， ，，， ，， ， ， ， ． 24. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1），见解析（2）见解析（3）（4） 【解析】 【分析】（1）仿照解法，变形计算解答即可． （2）仿照解法，变形计算解答即可． （3）过点B作于点E，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 【详解】（1）解：，四个正数， ， ． （2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F， ④根据作图，得到四边形都是矩形，且；； ⑤根据矩形在矩形内部，根据整体大于部分的原理，得到， ⑥故． （3）解：．理由如下： 过点B作于点E， 得，故 而为的高， 故， 故， 故． （4）解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 25. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明，，由即可得到结论； （2）连接OC，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）知：，， 是的直径， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， 是的中点， ，， ， 由（2）知：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州市培元中学2025-2026学年春季初三年级期中阶段评价数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 （第Ⅰ卷 选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 3. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解学生在校一周的体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（ ） A. B. C. 15人 D. 10人 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 8. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，M是的中点，平分，，则的长为（ ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 （第Ⅱ卷 非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ____． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 14. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___． 16. 如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，连接，，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共25小题，共86分． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 20. 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 21. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求（1）中所作菱形的边长． 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． （1）求b的值及点M的坐标； （2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：． 24. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 25. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $