2.4 二次函数的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

2.4 二次函数的应用 同步练习 一、选择题 1．小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 3．如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（　　） A．22m B．21m C．20m D．19m 5．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（　　） A．6 B．2 C．8 D．5 二、填空题 6．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 　 　；自变量x的取值范围为 　 　． 7．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为　 　元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 8．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是　 　米 一、选择题 9．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（　　） A． B． C． D． 13．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 二、填空题 14．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过　 　秒钟后它在离抛出点高的地方． 15．如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）距离水池面米，且与的水平距离为米．小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为，则的取值范围是　 　． 16．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为　 　m． 三、解答题 17．如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知点E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm. （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V. （2）某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值? 18．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． （1）求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 19． 一个抛物线形拱桥的示意图如图所示，桥的跨径 AB 为 100m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为 10m（不考虑立柱的粗细），其中距 A 点 40m 处的立柱FE 的高度为 3.6m. （1） 求正中间的立柱 OC 的高度. （2） 是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由． 思考1：本题如何建立平面直角坐标系，能使计算较为简便？ 思考2：如果以直线AB为x轴，以点A为原点，建立平面直角坐标系，那么每根立柱上的点的横坐标有什么共同特点？ 20． 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m. （1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2） 在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈. 答案 1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．； 7．52 8． 9．B 10．B 11．B 12．A 13．D 14．0.2或1.8 15． 16．2.5 17．（1）解：根据题意，设AE=BF=x(cm)，折成的包装盒恰好是个正方体， 知这个正方体的底面边长 则QE=QF= 故 ∵正方形纸片ABCD边长为24cm， 解得：x=6， 则正方体的底面边长 答：这个包装盒的体积是 （2）解：设包装盒的底面边长为 acm，高为hcm，则a= ∴当x=8时，S取得最大值 18．（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为： （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元 19．（1）解： 以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 由题可得：B(50，0)，E(-40，3.6) 设抛物线的解析式为， 解得： ， 当时，， 正中间的立柱OC的高度是10m. （2）解：设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5米. 则， 解得：， 相邻立柱之间的间距为10米，最中间的立柱OC在y轴上， 根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍， 与题意不符， 不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半. 思考1：以直线AB为x轴，以直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，计算较简便； 思考2：由题意，相邻立柱上的点的横坐标为10的整数倍. 20．（1）解： ∵抛物线的顶点坐标为(3，4)， 设抛物线的函数解析式为. 把(0，2.2)代入，得， 解得 ， . （2）解：当 时，. ∵， ∴ 不能成功盖帽. 把代入抛物线解析式， 得； ∵， 篮球不能顺利投进篮圈。 1 学科网（北京）股份有限公司 $