第2章 4 第3课时 利润问题&培优专题7：二次函数中的决策问题-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第3课时 (教材P48 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点：利用二次函数解决利润问题 命题角度1：根据“总价=单价X销量”确定函数 表达式 1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价 为x元，则可卖出(350一10x)件商品，那么卖 出商品所得利润y(元)与售价x(元)之间的 函数关系式为( A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350 C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-7350 命题角度2：根据“每…，每…”的已知条件 求解涨价（降价）问题 2.1件工艺品的进价为100元，标价135元出 售，每天可售出100件.根据销售统计，1件工 艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使 每天获得的利润最大，则每件需降价() A.3.6元B.5元C.10元D.12元 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 提升点一：一次函数与二次函数在营销问题中的 综合应用 应用1：先根据已知条件确定销量与单价的一次 函数关系，再确定总价与单价的二次函数关系 3.(安徽中考)某超市销售一种商品，成本每千克 40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80元.经市场调查，每天的销售量y(千克)与 每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数 据如下表， 每千克售价x/元 50 60 70 销售量y/千克 :100 80 60 (1)y关于x的函数表达式是 第二章二次函数☑ 利润问题 50练习) (2)设商品每天的总利润为W(元)，则W关 于x的函数表达式是 (利润=收入一成本) (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而 变化的情况，并指出售价为多少时获得最大 利润，最大利润是多少？ 应用2：先根据一次函数的图象确定其表达式， 再确定总价关于单价的二次函数表达式 4.(潍坊中考)某药店新进一批桶装消毒液，每 桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图 所示. (1)y与x之间的函数关系式是 (2)每桶消毒液的销售单价定为多少元时，药 店每天获得的利润最大？最大利润是多少 元？（利润=销售单价一进价） /桶 100 80 6070x/元 做神龙题得好成绩（55 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 提升点二：通过解方程确定满足某一利润值的 定价 5.[应用意识]（锦州中考）某水果超市以每千克 20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃 售价不低于进价又不高于40元.经市场调查 发现，樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据如 下表所示， 每千克售价x/元 25 30 35 日销售量y/千克 …110100 90 亲。◆ (1)求y与x之间的函数关系式. (2)该超市要想获得1000元的日销售利润， 每千克樱桃的售价应定为多少元？ (3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销 售利润最大？最大利润是多少？ 56 做神龙题得好成绩 即培优创新>>>>>>难度等级综合题 6.青岛市是远近闻名的蛤蜊产地，当地某商家 为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的 蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且 两次降价的百分率相同. (1)求蛤蜊每次降价的百分率 (2)从第1次降价的第1天算起，第x天蛤蜊 (x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用 的相关信息如表所示. 时间x/天 1≤x<9 9≤x<15 售价/ 第1次降价 第2次降价 (元/千克) 后的价格 后的价格 销量/千克 105-3.x 120-x 储存和损 40+3x :3x2-68.x+300 耗费用/元 已知蛤蜊的进价为8.2元/千克，设销售蛤蜊 第x(天)的利润为y(元).求y与x(1≤x< 15)之间的函数表达式，并求出第几天利润 最大 (3)这14天中，有多少天的利润不低于 930元？ 培优专题7：二次 类型一：几何问题中的决策 1.(潍坊中考)工人师傅用一块长为10dm、宽为 6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器 (无盖)，需要将四角各裁掉一个正方形.（厚 度不计) (1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪 线，虚线表示折痕，长方体底面面积为12dm 时，裁掉的正方形边长有多大？ (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底 面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理， 侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平 方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多 大时，总费用最低，最低为多少？ 第二章二次函数 函数中的决策问题 学 类型二：实际问题中的决策 2.[应用意识]某龙虾销售商计划在龙虾热销的 30天内销售某种龙虾，他了解到龙虾成本为 10元/千克，第x天的销售量为y(千克)，y 与x满足一次函数关系，其部分对应值如下 表，销售价格（元/千克）与x之间的关系为 2x+20(1≤x≤15) 300 x +10(16≤x≤30) 直现 10 15 20 25 30 25 20 15 设第x天的利润为w元， (1)求y与x之间的函数关系式 (2)这30天中，该销售商第几天获得的利润 最大，最大利润是多少？ (3)在实际销售的前15天中，龙虾养殖基地 为刺激销售，鼓励销售商批发龙虾，每批发 1千克就发给销售商2a(a≥2)元奖励.通过 销售记录发现，前8天中，销售商每天获得奖 意识 励后的利润随时间x的增大而增大（假设每 天批发的龙虾均能售完)，试求a的取值 范围. 做神龙题得好成绩 5712.解：(1)，抛物线y=ax2十bx(a>0)经过原点O和点 十n,一2X2,得m=一4。（2)”点A与抛物线 77 /4a+2b=0 4 A(2,0),B(-1,2),. lab2.a=3,6三一3 的顶点B的距离为4，点A的坐标为(2,5)，∴点B的坐 抛物线的表达式为y=号-台=号（红-1）-号 2 2 标为(2,1)或(2,90，.4n-（二)-1或9，解得m=5或 4 “抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一子）： 13,∴.抛物线y1的表达式为y1=x2-4x+5或y1=x2 -4x+13. (2)该抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,.当x<1 以 时，y随x的增大而减小，而x1<x2<1,故y1>y2· 12解，①号5 (2)设二次函数的表达式为Sn=an2+ (3):点B(-1,2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物 号-a+6+c a=1 线的对称轴x=1对称，.C(3,2).设直线AC的函数表 2k十m=0 k=2 bm十c,则5=4a十2b十c,解得b= 2这个二次函 达式为y=kx十m, 3k+m=2'解 m=一4心直线 21 2 =9a+3b+c (c=0 AC的函数表达式为y=2x一4. 第2课时由三点确定二次函数的表达式 数的表达式为S,=心+ 1.D2.A 培优专题6：求二次函数表达式的常见类型 3.解：(1)由图象知A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),代入y= 1.A2.D a-b+c=0 3.y=x2-2x-34.y=x2-x+1 ax2十bx十c(a≠0)，得c=一3 ,解得a=1,b= 5.解：(1)由已知条件，得C(0,4),B(4,4),把B,C两点的坐 16a+4b+c=5 一2，c=一3，.二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 标代人y=一号x2+a+c,得厂8+6+c=4 \c=4 解得 (2)y=x2-2x-3=(x一1)2一4，所以抛物线的顶点坐标 b=2 1 1 为(1，一4)，对称轴为直线x=1. c=4y=-2x2+2x+4. (2):y= 2x2+2a+ 4.D 5.y=-x2+x+2 4 乞(x一2)2十6，顶点D(2,6),Sg助形c=SAAc 6.解：，∠AOC=∠ACB=90°，.∠CAO+∠AC0=90°， +5Am=2X4X4+号×4X(6-40=12 1 ∠CAO+∠ABC=90°.∴.∠ACO=∠ABC.又.∠AOC= ∠08=90，△A0△C80.8器-82.0c2 6.解：(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为点D,如图.，斜坡的 坡比为1：2，∴.AD:OD=1:2.AD=1.5,.OD=3, OB·OA.OA=1,O℃=2，.OB=4..B(4,0),C(0, ∴A(3,1.5).设二次函数的表达式为y=ax2+bx,将 2).设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x一4).将C(0,2) 9a+3b=1.5 代人，得-4如=2，解得a=-,∴过A,B,C三点的二次 函数的表达式为y=2c+1Dc0=名+8+2 7.B 2三次函数的表达式为y=-7x2+2G b=2 8.y=-3x2+3 822、1 9.y= 4x+2 (2),y=一 x2+2x=-合（x-2)2+2,-合<0当 1 x=2时，y取最大值2，∴小球到达的最高点的坐标为(2,2). 10.解：把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,∴.点B(2,3). 当y=0时，0=x+1,解得x=-1,∴.点A(-1,0).由于 抛物线的顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，设抛物线的 表达式为y=ax2+c.把A(-1,0),B(2,3)代入，得 a十c=3解得a=1,c=-1,抛物线的表达式为y (a十c=0 D x2-1. 11.解：(1)，点A的纵坐标为5，点A在直线y2=2x十1上， 4二次函数的应用 .5=2x十1，得x=2,点A的坐标为(2,5).抛物线 第1课时最大面积是多少 y1的对称轴与直线y2的交点为A,抛物线y1=x2十mx 1.10m,10m ·16·同行学案学练测 2.解：1)下部分矩形的长=10-)14红=5一7x,由x>0,5 2 大棚的最高处到地面的距离为行米。(3)令y-,则 -7z>0,得0<<号，y=(5-7z+2x)2x=-10x2 +10x(0<x< .(2):y=-10x2+10x=-10(x <6,“大棚内可以搭建支架的土地的宽为6一号 -)广+号当z=号时y取到最大位最大值为 号（米）.又：大桶的长为16米，∴需要搭建支架部分的士 答：x取号时，透光面积最大，最大透光面积是号m。 地面积为16×号-8（平方米），故共需要准备88×4- 3.2s 352(根)竹竿. 4.解：设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的 6.解：以左边柱子与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左 面积为Smm2,则有S=SAx-Sm=号×12X24-号 1 边柱子为y轴建立平面直角坐标系，如图.由题意，得 A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1).设函数表达式为y=ax2 ×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.4> +bz十c,把A,B,C三点的坐标分别代入，得 0,.当t=3时，S取得最小值，即移动3s时，四边形 c=2.5 a=2 APQC的面积最小. 4a十2b+c=2.5,獬得b=-4,∴.y=2x2-4x+2.5 5.C6.D7.243 0.25a+0.5b+c=1 (c=2.5 8,解：D:E,F为AB,AD中点，EF=合BD,同理，GH =2(x-1)2+0.5.2>0,.当x=1时，ym血m=0.5,∴.绳 子的最低点距地面的距离为0.5米 =2BD.:EF+BD+GH+AC=80,∴BD=40- 2x. 四边形ABCD是菱形，∴y=(40-号x)z=-子x 米 +20z.(2AC≤号BD,∴≤号(40-7）x≤ 3225<x<32y=-子r2+20r=-6x-40r+ 一2米 7.解：(1)由题意，知抛物线顶点为(5,3.2)，设抛物线的表达 40.又：-<0，当x=32,即AC为32cm时面积最 式为y=a(x-5)2+3.2,将(0,0.7)代入，得0.7=25a+ 3.2,解得a=- 0y=b-5+82=02+ 1 大，此时最大面积为-子×(32-40)2+400=384(cm2). 9.解：(1)，(21-12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 x+0“抛物线的表达式为y=一+x+ 7 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a× 1=a(m2),.36-a=32,解得a=4,∴.DG=4m,∴.CG= (2)当y=16时，0+x十0=16，解得x=1或 1 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 x=9,.她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3= 4m.(2)设BC的长为xm,则CD长度为(21-3x)m, 6(m). .总种植面积为(21-3x)x=-3(x2-7x)= 8.解：(1)在y=-0.4x十2.8中，令x=0得y=2.8,∴.点P -3(-号）+14-30,0<21-3x≤12当x= 的坐标为(0,2.8)，把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2, 得a十3.2=2.8，解得a=-0.4,.a的值是-0.4. 名时，总种植面积有最大值为14m,即BC应设计为 (2),OA=3m,CA=2m,.OC=5m,.C(5,0).在y= m总种植面积最大，此时最大面积为m配。 7 -0.4x十2.8中，令y=0,得x=7;在y=-0.4(x-1)2+ 3.2中，令y=0,得x=-2V2十1（舍去）或x=2W2+1. 第2课时抛物线形实际问题 ,|7-5>2√2-4|，.选择吊球方式，球的落地点到C 1.102.243.4 点的距离更近. 44反-02号 第3课时利润问题 1.B2.B 5解：16=名c=1.(②)曲y=-日+名+1= 1 3.解：(1)y=-2x+200(2)W=-2x2+280x-8000 (红-召)”+爱，可知当x=名时y有最大值器故 (3),W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800(40 ≤x≤80)，.当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当 70≤x≤80时，W随x的增大而减小，∴.当x=70时，W取 -2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为对 得最大值，此时W=1800,即售价为每千克70元时获得最 称轴为直线x=6,开口向上，所以当0<x≤2.5时，w随x 大利润，最大利润是1800元. 的增大而减小，所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总 4.解：(1)y=-2x十220(2)设药店每天获得的利润为 费用最低，最低为25元. w元.由题意，得w=(x-50)(-2x十220)=-2(x-80)2 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,将(10， 十1800.-2<0，∴.函数有最大值，.当x=80时，w有 10k十b=30 30),(20,20)分别代入，得 最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，药 店每天获得的利润最大，最大利润是1800元 y与x之间的函数关系式为y=一x十40.(2)当1≤x≤ 5.解：(1)设y=kx+b,将(25,110)，(30,100)代入，得 25k+b=110 15时，u=(分x+20-10)(-x+40)=-2(x-10)y2+ (2)由 30k+b=100 解得一2 6=160y=-2x+160. 450.- 2<0,当x=10时，0取最大值，最大值为 题意，得(x-20)(-2x+160)=1000,即-2x2+200x 3200=1000,解得x=30或70..每千克售价不低于进 450;当16≤x≤30时，w= (20+10-10）(-x+40) 价，且不高于40元，.x=30..该超市要想获得1000元 12000 的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元.(3)设超 -300.12000>0,.当16≤x≤30时，w随x的 x 市日销售利润为w元，则=(x一20)（一2x十160）= 增大而减小，.当x=16时，w取最大值，最大值为450.故 -2x2+200x-3200=-2(x-50)2+1800..-2<0, 第10,16天获得的利润最大，最大利润为450元.(3) .当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴.当x=40时， -2x-102+450+7a(-x+40)=-22+(10 1 1 w取得最大值为一2×(40-50)2+1800=1600..当每 千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润 2az+400+20a.“前8天每天获得奖励后的利润随 1 是1600元. 6.解：(1)设蛤蜊每次降价的百分率为α%，依题意，得20(1 1 10-2 1 a%)2=16.2,解得a1=10,a2=190(舍去)..蛤蜊每次降 x的增大而增大，。 1 10-2a>7.5,解得a< 价的百分率为10%.(2)结合(1)得第1次降价后的价格 2大2 为20×(1一10%)=18（元），.当1≤x<9时，y=(18 5,故a的取值范围为2≤a<5. 8.2)(105-3x)-(40+3x)=-32.4x+989.,k=-32.4 5二次函数与一元二次方程 0,.y随着x的增大而减小，.当x=1时，利润最大为 第1课时二次函数与一元二次方程的关系 一32.4×1十989=956.6（元）.当9≤x<15时，第2次降价后 1.B2.D3.C 的价格为18×(1一10%)=16.2（元），.y=(16.2-8.2)(120 5 -x)-(3x2-68x+300)=-3x2+60x+660=-3(x 4y=号x2-3x2 10)2+960..a=一3<0，.当x=10时，利润最大为 5.x1=-2,x2=1 960元.956.6<960，.第10天利润最大，最大利润为 6.>7.(4,7)和(-1，-3)8.(1)A(2)B9.A 1-32.4x+989(1≤≤x<9) 960元.综上，可得y= 第 10.A[解析]：二次函数y=x2+2x十b+1的图象与 -3.x2+60x+660(9≤x<15) x轴有两个交点，.△=22一4(b十1)>0，解得b<0.当 10天利润最大，最大利润为960元.(3)当1≤x<9时， k>0,b<0时，一次函数y=x十b的图象经过第一、三、 32.4红+989≥930，解得x<23,此时有1天的禾 四象限；当k<0,b>0时，一次函数y=kx十b的图象经 过第一、二、四象限.故选A 润不低于930元；当9≤x<15时，y=-3x2+60x十660≥ 11.(1)C(2)C12.C 930,根据图象法可解得10一√10≤x≤10+√10，.9x 13.D[解析]y=(x-a-1)(x-a十1)-3a十7=x2-2ax ≤13，.此时第9~13天的利润不低于930元，13一9+1= +a2一3a+6.抛物线与x轴没有公共点，∴.△ 5(天).综上可知，有1十5=6（天）利润不低于930元. (-2a)2-4(a2-3a十6)<0，解得a<2.抛物线的对称 培优专题7：二次函数中的决策问题 轴为直线x=一一20=4，抛物线开口向上，而当x<一】 1.解：(1)图略.设裁掉的正方形边长为xdm,由题意，得(10 2 -2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x1=2或x2 时，y随x的增大而减小，.a≥一1，.实数a的取值范 =6(舍去).即裁掉的正方形边长为2dm.(2)因为长不 围是-1≤a<2. 大于宽的5倍，所以10一2x≤5(6一2x),所以0<x2.5. 14.B 设总费用为w,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)十2(1015.D[解析]当m=0时，函数为y=2x十1，其图象与x轴 只有-个交点：当m≠0时，4=0，即(m十2)2-4m(2m 时与新抛物线也有三个公共点。 十1=0，解得m=士2.当m=0或m=士2时，函数 y=m2十(m十2)z十2m十1的图象与x轴只有一个 交点 16.A[解析]依题意，画出函数y=(x一a)(x-b)的图象， 如图所示.函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交 将一次函数与二次函数表达式联立得x2-5x一6=2x十 b,整理得x2-7x-6-b=0,.△=49-4(-6-b)=0, 点的横坐标分别为a,b(a<b),方程1一(x一a)(x一b)= 0,转化为(x一a)(x一b)=1,方程的两根是抛物线y=(x 解得6-孕当一次函数过点B时，令y一-x一-6 一a)(x一b)与直线y=1的两个交点.由m<n,可知对称 =0,解得x=一1或6，即点B的坐标为(6,0).将点B的 轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.由抛物线开口向上，则 坐标代入y=2x十b,得0=12十b,解得b=-12.综上，若 在对称轴左侧，y随x增大而减小，则有m<a;在对称轴 直线y=2x十b与这个新图象有3个公共点，则b的值为 右侧，y随x增大而增大，则有b<n.综上所述，可知m< _73或-12. 4 a<b<n.故选A 21.解：(1)，抛物线y=一x2十mx+3过点B(3,0),∴.0= (y=-x2+2x+3 -9+3m+3,∴.m=2. (2)由 3 y=-2x+3 ·得 7 /x1=0 x2= y1=3' gD(，-)Sm= 17.B y2= 4 18.解：(1)补全函数图象如图所示. 4SABXIyr1-4XABXyr-9. ∴yp=士9.当yp=9时，-x2+2x十3=9，无实数解；当 yp=-9时，-x2+2x+3=-9,解得x1=1+√13，x2 =1-√13，∴.点P的坐标为(1十√13，-9)或(1- √13，-9). 5x 22.(1)证明：.△=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k 3)2+12>0,.无论k为何值，方程总有两个不相等的实 数根.(2)解：由题意知抛物线开口方向向上.：△=(k 一3)2十12>0，∴.抛物线与x轴有两个交点.设抛物线与 (2)3(3)由图象，知①此函数在实数范围内既没有最大 x轴的交点的横坐标分别为x1,x2.:抛物线不经过第三 值，也没有最小值；②此函数分别在x<一2和x>2范围 象限，.x1十x2=5-k>0,x1·x2=1-k≥0，解得≤ 内，y随x的增大而增大；③此函数图象过原点；④此函数 1.(3)解：设方程的两个根分别是x'1,x'2,根据题意， 图象关于原点对称.（答案不唯一，写出两条即可） 得(x'1-3)(x'2-3)<0,即x'1·x'2-3(x'1十x'2)+9 19.D[解析]，y=x2-4x十a=(x-2)2-4十a,.将二次 <0.又x1十x'2=5-k,x1·x'2=1-k,代入得1-k- 函数y=x2一4x十a的图象向左平移1个单位长度，再向 35-)十9<0，解得k<号，则k的最大整数值为2 上平移1个单位长度，得到的函数关系式为y=(x一2十 培优专题8：二次函数的图象与系数的关系 1)2-4+a十1，即y=x2-2x十a-2.将y=2代入，得 (1)向上向下(2)同号异号(3)><= 2=x2-2x十a一2，即x2-2x十a-4=0.由题意，得△= (4)a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c(5)1 4-4(a-4)>0,解得a<5. 2a0-12a01-1(6)有两个有一个无 20.A[解析]如图所示，过点B的直线y=2x十b与新抛物 1.C2.D3.D4.C 线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此：5.①③ 同行学案学练测·17·