小升初典型应用题：排列组合问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：排列组合问题 1．小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？ 2．有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两个数字大，另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两个数字小，求符合要求的数中M与W类比，多的比少的多几个数？ 3．在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？ 4．芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加。问：共需要进行多少场比赛？ 5．某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次。问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ 6．口袋中有20个形状、大小相同，颜色不同的球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数有多少种？ 7．学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？ 8．爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？ 9．乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个，那么，它们共有多少种不同的站法？ 10．有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次它都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上，那么它一共有多少种不同的跳法？ 11．图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书。 （1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？ （2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？ 12．小明去公园旅游，爬26级天梯。他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？ 13．某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？ 14．1231,1005,1993这几个数有许多相同之处:它们都是四位数,最高位是1,都恰有两个相同的数字,一共有多少个这样的数? 15．有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋里随意摸出3枚棋子。试证明这5个小朋友中至少有两人摸出的棋子的颜色是一样的。 16．将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有多少种不同的放法？ 17．有13个队参加篮球赛，比赛分为两个组，第一组7个队，第二组6个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4队分成两组进行淘汰赛，最后两队决出冠亚军。问共需比赛多少场？ 18．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ 19．小红有一辆变速自行车，车子的前齿轮分别有40、48个齿，后齿轮分别有15、20、24、30个齿．他的前后齿轮共可以调出多少种不同的组合？蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？哪种组合蹬起来最省力？ 20．用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？ 21．某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？ 22．小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加。请问报名的情况有多少种？ 23．要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果？ 24．有一楼梯共有10级，如规定每次只能跨上一级或二级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 25．用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？ 26．在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号。如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？ 27．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书（每种类型只买一本），根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？ 28．一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，4，5.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，两次摸出的球的编号之和为奇数的可能性超吗？请说明理由。 29．某市举行小学生足球比赛，共有14个队参加，比赛采用单循环制（每两个队都要赛一场），（1）比赛开始前通过“掷币”的方式让双方队长挑边，猜中的一方选择上半场的进攻方向，你觉得公平吗？为什么？（2）共要举行多少场比赛？ 30．一个人在三个城市A、B、C中游览。他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市。如果这个人第一天在A城，第5天又回到了A城，那么这个人有几种旅游路线？ （一条线路中可以重复游览某个城市） 31．学校举行羽毛球比赛，共有8支队伍参加。先分成两个小组，每组4支队伍进行小组赛，小组赛中每两支队伍都要比赛1场，最终获胜次数最多的队伍为小组第一名并进入决赛。至少一共要赛多少场才能产生冠军？ 32．王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字，那么王老师最多试几次就肯定能打开这个公文包？ 33．兔妈妈摘了15个相同的蘑菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？ 34．书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？ 35．用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？ 36．在新学期的班会上，大家要从名候选人中选出班干部。请问： ①选出三人组成班委会，那一共有多少种选法？ ②从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？ 37．在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．9种 【分析】根据题意可知：小高一家外出旅行，选择乘坐汽车有3种不同的方式；选择坐火车有4种不同的方式；选择坐飞机有2种不同的方式；则共有4＋3＋2＝9种出行方式。 【详解】4＋2＋3 ＝6＋3 ＝9（种） 答：任意选择其中一个班次，有9种出行方法。 【点睛】明确乘坐每种交通工具各有多少种不同的出行方式是解决本题的关键。 2．W的个数多，多448个 【详解】设M万位数为0的数字为：0abcd，要满足以上条件，必须有c大于b和d，且a大于b，因abcd均不等于0，所以abcd在1﹣9之间且互不相等， abcd任意排列有9×8×7×6＝3024种， b，c，d相互关系可能性有以下3种：b大于c，d；c大于b，d；d大于b，c，总共3种可能性，而且可能性均相等， 所以c大于b，d可能性为abcd任意排列可能性的，3024÷3＝1008种， 这1008种中再看a和b的关系：事实上，b永远不可能＝9，而a可能＝9， 所以当a＝9时，b，c，d有8×7×6＝336种排列，其中c大于b，d可能性为336÷3＝112，故减去a＝9的可能性1008﹣112＝896， 这样a，b可能性一样，有以下2种：a大于b；b大于a，总共2种可能性，而且可能性均相等， 所以这896种中a大于b可能性为896÷2＝448，符合要求的数M和W，W的个数多，多448个． 3．35种 【分析】如下图所示： 要想从A点走到B点，每次只能向上或向右走一步，则可以选择从A点走到C点，再从C点走到B点；或者从A点走到D点，再从D点走到B点；从A点走到C点有1＋3＋6＋10＝20种不同的走法，从A点走到D点有1＋2＋3＋4＋5＝15种不同走法，所以一共有20＋15＝35种不同的走法。 【详解】（1＋3＋6＋10）＋（1＋2＋3＋4＋5） ＝20＋15 ＝35（种） 答：一共有35种不同的走法。 【点睛】明确走到每一个点的走法数等于走到它左边的点的走法数加上走到它下面的点的走法数之和是解决本题的关键。解决此类问题采用 “标数法”比较简便。 4．276场 【解析】单循环赛，每两个队之间都要比一场，那么从24个队中选出2个队的方法数即为总的比赛场次。 【详解】（场） 答：共需要进行276场比赛。 【点睛】本题考查的是单循环比赛的问题，n支球队进行单循环比赛，总的场次为。 5．148场 【分析】进行单循环比赛，每两人比一场，总的比赛场次相当于是从总人数里面选出2人的方法数，先求出前两个阶段的比赛场次；第三阶段，半决赛2场，总决赛1场，确定三、四名还需要1场。 【详解】第一阶段中，每个小组内部的个人每 人要赛一场，组内赛 场，共 个小组，有 场； 第二阶段中，每个小组内部 人中每 人赛一场，组内赛 场，共 个小组，有 场； 第三阶段赛场．根据加法原理，整个赛程一共有 场比赛。 答：整个赛程一共需要进行148场比赛。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的数学问题，n支球队进行单循环比赛，总的比赛场次为。 6．16种 【分析】红球不少于2个，黑球不多于3个，然后按红球有5、4、3、2个，黑球只能是3、2、1、0个列表列举解答即可。 【详解】根据分析列举： 红球个数 黑球个数 白球个数 种数 5 3，2，1，0 2，3，4，5 4 4 3，2，1，0 3，4，5，6 4 3 3，2，1，0 4，5，6，7 4 2 3，2，1，0 5，6，7，8 4 所以，共有：（种） 答：上述取法的种数有16种。 【点睛】本题考查推理，通过把符合要求的一一列举出来，从而得到答案，这种解答问题的方法叫做“枚举法”，通常也称为“穷举法”，在解答很多有趣的数学问题时，经常用到这种方法。 7．36种 【分析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻。可以看成有10盏灯，共有9个空位，在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数。 【详解】（盏） 10盏灯有9个间隔； 熄灯的方法数： （种） 答：熄灯的方法共有36种。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，插空法是求解此类问题最常用的方法。 8．56种 【分析】 投篮进球记为“”，不进球记为“”，连续两次进球记为“”。单独投进的既不能与连续投进的前一个位置相邻，也不与的后一个位置相邻，否则会有3次连续进球。一共有（10－3＝7）次。7次排列后之间及两端有8个间隔，如图：，需要将和插入8个间隔中，且不能插入同一个间隔。将插入第一个间隔，有7种插法，如图：、、、、、、。有8种插入方法，一共有（8×7）种插入方法。 【详解】10－3＝7（次） （7＋1）×7 ＝8×7 ＝56（种） 答：他投篮的过程有56种不同的情况。 【点睛】将连续投进视为一个整体，再与单独投进的情况组合排列。画图更加简洁易懂。 9．2种 【分析】可以先考虑第1个位置可以站哪些小动物？再考虑第2个位置。以第一个位置站的小动物为“树根”，画出树形图，即可得到所有的站法。 【详解】由题意，画树形图如下： 由图可知，有2种不同的站法。 答：它们共有2种不同的站法。 【点睛】树形图是枚举法的一种，可以使我们的枚举过程更加直观，有条理又不易重复或遗漏。 10．6种 【分析】根据题意，第一次跳之后可能在B荷叶或者C荷叶上，最后跳了3次之后，排除掉在A荷叶上的，即可得解。 【详解】第一次可跳在B、C荷叶上，据此画出树形图如下： 由图可知，共6种。 答：它一共有6种不同的跳法。 【点睛】树形图是枚举法的一种，可以使我们的枚举过程更加直观，有条理又不易重复或遗漏。 11．（1）60种；（2）6000种 【分析】（1）墨莫要去图书馆借1本书，则他可以选择借数学书，有30种不同的选择；可以选择借英语书，有20种不同的选择；还可以选择借语文书，有10种不同的选择；所以他一共有30＋20＋10＝60种不同的选择； （2）墨莫三种书都要各借1本，则他可以选择先借1本数学书，有30种不同的选择；再选择借1本英语书，有20种不同的选择；最后选择借1本语文书，有10种不同的选择；所以他共有30×20×10＝6000种不同的选择。 【详解】（1）30＋20＋10 ＝50＋10 ＝60（种） 答：墨莫要去图书馆借1本书，有60种不同的选择。 （2）30×20×10 ＝600×10 ＝6000（种） 答：墨莫三种书都要各借1本，有6000种不同的选择。 【点睛】本题主要考查了加法原理和乘法原理的应用。要明确加法原理是分类完成一件事，乘法原理是分步来完成一件事。 12．24种 【分析】这道题我们首先要确定摔倒之前的初始阶段按照每步2级的步数走，走的步数范围；接着判断后退1级或2级是否可行；最后用乘法原理计算总走法数。 【详解】（1）确定摔倒之前每步2级的步数可能的取值： 摔倒之前每步2级，至少走了1步，且未到终点（26级）。因为每步2级，走1步是2级，走2步是4级，……，走12步是24级，走13步是26级（到终点），所以摔倒之前步数可以是1步、2步、……、12步，共12种情况 （2）对每种摔倒之前的步数，判断后退1级或2级是否可行： 初始步数至少1步，后退1级后位置为21－1＝1级（非负），后退2级后位置为21－2＝0级（非负），所以每种初始步数对应2种后退方式。 （3）计算所有可能的走法总数： 摔倒之前有12种步数，每种步数对应2种后退方式，总走法数为初始步数的种数乘每种步数对应的后退方式数：122＝24（种）。 答：小明这次爬天梯的走法有24种不同的可能。 【点睛】这道题核心是先确定“初始每步2级的步数”的可能情况，再结合“后退级数”的选择，最后计算总走法数。 13．种 【分析】男少先队员有3人，女少先队员有 4 人，有5人不是少先队员，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，可以把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，然后男少先队员进行插空。 【详解】12－4－3＝5（人） 把个女少先队员看成一个整体，与不是少先队员的名同学一块儿进行排列，有（种）排法。 然后在七个空档中排列个男少先队员，有 （种）排法； 最后个女少先队员内部进行排列，有（种）排法。 由乘法原理，这样的排法一共有（种）； 答：这样的排法有3628800种。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，综合应用了捆绑法、插空法来求解问题。 14．432个 【详解】将符合条件的数分成两类: (1)两个相同的数就是1的,先排末三位中的1,它有3个位置可选择;再排其他两位,有9×8种方法.共有3×9×8=216(种)方法. (2)两个相同的数不是1的,选一个数字使它重复,有9种方法.再选一个不同数字有8种方法,将这三个数排在末三位有3种方法,一共有9×8×3=216种方法. 合计共有216+216=432(种)方法. 15．3枚棋子的排列有：黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白共4种情况，前4个人情况都不一样，第5个人也会和前4个人其中之一一样。 【详解】略 16．10种 【分析】由于三盆红花互不相邻，那么可以把四盆同样的黄花先摆好，然后三盆红花进行插空。 【详解】如图所示： 总共5个空，需要选择其中的三个空放红花； （种） 答：共有10种不同的放法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，插空法是求解排列组合问题常用的方法。 17．39场 【分析】单循环赛阶段，每两队之间有一场比赛，因此，第一组的7个队进行单循环赛所需比赛场数为＝21（场），第二组的6个队进行单循环赛所需比赛场数为＝15（场），淘汰赛阶段，4只队伍决出冠亚军所需比赛场数为3场，所以共需：21＋15＋3＝39场。 【详解】 21＋15＋3＝39（场） 答：共需比赛39场。 【点睛】本题考查了排列组合知识，关键是利用分步计数和加法原理计算。 18．2520种 【分析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系，先从8人中选出2人，再从余下的6人中选出2人，再从余下的4人中选出2人，余下的2人随之确定。 【详解】排队方法总数为： （种） 答：一共有2520种不同的排队方法。 【点睛】本题将组合问题与乘法原理相结合，相当于把整个过程分成4步，求出每一步的方法数，步步相乘。 19．前后齿轮共可以调出8种不同的组合，蹬同样的圈数前齿轮为48齿，后齿轮15齿的这种组合走得最远，前齿轮为40齿，后齿轮30齿的这种组合最省力 【详解】（1）40：15＝8：3，40：20＝2：1，40：24＝5：3，40：30＝4：3； 48：15＝16：5，48：20＝12：5，48：24＝2：1，48：30＝8：5． 所以这种变速自行车能有8种速度组合． （2）蹬相同的圈数，前、后齿轮的齿数最多时，这种组合走得最远； 所以前齿轮为48齿，后齿轮15齿的这种组合走得最远． （3）蹬相同的圈数，比值最小的，这种组合最省力； 所以前齿轮为40齿，后齿轮30齿的这种组合最省力． 答：前后齿轮共可以调出8种不同的组合，蹬同样的圈数前齿轮为48齿，后齿轮15齿的这种组合走得最远，前齿轮为40齿，后齿轮30齿的这种组合最省力． 20．90个；60个 【分析】第1问，先从6个数位中取出2个数位放1，再从剩下的4个数位中取出2个数位放2，剩下的两个数位放3；第2问，如果把两个0换成两个3，那么总数与第一问相同，而首尾是1、2、3的六位数个数是相同的，减去总数的三分之一即可。 【详解】第1问： 先考虑在个数位上选个数位放，这两个的顺序无所谓，故是组合问题，有（种）选法； 再从剩下的个数位上选个放，有（种）选法； 剩下的个数位放，只有种选法。 由乘法原理，这样的六位数有（个） 第2问： 在前一问的情况下组成的个六位数中，首位是、、的各个； 如果将全部换成，这个首位是的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数（个） 答：用2个1，2个2，2个3可以组成90个互不相同的六位数；用2个0，2个1，2个2可以组成60个互不相同的六位数。 【点睛】本题考查的是组多位数的问题，综合应用了排列组合和乘法原理进行求解，注意0的特殊性。 21．5760种 【分析】第一天还需要从余下的5个节目中选出2个节目，那么剩下的3个节目自然就是第二天播出的；而每一天的四个节目又有不同的播放顺序。 【详解】（个） （种） 答：一共有5760种不同的播放节目方案。 【点睛】本题考查的是排列组合的计数问题，不仅要选出每天播放的节目，还要考虑每天的四个节目的顺序。 22．27种 【分析】对于小琴来说，她可以选择报名跳绳、跳高和短跑这三个项目中的任意一种，所以有3种不同的报名方式，同理小惠和小梅也各自有3种不同的报名方式；根据乘法原理则3人总的报名方式有：3×3×3＝27种。 【详解】3×3×3 ＝9×3 ＝27（种） 答：报名的情况有27种。 【点睛】本题主要考查了乘法原理的实际应用。根据题意分析出每人参加比赛的不同报名方式是解决本题的关键。 23．6×6×6=216（种） 【详解】略 24．89种 【分析】每次跨一级或两级进行分情况讨论。 【详解】1.没有跨两级的情况：每次跨一级，1种跨法； 2.有一次跨两级：需要跨9次，9次中选取一次跨两级，即9选1，有9种情况； 3.有两次跨两级：需要8次，8次中选取2次跨两级，即8选2，8×7÷（2×1）＝28（种），有28种跨法； 4.有3次两级：需要跨7次，7次中选取3次跨两级，即7选3，7×6×5÷（3×2×1）＝35（种），有35种； 5.有四次跨两级：需要跨6次，6次中选取4次跨两级，即6选4，6×5×4×3÷（4×3×2×1）＝15（种），有15种； 6.有五次跨两级：有1种跨法。 共计：1＋9＋28＋35＋15＋1＝89（种）； 答：共有89种不同走法。 【点睛】本题先根据条件转化乘组合的问题，组合问题的公式：n个中选a个就有n×（n－1）×（n－2）×…共有a个的积，再除以a×（a－1）×…×1的积。 25．177个 【分析】3的倍数的特征：各数位上的数字之和是3的倍数。据此分别选择数字组成不同位数的数。 【详解】按位数来分类考虑： ⑴ 一位数只有个； ⑵ 两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组2×1＝2个不同的两位数，4组共可组成（个）不同的两位数； ⑶ 三位数：由、与；、与；、与；、与四组数字组成，根据乘法原理，每一组可以组成3×2×1＝6（个）不同的三位数，共可组成（个）不同的三位数； ⑷ 四位数：可由、、、这四个数字组成，有4×3×2×1＝24（个）不同的四位数； ⑸ 五位数：可由、、、、组成，共有5×4×3×2×1＝120（个）不同的五位数。 由加法原理，一共有（个）能被整除的数，即的倍数。 答：能写出177个3的倍数。 【点睛】本题考查排列组合问题。掌握并熟练运用乘法原理、加法原理是解决此类问题的关键。 26．种 【分析】这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题。 【详解】由排列数公式： （种） 答：有6种不同的信号。 【点睛】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化。 27．8名 【分析】每种类型只买一本，如果买一本的有3种买法，如果买两本的有3种买法，如果买三本的有1种买法，共有3＋3＋1＝7（种）买法，看作7个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要7人，那么再有1个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书；据此解答。 【详解】3＋3＋1＝7（种） 7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。 【点睛】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可。 28．不超；理由见详解 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小。 【详解】两次摸出的球的编号之和为奇数的情况有12种： 两次摸出的两个球是1和2或2和1； 两次摸出的两个球是1和4或4和1； 两次摸出的两个球是2和3或3和2； 两次摸出的两个球是4和3或3和4； 两次摸出的两个球是4和5或5和4； 两次摸出的两个球是2和5或5和2； 摸出的两个球共有5×5＝25种情况， 12÷25＝48 % 48 %＜50 % 所以两次摸出的球的编号之和为奇数的可能性不超。 【点睛】本题主要考查了组合和概率的求法的运用。两次摸出的球的编号之和为奇数的情况数是关键。 29．（1）猜中和猜不中的概率相等，都是，因此公平；（2）91场 【详解】（1）比赛开始前必须通过足球裁判以“掷币”的方式让双方队长挑边，猜中的一方选择上半场的进攻方向，猜中和猜不中的概率相等，都是，因此公平． （2）第一个球队要比13场，第二个球队要比12场，第三个球队要比11场 13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=91（场） 30．6种 【分析】由题意可知，第二天时，这个人可能在B、C城市游览，即可以把“树根”确定为B、C，据此解答即可。 【详解】第二天在B时： 第二天在C时： 综上，共有6种情况。 答：这个人有6种旅游路线。 【点睛】画树形图，要按照顺序分类计数，防止遗漏。 31．13场 【分析】因为小组赛中每两支队伍都要比赛1场，所以每个小组需要比赛的次数是：3＋2＋1次，计算出两组共需要比赛的场次，然后加上小组冠军比赛产生总冠军的1场即可。 【详解】3＋2＋1＝6（场） 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（场） 答：一共要赛13场才能产生冠军。 【点睛】本题的重点是求出每组进行比较的场次，进而求出比赛的总场次。 32．10次 【分析】由“这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大”可知，百位数字最小，先考虑百位数字最小有几种情况。分别把这些情况作为“树根”，画出树形图解答即可。 【详解】由题意可知，百位数字最小，分别用1、2、3三个数作为树根，可以画出三幅树形图，如下： 即：百位是1时有6种情况，百位是2时有3种情况，百位是3时有1种情况。 答：王老师最多试10次就肯定能打开这个公文包。 【点睛】画树状图的关键一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。一般先从“树根”开始，然后长枝、分叉，最终只需要数一下结果数目即可得解。 33．19种；91种 【分析】第（1）问，分装在3个相同的筐子里，两种不同的装法意味着这两种装法中3个筐子里的蘑菇数量不完全相同，可以进行分类讨论。 第（2）问，如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，可以把这15个蘑菇排成一列，中间有14个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多放一个板。这2个板的每一种放法都把15个蘑菇分成3份，所以这两个板的每一种放法都对应一种装蘑菇的方法。 【详解】（1）分类讨论如下： ①如果每个筐至少有个，有种情况； ②如果每个筐至少有个，则相当于把个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是空的（否则没有筐子是空的，将与①中的情况相同），有（0，0，3）和（0，1，2）种情况； ③如果每个筐至少有个，则相当于把6个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是空的，有（0，0，6），（0，1，5），（0，2，4）和（0，3，3）种情况； ④如果每个筐至少有个，类似分析可知有种情况； ⑤如果每个筐至少有个，类似分析可知有种情况。 所以共有种不同的装法。 答：共有19种不同的装法。 （2）15个蘑菇排成一列，中间有14个间隔； （ 种） 答：装蘑菇的不同方法有91种。 【点睛】本题考查的是计数问题，分类枚举和隔板法都是计数问题中常用的方法。 34．103680种；种 【分析】（1）把4本不同的漫画书看成一个整体，5本不同的童话书看成一个整体，3本不同的故事书看成一个整体，将三个整体进行排列，有6种方法，每个整体内部分别有24种、120种、6种方法； （2）首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插。 【详解】（1）每种书内部任意排序，分别有，，种排法，然后再排三种类型的顺序，有种排法，整个过程分4步完成。种，一共有103680种不同排法。 答：如果同类型的书不要分开，一共有103680种排法。 （2）首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一共有种排法。 答：只要求童话书和漫画书不要分开有345600种排法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，对于必须相邻的情况，多采用捆绑法求解。 35．16种 【分析】房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择；接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择；再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择；最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择；则一共有2×2×2×2＝16种不同的染色方法。 【详解】2×2×2×2 ＝4×2×2 ＝8×2 ＝16（种） 答：一共有16种不同的染色方法。 【点睛】本题主要考查了乘法原理，明确要给四个部分染色，则要依次染每个部分，是按照分步完成这件事是解决本题的关键。 36．①165种 ②336种 【分析】①选出三人组成班委会，不考虑任职情况，是组合问题，从11人中选出3人即可； ②从剩下的8人中选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，需要考虑顺序，相当于是排列问题。 【详解】 （种） （人） （种） 答：三人组成班委会，那一共有165种选法；从剩下的候选人中，选出三人分别担任课代表，一共有336种选法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，需要注意的是组合无需考虑顺序，排列需要考虑顺序。 37．24种 【分析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题。 【详解】第一题中，个小题中选做个，有（种）选法； 第二题中，个小题中选做个，有（种）选法； 第三题中，个小题中选做个，有（种）选法。 根据乘法原理，一共有（种）不同的选法。 答：有24种不同的选法。 【点睛】本题将组合问题与乘法原理相结合，每一大题之间是相互独立的，互不影响。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $