小升初典型应用题：集合问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：集合问题 1．一个班有小学生55人，订阅小学生数学报的有12人，订阅少年报的有9人，两种报纸都订的有5人，（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都不订的有多少人？ 2．陈坊小学元旦征文比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。请问这次比赛共有多少人获奖？ 3．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜。如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？ 4．全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀。若全班有个人数学不及格，那么： （1）数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 5．同学们排队做操，每行人数同样多，小明的位置从左数起是第8个，从右数起是第10个，从前数起是第8个，从后数起是第13个。做操的同学共有多少个？ 6．科技节那天，学校的科技室例展出了每个年级学生的作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一二年级参展的作品共32件，其他年级参展的作品有多少件？ 7．50名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有13人，数学得100分的有16人，两门都没得100分的有30人。问：两门都得100分的有多少人？ 8． 为了迎接六一儿童节，学校组织了长跑和游泳两项比赛，每个人至少参加一个项目。已知三年级（2）班的同学参加运动会的情况是：有28人参加长跑比赛，有25人参加游泳比赛，两项都报名的有10人，请问三年级（2）班共有多少人参加运动会？ 9．在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕。问： （1）三种都带了的有几人？ （2）只带了一种的有几个？ 10．新一期的猫咪训练营开始了，总共有60只小猫咪报名参加。经过一段时间的训练后，有33只猫咪学会了爬树，有25只猫咪学会了抓老鼠，其中既会爬树又会抓老鼠的有10只。那么既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有多少只？ 11．有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？ 12．某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 13．把两根木棒放一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棒长48厘米，中间重叠部分长12厘米。问另一根木棒长多少厘米？ 14．五（4）班的同学中有32人喜欢音乐，27人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有11人，请问：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？ 15．三（3）班有51人，其中会游泳的有30人，会溜冰的有15人，既会游泳又会溜冰的有5人。那么这两项都不会的有多少人？ 16．在一条长600米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔3米植一棵树的坑，后来要改成每隔2米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？ 17．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 18．光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 19．学校对初一6班36名新生进行了一次抽样调查，了解学生游泳和自行车两项运动技能。调查结果发现：每个学生至少会一样，有的学生两样都会，有的学生会游泳。则会骑自行车的学生有多少人？ 20．六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 21． 一群小朋友排成一排，从左往右数小胖在第10 个，从右往左数小亚在第7 个， 并且小胖在小亚右边第5 个，请问这一排总共有多少个小朋友？ 22．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 23．把两根小竹竿接在一起，第一根竹竿长12分米，第二根竹竿长15分米，中间重叠部分长2分米。求接成后竹竿的长度。 24．把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？ 25．学校体育队有足球和篮球共64个，篮球和排球共50个，排球和足球共56个。求足球、排球和篮球各有多少个？ 26．将边长为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少？ 27．有6根木条，各长50厘米。现要将它们依次首尾相接钉在一起，每两根木条中间钉在一起的部分长10厘米。钉好后木条总长多少厘米？ 28．一个班有36名学生，在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。有多少名学生两题都答错了？ 29．某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 30．某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 31．某校选出50名学生参加作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖，两项比赛都没获奖的有多少人？ 32．中心小学六（1）班共有45名学生，其中订《英语报》的占总人数的，订数学报的占总人数的，每人至少订阅一种．两种报都订阅的学生有多少名？ 33．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2题，其中答对第一题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都打错。问参加这次测验的有多少人？ 34．同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多，小红的位置无论从前数，从后数，从左数还是从右数都是第4个。跳舞的同学共有多少人？ 35．小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%。有弟弟的学生是全班学生人数的50%。既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%。既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名。根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？ 36．五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 37．五（1）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种棋都不会下的有10名同学。两种棋都会下的有多少名同学？ 38．红星小学四年级组建了美术和科技两个兴趣小组，有100人参加了。其中参加美术兴趣小组的有75人，两个兴趣小组都参加的有20人。参加了科技兴趣小组的有多少人？ 39．四年级（3）班有50人，数学第一单元考试有26人得满分，第二单元考试有21人得满分。如果这两个单元都没得满分的有17人，那么，两个单元都得满分的有多少人？ 40．四年级122名同学参加音乐、美术期末考查，每人至少有一科得优。已知音乐有65人得优，美术有78人得优，求只有音乐得优的人数。 41．学校举行联欢会。如果甲、乙、丙三个班的学生参加，共60人；如果只有甲、乙两班的学生参加，共40人；如果只有乙、丙两班的学生参加，共32人。则乙班有多少人？ 42．五星小学派出代表队参加中心校秋季田径运动会，其中28名运动员不是五年级的，24名运动员不是六年级的，已知五、六年级运动员共有32名。五、六年级和中低年级运动员各有多少名？ 43．某班有26人参加体育比赛，其中参加跑步的有12人，参加跳绳的有18人，既参加跑步又参加跳绳的有多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．16人；39人 【分析】可将这55人分成4类，即只订阅小学生数学报，只订阅少年报，两种报纸都订阅，两种报纸都没有订阅，分别求出每一类的人数，再求出题目所求。 【详解】只订阅小学生数学报： 只订阅少年报： 两种报纸都订阅：5人 两种报纸都没有订阅： 订阅报纸的总人数： 答：订阅报纸的总人数是16人；两种报纸都不订的有39人。 【点睛】对于集合问题，拿到问题后，先弄清楚每一部分的具体数量，尤其是重叠部分，再考虑题目具体的问题。 2．24人 【分析】获奖者中有16人不是四年级的，那么五年级和其它年级的获奖人数是16人，同理，四年级和其它年级的获奖人数是12人；16人加上12人，得到28人，这28人里面包含了四年级、五年级的获奖人数，以及其它年级获奖人数的2倍；28人减去20人，求出其它年级获奖人数的2倍是多少，再计算其它年级获奖人数是多少；四年级、五年级、其它年级的获奖人数相加得到获奖总人数。 【详解】（人） （人） （人） 答：这次比赛共有24人获奖。 【点睛】本题考查的是重叠问题，可以先画出韦恩图，表示各部分之间的关系，便于理解问题。 3．74只 【分析】如图，把所有的小白兔分成只喜欢吃萝卜，只喜欢吃白菜，只喜欢吃青草，只喜欢吃萝卜和白菜，只喜欢吃萝卜和青草，只喜欢吃白菜和青草，三样都喜欢吃这7类，分别表示在图上。 【详解】如图所示： 爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只； 爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只； 爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只； 三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只； 以上4部分正好构成小白兔的全部，所以只需将它们相加即可； （只） 答：这群小白兔一共有74只。 【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，正确表示各个量之间的关系是解题的关键。 4．（1）0人 （2）人 【分析】有6个数学不及格，那么及格的有19人，即最多不会超过19人会这三项运动之一，而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有19人至少会这三项运动之一，于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的；及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车。所以，全班有2既会游泳又会滑冰。 【详解】（1）（人） 有6人不及格； （人） 全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以没有数学成绩优秀的； 答：数学成绩优秀的有0个学生。 （2）既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车； （人） 答：有2个人既会游泳，又会滑冰。 【点睛】本题考查的是三元容斥问题，并且要考虑及格和优秀这两种情况，求解起来要复杂很多。 5．340个 【分析】小明的位置从左数起是第8个，从右数起是第10个，那么这一行有17个人；从前数起是第8个，从后数起是第13个，那么这一列有20个人；17乘20即为总人数。 【详解】（个） （个） （个） 答：做操的同学共有340个。 【点睛】本题考查的是重叠问题，由于从左边数和从右边数，都数了自己，所以要减去1。 6．89件 【分析】114件是二年级和其他年级的总和，96件是一年级和其他年级的总和，114件加上96件，包含了一年级、二年级的数量，并且把其他年级算了两次，然后可以求出其他年级数量的2倍，最后求出其他年级的数量。 【详解】 答：其他年级参展的作品有89件。 【点睛】本题其实考查的是二量的容斥问题，不可错误地当成一年级、二年级、其他年级的三量容斥问题。 7．9人 【分析】把50名学生分为4类，只有语文得100分，只有数学得100分，语文和数学都得100分，语文和数学都没有得100分。 【详解】（人） （人） 答：两门都得100分的有9人。 【点睛】本题考查的是重叠问题，可以画韦恩图表示各部分的数量，方便理解问题。 8．43 人 【分析】由于每人至少参加一个项目，所以参加长跑比赛的人数＋参加游泳比赛的人数－两项都报名的人数＝参加运动会的人数。 【详解】28＋25－10＝43（人）。 答：三年级（2）班共有43人参加运动会。 【点睛】考查了集合问题，也可以画韦恩图求解： 9．（1）0人 （2）人 【分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人；根据包含排除法，总人数＝（带汉堡的人数＋带鸡腿的人数＋带芝士蛋糕的人数）－（带汉堡、鸡腿的人数＋带汉堡、芝士蛋糕的人数＋带鸡腿、芝士蛋糕的人数）＋三种都带了的人数。 【详解】如图所示： （1） （人） 答：三种都带了的有0人。 （2）求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数； （人） 答：只带了一种的有人。 【点睛】本题考查的是基础的三元容斥问题，首先画图表示出各部分的数量，任何再根据各部分之间的关系求解问题，注意区分各部分的重叠次数。 10．12只 【分析】33只学会了爬树的猫加上25只学会了抓老鼠的猫，减去既会爬树又会抓老鼠的10只，得到的是至少学会一项本领的猫，总数里面减去至少学会一项本领的猫，得到既不会爬树又不会抓老鼠的猫的数量。 【详解】（只） （只） 答：既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有12只。 【点睛】本题考查的是重叠问题，可以画韦恩图表示出会爬树、会抓老鼠、既会爬树又会抓老鼠、既不会爬树又不会抓老鼠各部分，然后再求解。 11．9家 【分析】先根据每家订2份不同报纸，以及报纸总数求出一共有多少家，在根据此楼一共订了三种不同的报纸，所以得出不订北京日报的人家，必然订的是江海晚报和电视报，再用总家数减去订北京日报的家数即可。 【详解】每家订2份不同报纸，所以共订了 （34＋30＋22）÷2 ＝86÷2 ＝43（家） 43－34＝9（家） 答：订江海晚报和电视报的共有9家。 【点睛】首先根据订的报纸总份数求出共有多少家是完成本题的关键。 12．人 【分析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人，两个圆所覆盖的总面积表示这个班参加棋类比赛的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班参加棋类比赛的共有42人。 【点睛】本题考查的是包含与排除的问题，也可以分别求出只参加象棋的人数、只参加军棋的人数、两项都参加的人数，然后相加得到总人数。 13．30厘米 【分析】如图，66厘米减去48厘米，得到18厘米，18厘米相当于是另一根木棒减去重叠的12厘米后，得到的长度，18厘米加上12厘米，得到另一根木棒的长度。 【详解】如图所示： （厘米） （厘米） 答：另一根木棒长30厘米。 【点睛】按照集合问题求解的话，66厘米加上重叠部分的12厘米，得到的是两根木棒的长度之和。 14．48人 【分析】我们可以画图，用A圆表示喜欢音乐的人数32人，用B圆表示喜欢美术的人数27人，图中两个圆的公共部分就表示音乐和美术都喜欢的人数11人．整个图表示五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数． 【详解】32+27－11=48人 答：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人． 15．11人 【分析】如图，长方形表示总人数51人，两个椭圆分别表示会游泳和会溜冰的人数，重叠部分是5人，那么只会游泳的有25人，只会溜冰的有10人，二者都会的有5人，所以会游泳和溜冰其中一项的人数是40人，什么都不会的是11人。 【详解】如图所示： （人） （人） 答：这两项都不会的有11人。 【点睛】韦恩图是求解集合问题常用的方法，可以先把题目的条件用韦恩图形象地表示出来，再求解问题。 16．200个；100个 【分析】把这条路标记为0~600米，由于两端都植，那么原来每隔3米植一棵树，挖坑的位置的刻度都能被3整除，总共201个；现在每隔2米植一棵树，挖坑的位置的刻度都能被2整除，总共301个；其中重叠的位置的刻度可以被2和3的最小公倍数6整除，有101个。 【详解】（个） （个） （个） （个） （个） （个） （个） 答：还要挖200个坑；需要填上100个坑。 本题将植树问题与最小公倍数、容斥问题相结合，要能够准确判断出每种情况下的数量，关键是重叠部分的数量。 17．20 【分析】前6站上车100人，包含前6站下车人数和第6站停车后仍然在车上人数，前7站下车80人包含6站下车人数和第6站没下车的人但在第7站下车的人数，由此列出等式，进一步解答即可。 【详解】设第1站到第7站上车的乘客依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，第2站到第8站下车的乘客依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8； 则应有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8 已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8＝80； 所以100＋a7＝80＋b8，即b8－a7＝100－80＝20（人） 答：从前6站上车而在终点站下车的乘客有20人。 【点睛】此题主要抓住问题的落脚点：前6站上车100人，前7站下车80人，前6站的20人没有在7站下，由此结合容斥原理问题得解。 18．人 【分析】先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，得到130人，把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上。 【详解】 （人） 答：参加棋类比赛的共有98人。 【点睛】本题考查的是典型的三元容斥问题，解题的关键是区分每一部分的重叠次数。 19．21人 【分析】用36分别乘和求出两样都会和会游泳的学生人数，根据总人数＋两样都会人数＝会游泳人数＋会骑自行车人数，求出会骑自行车的人数，据此解答。 【详解】36＋36×－36× ＝36＋9－24 ＝45－24 ＝21（人） 答：会骑自行车的学生有21人。 20．人；人 【分析】可以设只爱好科学和文艺两项的人数为未知数，那么爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人相加的和，减去爱好体育和科学的人数，减去爱好体育和文艺的人数，减去爱好科学和文艺的人数，再加上三项都爱好的15人，得到总人数100人，解出未知数即可。 【详解】解：设只爱好科学和文艺两项的有人； 只爱好科学和文艺两项的有11人； 只爱好体育的有：（人） 答：只爱好科学和文艺两项的有11人；只爱好体育的有19人。 【点睛】本题考查的是典型的三元容斥问题，注意题目给出的只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人都不包含三项都爱好的人数。 21．11人 【分析】从右往左数小亚在第7个，而小胖在小亚右边第5个，那么从右往左数，小胖是第2个；从左往右数小胖在第10个，从右往左数小胖是第2个，10加上2减去多算小胖的1次，即为这一排的人数。 【详解】 从右往左数小胖是第2个； （个） 答：这一排总共有11个小朋友。 【点睛】本题考查的是重叠问题，这里人数比较少，可以把小胖、小亚的位置画出来，然后求出从右往左数小胖的位置，再计算总人数。 22．人 【分析】如图，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 （阴影部分）表示同时参加两个小组的人，两个圆覆盖的总面积表示参加了语文或数学兴趣小组的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。 【点睛】本题考查的是二元容斥问题，也可以求出只参加语文兴趣小组的人数、只参加数学兴趣小组的人数、两个小组都参加的人数，相加得到参加了语文或数学兴趣小组的人数。 23．25分米 【分析】如图，总长度可以看成是第一根的长度12分米，加上第二根减去2分米剩下的长度，第二根减去2分米剩下13分米，相加得到25分米。 【详解】如图所示： （分米） （分米） 答：接成后竹竿的长度是25分米。 【点睛】本题考查的是集合问题，这里由于拼接，总长度减少的正好是重叠部分2分米，12分米加上15分米，再减去2分米，得到接成后竹竿的长度。 24．23厘米 【分析】根据题意，将钉成的木板长度加上重合部分长度除以2即可解答。 【详解】（35＋11）÷2    ＝46÷2      ＝23（厘米） 答：这两块木板各长23厘米。 【点睛】此题主要考查集合问题，通过画图更直观明确。 25．足球35个，排球21个，篮球29个 【分析】64个加50个，再加56个，得到170个，170个是足球、排球和篮球总数的2倍，那么足球、排球和篮球总共85个，85个分别减去64个、50个、56个，得到各自的数量。 【详解】 （个） （个） （个） （个） 答：足球35个，排球21个，篮球29个。 【点睛】三个量两两相加，再把得到的三个和相加，相当于把每个量算了两次。 26．32平方厘米 【分析】先求出两个正方形的面积，两个正方形的面积之和－重叠部分的面积＝覆盖桌面的面积。 【详解】 答：两块正方形纸片盖住桌面的总面积是32平方厘米。 【点睛】如果被计数的事物有A、B两类，如图所示，那么A类和B类的个数总和＝属于A类元素的个数＋属于B类元素的个数－既属于A类元素又属于B类元素的个数。 27．250厘米 【分析】6根木条依次首尾相接钉在一起，会有5处重叠，每处是10厘米，所以6根木条的总长度减去5个10厘米，即为钉好后木条总长。 【详解】（厘米） 6－1＝5（个） （厘米） 答：钉好后木条总长250厘米。 【点睛】本题考查的是重叠问题，重叠次数等于段数减去1，可以通过实践进行探究。 28．3名 【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的23人，再减去两题都答对的15人，得到至少答对一题的有33人，总人数减去至少答对一题的人数，得到两题都答错的人数。 【详解】（名） （名） 答：有3名学生两题都答错了。 【点睛】可以把总人数分成两类，至少答对一题的反面就是一道题也没有答对。 29．人 【分析】如图，长方形表示总人数，左圆表示做对第一部分的人数，右圆表示做对第二部分的人数，重叠部分表示两部分都做对的人数，其余部分表示两部分都做错的人数，其中，重叠部分是12人。 【详解】如图所示： （人） 只做对第一部分的有13人； （人） 两部分都有错的有人； 答：两部分都有错的有6人。 【点睛】本题考查的是包含与排除的问题，求解此类问题最有效的方法是画韦恩图。 30．人 【分析】把三种球都爱好的人数记作0个人，那么爱打篮球的26人加上爱打排球的17人，再加上爱踢足球的19人，减去既爱打篮球又爱踢足球、既爱打排球又爱踢足球、既爱打篮球又爱打排球的人数之和，再加上三种球都爱好的人数，得到的是总人数。 【详解】（人） 答：既爱打篮球又爱打排球的有7人。 【点睛】本题考查的是三元容斥问题，对于三元容斥问题，关键是区分每一部分重复计算的次数。 31．27人 【分析】总共有四类学生，只有作文比赛获奖，只有数学比赛获奖，作文和数学都获奖，作为和数学都没有获奖，可以求出前三类的总和，即获奖人数，总人数减去获奖人数得出未获奖的人数。 【详解】 答：两项比赛都没获奖的有27人。 【点睛】在求获奖总人数的时候，由于重叠多算的部分一定要减去，这也是容斥问题中最关键的部分。 32．21名 【详解】45×（+-1）=21（名） 33．43人 【分析】总的人数等于答对第一题的人数加上答对第二题的人数，再减去重叠的人数。 【详解】 答：参加这次测验的有43人。 【点睛】如果被计数的事物有A、B两类，那么A类和B类的个数总和＝属于A类元素的个数＋属于B类元素的个数－既属于A类元素又属于B类元素的个数。 34．49人 【分析】小红所在的这一列，从前数，从后数她都是第4个，两次都数了自己，多算了1次，需要减去1，这一列的总人数是7人；同理，从左数，从右数她都是第4个，两次都数了自己，多算了1次，需要减去1，这一行的总人数是7人；7行7列，总共49人。 【详解】（人） （人） 答：跳舞的同学共有49人。 【点睛】本题将集合问题与方阵问题相结合，在求解集合问题的时候，计算总数需要把重叠部分减掉。 35．40名 【分析】全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生，既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：1－（55%＋50%－25%）＝20%，根据百分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：8÷[1－（55%＋50%－25%）]，然后解答即可得出答案。 【详解】8÷[1－（55%＋50%－25%）] ＝8÷20% ＝40（名） 答：小明班上共有学生40名。 【点睛】本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数＝（A＋B）－既A又B。本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A＋B－总数量（两种情况）。本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数＋属于B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。 36．人 【分析】3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，且仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，可以对3个小组全参加的人数进行假设，然后求出其它小组的人数；由于总人数是28人，那么如果3个小组全参加的人数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2。 【详解】参加3个小组的人数为2； （人） 仅参加语文与自然小组的人数为10人； （人） 仅参加数学与语文小组的人数和仅参加数学小组的人数一共是10人； （人） 仅参加数学和语文小组的有5人； 答：仅参加数学和语文小组的有5人。 【点睛】本题考查的是三元容斥问题，可以画韦恩图表示各个量之间的关系，解题时可以进行假设。 37．6人 【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会下的人数。 【详解】21＋17＋10－42 ＝48－42 ＝6（人） 答：两种象棋都会下的有6人。 【点睛】解答此题的关键是理解会下象棋的和会下围棋的里面包含着两种棋都会下的人数。 38．45人 【分析】如图所示，左边的椭圆表示参加美术兴趣小组的人数，右边的椭圆表示参加科技兴趣小组的人数，相交部分表示两个兴趣小组都参加的人数；用总人数减去参加美术兴趣小组的人数，求出只参加科技兴趣小组的人数，再用两个兴趣小组都参加的人数加上只参加科技兴趣小组的人数，得到参加科技兴趣小组的人数。 【详解】如图所示： 100—75＝25（人） 20＋25＝45（人） 答：参加了科技兴趣小组的有45人。 【点睛】本题考查的是基础的重叠问题，各部分的数量相加，减去重叠的数量，得到总数量。 39．14人 【分析】从50人里面减去这两个单元都没得满分的17人，得到的33人是至少得一次满分的人数；而第一单元得满分的26人加上第二单元得满分的21人，明显多于33人，多出来的人数即为两个单元都得满分的人数。 【详解】（人） （人） 答：两个单元都得满分的有14人。 【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，可以借助韦恩图求解。 40．44人 【分析】每人至少有一科得优，也就是不存在音乐、美术都不得优的人，音乐有65人得优，美术有78人得优，相加得到143人，明显多于总人数122人，多出来的21人是音乐、美术都得优的人数，然后从65人中减去21人，得到只有音乐得优的人数。 【详解】（人） （人） 答：只有音乐得优的人数是44人。 【点睛】对于这种两个量的重叠问题，关键是理清楚各个量之间的关系，可以画图帮助理解问题。 41．12人 【分析】甲、乙、丙的总人数减去甲、乙的总人数，可得丙班有60－40＝20人；甲、乙、丙的总人数减去乙、丙的总人数，可得甲班有60－32＝28人；所以乙班有60－20－28＝12人。 【详解】丙班：60－40＝20（人） 甲班：60－32＝28（人） 则乙班有： 60－20－28 ＝40－28 ＝12（人） 答：乙班有12人。 【点睛】把甲、乙班和乙、丙班看成一组，从而根据甲、乙、丙三个班的学生和分别算出甲班和丙班的人数是解决本题的关键。 42．五年级14名，六年级18名，中低年级10名 【分析】28名运动员不是五年级的，说明六年级和中低年级一共28人；24名运动员不是六年级的，说明五年级和中低年级一共24人，28人加上24人得到52人，52人减去五、六年级的32人，得到的是中低年级人数的2倍，求出中低年级的人数后，再计算五、六年级的人数。 【详解】（人） （人） （人） （人） （人） 答：五年级14名运动员，六年级18名运动员，中低年级10名运动员。 【点睛】本题考查的是重叠部分，再计算重叠问题时，首先要搞清楚重叠的是哪一部分。 43．4人 【分析】12人加上18人，明显多于总人数26人，有一部分被重复计算，重复计算的这部分人即为既参加跑步，又参加跳绳的人。 【详解】 答：既参加跑步，又参加跳绳的有4人。 【点睛】对于重叠问题，关键是判断重复计算的部分的数量，求总数的时候，需要减去重叠部分。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $