小升初典型应用题：鸽巢问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：鸽巢问题 1．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 2．黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂放在一个盒子里，想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取多少根才能保证达到要求？ 3．五年级有49名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问至少有多少名学生的成绩相同？ 4．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 5．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 6．有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋里随意摸出3枚棋子。试证明这5个小朋友中至少有两人摸出的棋子的颜色是一样的。 7．一副扑克牌有54张，最少要抽几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？ 8．六年级有41名同学，他们做了210只纸鹤，要把这些纸鹤分给全班的学生，是否有人一定能分得到6只纸鹤？ 9．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书（每种类型只买一本），根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？ 10．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 11．Emma购买了15颗蓝色、9颗绿色和21颗紫色软糖豆的一袋糖果。她从袋子里随机抓了一把软糖豆。Emma至少要拿多少颗软糖豆才能保证她至少有12颗同色的软糖豆？ 12．11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试说明：必有两名学生所借的书类型相同。 13．在100张卡片上不重复地编上1-100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？ 14．一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 15．教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业。试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。 16．把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？ 17．清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选。开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？ 候选人 乐乐 喜喜 欢欢 票数 12 10 8 18．将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类。 （1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？ （2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例。 19．口袋里有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球。他至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？ 20．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操。老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例。 21．某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？ 22．8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字。开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。 23．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 24．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？ 25．班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 26．一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？ 27．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色。证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。 28．把红、黄、蓝、黑、白五种颜色的筷子各9根放在一个盒子里。至少取多少根才能保证一定有2根颜色相同的筷子？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．9次 【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【详解】（次） 答：最少需要取9次。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 2．11根 【详解】10根筷子，可能是8根黑色，1根白色，1根黄色，其中没有颜色不同的两双筷子。如果取11根，那么由于11＞3，其中必有两根同色组成一双，不妨设这一双是黑色的，去掉这两根，余下9根，其中黑色的至多有6根，因而白、黄两色的筷子至少有3根，3根中必有2根同色组成一双。这样就得到颜色不同的两双筷子。所以至少要取11根。 3．3名 【详解】75～95分的有：49﹣3＝46（个） 46÷21＝2（人）……4（人） 2＋1＝3（人） 答：至少有3名学生的成绩相同。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是构造合适的抽屉。 4．11个 【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（个） 15－9＝6（个） 9＋1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。 【点睛】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 5．18个 【分析】找出1~49中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。 【详解】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1×2）、（1×3）、（1×4）、…、（1×49） （2×3）、（2×4）、（2×5）、…、（2×49） …… （8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12） （9×10）、（9×11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10×9）、（9×11）、（1×8）、（8×12）、（12×7）、（7×13）、（13×6）、（6×14）、（14×5）、（5×15）、（15×4）、（4×16）、（16 × 3）、（3×17）、（17×2）、（2×18）、（18×1）、（1×10），共出现l~18号，共18个孩子。 若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。 那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 答：最多能挑选出18个孩子。 【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，抽屉原理是最不利原则和平均原则的体现。 6．3枚棋子的排列有：黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白共4种情况，前4个人情况都不一样，第5个人也会和前4个人其中之一一样。 【详解】略 7．29张 【分析】建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小王不相同，那么（54﹣2）÷4＝13，所以一共有13＋2＝15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小王、大王，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答。 【详解】建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看作15个抽屉， 考虑最差情况：小王、大王先抽取，剩下的每个抽屉都抽取了2张牌，共抽出13×2＝26张牌， 此时再任意抽取1张，就有3张牌点数相同，所以最少要抽取： 2＋13×2＋1 ＝2＋26＋1 ＝29（张）； 答：最少要抽29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 8．一定会有人得到6只纸鹤 【分析】把41名同学看做41个抽屉，把210只纸鹤看做210个元素，考虑最差情况：210÷41＝5（只）…5只，即平均每人5只，还剩下5只，剩下的5只无论分给哪个同学，都会有一个同学至少得到6只纸鹤。 【详解】由分析得： 210÷41＝5（只）…5只， 5＋1＝6（只）， 即平均每人5只，还剩下5只，剩下的5只无论分给哪个同学，都会有一个同学至少得到6只纸鹤。 答：一定会有人得到6只纸鹤。 9．8名 【分析】每种类型只买一本，如果买一本的有3种买法，如果买两本的有3种买法，如果买三本的有1种买法，共有3＋3＋1＝7（种）买法，看作7个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要7人，那么再有1个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书；据此解答。 【详解】3＋3＋1＝7（种） 7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。 【点睛】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可。 10．10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【详解】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 11．32颗 【分析】考虑最差情况9颗绿色全部取出、11颗蓝色、11颗紫色软糖豆，再任意取1颗，即可保证她至少有12颗同色的软糖豆。 【详解】9＋11＋11＋1＝32（颗） 答：Emma至少要拿32颗软糖豆才能保证她至少有12颗同色的软糖豆。 12．见详解 【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD。把这10种情况看作10个抽屉，11÷10＝1（名）……1（名），把11名学生看作11个苹果，根据最不利原则考虑，每个抽屉里放1个苹果，还剩1个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有（1＋1）个苹果，即至少有2名学生所借的书的类型完全相同。 【详解】11÷（4＋6） ＝11÷10 ＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：所以必有两名学生所借的书类型相同。 【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。 13．68 【分析】因为12＝3×4，若要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数即可；在100个数中，3的倍数有100÷3＝33个，其余100－33＝67个数不含有因数3，在最不利的情况下，如果先抽到的数正好是这67个，此时，只要再从含因数3的33个数中任意取一个数，就可以满足条件，据此解答。 【详解】由分析得：12＝3×4 所以要保证抽出的数的乘积能被12整除，只须保证这个乘积是3和4的公倍数； 100÷3＝33（个） 100－33＝67（个） 67＋1＝68（张） 答：至少要随意抽出68张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是要知道保证抽出的数的乘积能被12整除，这个数必须是3和4的公倍数。 14．115人 【详解】因为最高可得4×10＝40（分） 最低是倒扣：10-1×10＝0（分） 共有40+1＝41（种）不同分数。 答对与答错之间的分数差是3+1=4分；答对一题和空一题之间差3分，所以最高分40分，对9题的情况下，最高分40-3=37分，最低分40-3-1=36分，中间的38分和39分不会出现；依次列举可得35分也不会出现。 41-3=38 38×3＋1=115（人） 为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有115人。 答：参加考试的学生至少有115人。 15．2人 【分析】把四科作业看做是4个抽屉，把5名同学看做5个元素，考虑最差情况：每个抽屉都有1个元素，则还剩下1个元素，无论放到哪一个抽屉，都会出现一个抽屉有2个元素，据此即可解答。 【详解】5÷4＝1（人）……1人 1＋1＝2（人） 答：至少有两个人在做同一科作业。 【点睛】此题考查抽屉原理的灵活应用，注意考虑最差情况。 16．41人 【分析】这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由125÷（4﹣1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。 【详解】根据题干分析可得：125÷（4﹣1）＝41……2，即125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。 也就是说这个班最多有41人。 答：这个班最多有41人。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。 17．6票 【详解】12＋10＋8＝30（票） 40－30＝13（票） 12－10＝2（票） （13－2）÷2 ＝11÷2 ＝5（票）……1（票） 5＋1＝6（票） 答：乐乐至少还要6票，才能保证一定当选。 18．（1）不一定有；比如：1、2、3、4、5、10这6个自然数中，任意两个数的和都不是10的倍数。 （2）一定有；将10类数分别看作6个抽屉，现任意取出7个互不同类的自然数，由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数，而这两个数必须是不同类的，必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数，可见这2个不同类的数之和是10的倍数。 【分析】（1）由题意可知，1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉，再把第5类、10类分别做两个抽屉，共6个抽屉，再根据抽屉原理解答； （2）由（1）可知，将10类数分别看作6个抽屉，现任意取出7个互不同类的自然数，由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数，而这两个数必须是不同类的，必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数，可见这2个不同类的数之和是10的倍数；据此解答。 【详解】（1）由题意可知，1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉，再把第5类、10类分别做两个抽屉，共6个抽屉。如果任意取6个互不同类的自然数，就不一定有两个数的和是10的倍数，比如：1、2、3、4、5、10这6个自然数中，任意两个数的和都不是10的倍数。 （2）由（1）可知，将10类数分别看作6个抽屉，现任意取出7个互不同类的自然数，由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数，而这两个数必须是不同类的，必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数，可见这2个不同类的数之和是10的倍数。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理的应用，关键是要找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数” ，然后根据抽屉原理进行解答。 19．16个 【分析】要保证摸出的球每种颜色都有，则考虑最不利的情况，即拿出了其中3种颜色的全部球，在这种情况下，再拿一个球必能出现全部颜色的球。 【详解】3×5＝15（个） 15＋ 1＝16（个） 答：至少要摸出16个球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，首先要找到不符合要求的最大数量，然后加上1，得到符合要求的最低数量。 20．不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。 【分析】因为只有男生或女生两种情况，所以第一行中的7个位置中至少有4个位置同性别，而后的两行也总有4个位置是同性别的；据此根据抽屉原理进行解答。 【详解】因为只有男生或女生两种情况，所以第一行的7个位置中至少有4个位置同性别。为了确定起见，不如设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么四个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨设定前3个是女生；又第三行的前三个位置中至少有2个位置是同性别女生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩阵，当有两名女生时与第二行构成四角同性别的矩阵。所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是要从最不利原则出发，先把不能出现的情况假设出来，进而推出和它相反法人结论，使正确的说法得到证明。 21．14名 【详解】年龄最大的13岁，最小的12岁，有两种年龄， 12×2＝24（个） 320÷24＝13（名）…8（名）， 13+1＝14（名） 答：至少有14名同学是同年同月出生的． 22．见详解 【分析】要证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。由题意可得，经过8次转动后，桌面又回到原来的位置在这个转动的过程中8每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次；再根据抽屉原理解答即可。 【详解】沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过8次转动后，桌面又回到原来的位置在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次；我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有8只“苹果”。另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在7次转动中，这样7次转动(即7个“抽屉”)将产生8位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字。 【点睛】本题主要考查了抽屉原理解决实际问题的灵活运用，难度较大，要认真分析题意，建立正确的抽屉，再根据抽屉原理进行解答。 23．4个月 【分析】可以从第一个月开始研究，第一次分组后，有8个人在同一组，然后依次考虑第二次、第三次分组后，是否满足任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里，找出符合要去的最小值。 【详解】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生； 经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生； 经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的。如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放入两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2＝8人，第二个月保持同组的人数为8÷2＝4人，第三个月保持同组人数为4÷2＝2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月； 答：最少要经过4个月。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解抽屉原理的问题，要遵循最不利的原则考虑问题。 24．张 【分析】如果不算大、小王，每个点数的牌各取1张，可以取出13张牌，再取1张，便一定有两张相同点数的牌，14张加上大、小王，则需要16张牌。 【详解】13＋1＋2 ＝14＋2 ＝16（张） 答：最少要抽取16张牌。 【点睛】根据最不利原则，先求出不符合要求的最大数量，加上1，即为符合要求的最低数量。 25．2个 【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期 日期＋月份的总数一共有（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。 【详解】答案的数量：（个） 日期＋月份的总数一共有：（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，月份至少为，而 11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。 答：该班至少有2个同学生日相同。 26．15个 【分析】考虑最“坏”的情况，先取出4个红球，5个黄球，5个黑球，这样再取一个，不论取出的是黄球还是黑球，将有6个球颜色相同。 【详解】（个） 答：至少要取15个小球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加上去，得到符合要求的最小数量。 27．见详解 【分析】根据题意本题是一个证明题，那么解决证明题的方法直接证明或者是利用反证法证明，显然本题适合反证法证明。 【详解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之间的数目不同。那么红色最少也会占0＋1＋2＋…＋14＝105个格子。同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3×（0＋l＋2＋…＋14）＝315个格子。但是，现在只有15×15＝225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证。 【点睛】善于运用反证法证来结局证明题是解决类似题型的关键。 28．6根 【分析】把5种不同颜色看作5个抽屉，把不同颜色的筷子看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1根筷子，共需要5根，再取出1根不论是什么颜色，总有一个抽屉里的筷子和它同色，所以至少要取出：5＋1＝6（根），据此解答。 【详解】5＋1＝6（根） 答：至少取6根才能保证一定有2根颜色相同的筷子。 【点睛】本题考查了抽屉原理问题之一，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝抽屉的个数＋1”解答。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $