小升初典型应用题：搭配问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：搭配问题 1．小丽有两顶帽子，一顶是红的，一顶是白的；她有两条围巾，一条紫色，一条黑色。要使她的帽子和围巾的颜色有不同的搭配，共有多少种搭配方法？ 2．（1）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个球，可以有多少种不同的借法？ （2）体育室有5个不同的足球和6个不同的篮球，体育班长要为大家借一个足球和一个篮球，可以有多少种不同的借法？ 3．商场有如下三种车辆：自行车每辆600元，电动车每辆1800元，摩托车每辆3000元，如果某天销售收入共3600元，这一天卖出的车可能有哪几种情况？请用文字、算式或表格加以说明． 4．午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多。东东想要挑3个水果吃。请问东东有多少种不同的选法？ 5．萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？ 6．在菁英小学中，有1积分、2积分、4积分、8积分、16积分、32积分与64积分这几种积分兑换券，如果你有以上的积分兑换券各1张，那么你最多可以兑换多少种不同的积分？ 7．2019年国际足联U20世界杯（简称“世青赛”）在波兰进行。本届世青赛共有24队，分成6个小组，比赛采取的单循环方式（即每两个队都要赛一场），其中F组有∶阿根廷、葡萄牙、韩国、南非。请你通过画图或列举的方法说明F组比赛的场数。 8．一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？用表格记录。 9．过年了，妈妈买了件不同的礼物，要送给亲朋好友的个孩子每人一件。其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件。那么妈妈送出这件礼物共有多少种方法？ 10．奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，（1）字母不打头，（2）单词中每个字母后边必然紧跟着字母，（3）和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？ 11．有五级台阶，如果规定每步只能跨一级或两级，那么，走到第五级台阶共有几种走法？ 12．从甲地到乙地有3条公路直达，从乙地到丙地有2条路直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 13．太阳神有许多套服装，帽子的数量为9顶、上衣有20件，裤子有15条，还有皮鞋8双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配，问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？ 14．（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组。如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组。那么和为10的三元自然数组共有多少个？（数组中不含0） 15．甲、乙、丙、丁四个人进行乒乓球比赛，每两个人都要进行一场比赛，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相等。丁胜了几场？ 16．马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？ 17．徐恒、甜甜、笑笑三个人去看电影，他们买了三张作为相邻的票。他们三个人的座位顺序共有多少种不同的安排方法呢？ 18．在个数中取出不同的两个数，要使取出的两个数相加的结果是的倍数，有多少种不同的取法？ 19．玩具厂生产一种玩具棒，共节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家厂共可生产多少种颜色不同的玩具棒？ 20．分别用五种颜色中的某一种对下图的，，，，，六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：有多少种不同的染法？ 21．用三种重量分别为1克、2克和5克的砝码各1个可以称出多少种不同的重量？ 22．小明去公园旅游，爬26级天梯。他开始时以每步2级的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到终点）因步伐不稳摔倒一次，后退了1级或2级，之后便以每步1级的步伐向上攀登，那么小明这次爬天梯的走法有多少种不同的可能？ 23．美国硬币有分、分、分和分四种。现有枚硬币价值元钱，其中有枚分的硬币。问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？ 24．有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份。问：一共有多少种不同的订法？ 25．在到这个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？ 26．桥上的铁索由铁环组成。3个红铁环，4个黑铁环，2个白铁环。任意从中拿出3个铁环，有多少种方法？ 27．某商店A，B，C三种商品的单价分别是10元、6元、4元。小王买了这三种商品各若干件，共付钱40元。后来小王觉得其中有一种商品买多了，想退还其中两件商品，但是营业员只有20元面值的人民币，没有零钱退，小王只好调整其他两种商品购买数量，使总价保持不变。请问：小王最初有几种购买方式？调整后小王购得B种商品分别是多少件？ 28．1，2，3，4，四个数字中，选三个数字组成无重复数字的三位数，使它是3的倍数，那么满足条件的不同的三位数有多少个？ 29．丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶，红、蓝、黑围巾各一条。冬天，丽丽每天戴一顶帽子、围一条围巾，有几种不同的搭配方式？ 30．从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 31．每张餐桌都是能坐4人的方桌。当客人在10人以上（含10人）时，餐厅允许客人将2张或3张方桌拼成一张长桌，但每张长桌不能有空位，每张方桌空位不能多于1个。如果某队有16人，共有多少种坐法？画出所有可能的情况。（提示：方桌可用正方形表示，椅子可用圆圈表示。） 32．书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ 33．某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 34．体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿4个，请问小高有多少种不同的选择？ 35．小明从家里去学校有3条路，从学校去公园有2条路，那么小明从家里经过学校去公园有多少条路？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．4种 【分析】两顶帽子，那么帽子有两种选择方式，两条围巾，围巾也有两种选择方式，可以用枚举法找出所有的搭配方式。 【详解】红色帽子，紫色围巾； 红色帽子，黑色围巾； 白色帽子，紫色围巾； 白色帽子，黑色围巾； 答：共有4种搭配方法。 【点睛】也可以把整个过程分成两步，先选择帽子，再选择围巾，各有两种选择，2乘2得到4种。 2．（1）11种 （2）30种 【分析】（1）完成借球这件事情只需要一步，从11只球里面挑一个即可； （2）完成借球这件事情只需要两步，每步又有不同的几种方法。 【详解】（1） 答：可以有11种不同的借法。 （2） 答：可以有30种不同的借法。 【点睛】“加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘”，对于加乘原理计数问题，先分清楚到底是相加还是相乘。 3．①卖出了6辆自行车；②卖出了2辆电动车；③卖出了3辆自行车，1辆电动车；④卖出了1辆自行车，1辆摩托车． 【详解】试题分析：根据商场某天销售收入共3600元，可能只卖出一种类型的车辆，也可能卖出两种或三种车辆；然后分别求出各有多少种情况，进而求出这一天卖出的车可能有哪几种情况即可． 解：（1）如果只卖出了自行车， 因为3600÷600=6（辆）， 所以一共卖出了6辆自行车； （2）如果只卖出了电动车， 因为3600÷1800=2（辆）， 所以一共卖出了2辆电动车； （3）如果只卖出了摩托车， 因为3600÷3000=1（辆）…600（元）， 所以不可能只卖出了摩托车； （4）如果只卖出了自行车、电动车， 因为3600﹣1800=1800（元），1800÷600=3（辆）， 所以一共卖出了3辆自行车，1辆电动车； （5）如果只卖出了自行车、摩托车， 因为3600﹣3000=600（元），600÷600=1（辆）， 所以一共卖出了1辆自行车，1辆摩托车； （6）因为1800+3000=4800（元），4800＞3600， 所以不可能同时卖出电动车、摩托车，更不可能同时卖出自行车、电动车、摩托车． 综上，可得这一天卖出的车可能有4种情况： ①卖出了6辆自行车；②卖出了2辆电动车；③卖出了3辆自行车，1辆电动车；④卖出了1辆自行车，1辆摩托车． 答：这一天卖出的车可能有4种情况： ①卖出了6辆自行车；②卖出了2辆电动车；③卖出了3辆自行车，1辆电动车；④卖出了1辆自行车，1辆摩托车． 点评：此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，注意不能多数、漏数． 4．10种 【分析】3个水果既可以同种，也可以不同种，因此可按所选水果的种类和数量进行分类。 【详解】选法有： （1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共3种情况； （2）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况； （3）3种水果都选：每种水果各1个，共1种情况。 （种） 答：东东有10种不同的选法。 【点睛】本题考查搭配问题，要按照水果的种类和数量进行有规律的选择，避免漏选或多选。 5．26种 【分析】可以选择水墨画和油画，或油画和水彩画，或水墨画和水彩画，根据每种画的数量得出各选法的种数，再计算出选法的总数。 【详解】水墨、油画：（种） 油画、水彩：（种） 水墨、水彩：（种） （种） 答：一共有26种选法。 【点睛】本题考查搭配问题，根据每种画的数量得出各选法的种数是解题的关键。 6．127种 【分析】观察发现，题目给出的积分1积分、2积分、4积分、8积分、16积分、32积分、64积分，依次乘2，可以先假设只有1积分、2积分、4积分的情况，求出在积分比较少的情况下，可以兑换的情况，然后寻找规律，并利用规律求解。 【详解】如果只有1积分，那么最多可以兑换1种不同的积分； 如果有1积分、2积分，那么最多可以兑换3种不同的积分，分别是： 1积分，2积分，3积分； 如果有1积分、2积分、4积分，那么最多可以兑换7种不同的积分，分别是： 1积分，2积分，3积分，4积分，5积分，6积分，7积分； 可以发现，可以兑换的积分种类数就等于给出的积分的数量之和； 所以当给出1积分、2积分、4积分、8积分、16积分、32积分、64积分时，可以兑换的积分数为： （种） 答：最多可以兑换127种不同的积分。 【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，首先从最简单的情况进行分析，找出规律，再应用规律求解问题。 7．阿根廷、葡萄牙，阿根廷、韩国，阿根廷、南非，葡萄牙、韩国，葡萄牙、南非，韩国、南非。共6场。 【分析】根据单循环方式比赛即是F组中4个队，每一个队都需要与其他3个队比赛一次，以此解答即可。 【详解】根据分析可知，阿根廷、葡萄牙，阿根廷、韩国，阿根廷、南非，葡萄牙、韩国，葡萄牙、南非，韩国、南非。共6场。 【点睛】本题属于握手问题，可利用列举法进行解题，同时也可以利用握手总次数的计算公式求解，握手次数的公式要记住，即握手次数＝人数×（人数－1）÷2。 8．2种；表格见详解 【分析】6支装和8支装的一共46支，先列出6支装的盒数，用48减去6支装的总支数，再除以8，算出8支装的盒数，找出所有符合要求的数量后，用表格表示出来。 【详解】 总数 46 46 6支装 1 5 8支装 5 2 答：一共有2种不同的买法。 【点睛】本题考查用列举的方法解决搭配问题，要根据题目的数量关系，找出符合要求的方案。 9．180种 【分析】如果小强选的是智力拼图，那么小玉可以选择遥控汽车，其余3个小孩可以从剩下的5个玩具中选择3件，且要考虑顺序；如果小强选的是遥控汽车，那么小玉只能选择学习机，其余3个小孩可以从剩下的5个玩具中选择3件，且要考虑顺序。 【详解】第一类：小强选的是智力拼图； （种） 第二类：小强选的是遥控汽车； （种） （种） 答：共有180种方法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，对于特殊元素，需要优先考虑。 10．135种 【分析】可以分成三类，第一类，有两个a的情况，第二类，有一个a的情况，第三类，没有a的情况；分类进行枚举。 【详解】第一类：有两个a的情况； 有两个a，那么一定也有两个b，只能是abab，只有1种； 第二类，有一个a的情况； 第一种：a在第一位，那么b在第二位，此时另外两个位置可以随便选，但要排除c、d同时出现的情况； （种） 第二种：a在第二位，那么b在第三位，第一位不能选e，可以选b、c、d，第四位可以选a，b，c，d，但要排除c、d同时出现的情况； （种） 第三种：a在第三位，那么b在第四位，第一位不能选e，可以选b、c、d，第二位可以选a，b，c，d，但要排除c、d同时出现的情况； （种） 第三类：没有a； 没有c时，（种）； 没有d时，（种）； 没有c、d时，（种）； 根据容斥原理，（种）； （种） 答：一共有135种。 【点睛】本题考查的是计数问题，综合应用了加乘原理及分类讨论的思想。 11．8种 【分析】考虑把5分拆成若干个2和若干个1，可以从分成的数的个数进行分类枚举，最后相加得到总数。 【详解】 （种） 答：走到第五级台阶共有8种走法。 【点睛】由于5比较小，可以把所有的方法都枚举出来，如果要走到第10级、第20级的话，方法就比较多了，可以采用归纳递推的方法进行计数。 12．6种 【分析】把从甲地到丙地这件事分成两步，第一步从甲地到乙地，有3种选择，第二步，从乙地到丙地，有2种选择，步步相乘即可。 【详解】（种） 答：从甲地到丙地有6种不同的走法。 【点睛】一件事情分多个步骤完成的话，每一步又有不同的几种方法，可以考虑将每一步的方法数相乘，简言之，乘法分步，步步相乘。 13．24000种 【分析】分成两类，戴帽子和不戴帽子，戴帽子可以看成四步，每步分别有9、20、15、8种方法，不戴帽子分别有20、15、8种方法，分别求出两种情况的方法数，相加得到总数。 【详解】（种） （种） （种） 答：共可组成24000种不同的搭配。 【点睛】本题考查的是加法原理和乘法原理，加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘。 14．8个 【分析】题目的意思是把10拆成三个不为0的数相加，第一个数取1，第二个数取1，得到第三数，然后第二个数依次增加，如果重复，则第一个数取2，第二个数取2，得到第三数，依此类推，找出所有的可能。 【详解】 一共有8种拆分方法； 答：和为10的三元自然数组共有8个。 【点睛】本题考查的是数的分拆问题，求解此类问题时，一定要注意拆成的数是否可以重复。 15．0场 【分析】甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，即每个人要与其他3人各赛一场，又比赛是在两人之间进行的，所以一共赛了3＋2＋1＝6场，即共有6场比赛：如果甲、乙、丙各胜一场比赛，丁就胜了三场，与甲胜了丁一场相矛盾；如果甲、乙、丙每人胜2场，那么丁胜了0场；据此解答。 【详解】共比赛的场数：3＋2＋1＝6（场） 3×2＝6（场） 6－6＝0（场） 答：丁胜了0场。 【点睛】首先根据赛制算出比赛的总场数是完成本题的关键，然后据甲、乙、丙三人胜的场数相同及甲胜了丁这两个条件分析推理即可。 16．20种 【分析】编号为1，2，3，…，10的十只路灯，1号和10号不能关掉，且关掉的三只不能出现相邻的情况，可以选择2号，4号，6号，这是第一种方法，然后枚举得到其它方法。 【详解】枚举计数： 选择2号，4号，另外一只可以是6号，7号，8号，9号，4种； 选择2号，5号，另外一只可以是7号，8号，9号，3种； 选择2号，6号，另外一只可以是8号，9号，2种； 选择2号，7号，另外一只可以是9号，1种； 选择3号，5号，另外一只可以是7号，8号，9号，3种； 选择3号，6号，另外一只可以是8号，9号，2种； 选择3号，7号，另外一只可以是9号，1种； 选择4号，6号，另外一只可以是8号，9号，2种； 选择4号，7号，另外一只可以是9号，1种； 选择5号，7号，另外一只可以是9号，1种； （种） 答：满足条件的关灯方法有20种。 【点睛】本题考查的是计数问题，分类枚举是计数问题最常用的方法。 17．6种 【分析】从左往右的三个座位，可以分别让徐恒、甜甜、笑笑坐在最左边，然后得出不同的坐法，最后相加得到总的方法。 【详解】徐恒在最左边： 徐恒、甜甜、笑笑；徐恒、笑笑、甜甜，2种； 甜甜在最左边： 甜甜、徐恒、笑笑；甜甜、笑笑、徐恒，2种； 笑笑在最左边： 笑笑、徐恒、甜甜；笑笑、甜甜、徐恒，2种； （种） 答：共有6种不同的安排方法。 【点睛】此题考查了搭配问题，当数量较少时可通过列举法来解答。 18．529 【分析】把1~50这些数分成3类，除以3余1的，除以3余2的，除以3余0的，取出的两个数相加的和是3的倍数，可以从除以3余1的、除以3余2的两面各取一个，也可以从除以3余0的里面取2个。 【详解】1，4，7，10，13…46，49这些数除以3余数是1，总共17个； 2，5，8，11…47，50这些数除以3余数是2，总共17个； 3，6，9，12…45，48这些数除以3余数是0，总共16个； 答：有529种不同的取法。 【点睛】本题考查的是计数问题，注意利用了余数的可加性。 19．45种 【分析】可以按照只选用一种颜色，选用两种颜色，选用三种颜色这三类，求出每一类的染色方法数，相加得到总数。 【详解】第一类：只选用一种颜色； 可以选红、黄、蓝任意一种，共3种方法，得到3种不同的玩具棒； 第二类：选用两种颜色，有三种选法，红、黄，红、蓝，黄、蓝； 若选择红、黄； 4 节的染色情况可以是：红红红黄，红黄红红，红红黄黄，红黄红黄，红黄黄红，黄红红黄，黄黄黄红，黄黄红黄共8种； 种 第三类：选用三种颜色，每个颜色染一节，多的一节可以用红、黄、蓝任意一种颜色； 多的一节用红色； 红红黄蓝，红黄红蓝，红黄蓝红，黄蓝红红，黄红蓝红，黄红红蓝； 种 种 答：可生产45种颜色不同的玩具棒。 【点睛】本题考查的是计数问题，这里综合了枚举法，加乘原理等方法。 20．840种 【分析】根据接触面的多少，可以现在A、B、C、D、E、F的顺着进行染色，其中A、B、C、D、E对应的染色方法有5、4、3、2、3种，其中D、E同色的情况有3种，此时F有3种染色方法，D、E不同色的情况有6种，此时F有2种染色方法。 【详解】 （种） 答：有840种不同的染法。 【点睛】 对于此类染色问题，染色的顺序是根据每一块的接触面多少决定的，接触面越多，越优先染色。 21．8种 【分析】按照所用砝码的数量进行分类，然后枚举。 【详解】用1种：1克、2克、5克，共3种； 用2种：1＋2＝3克、1＋5＝6克、2＋5＝7克，共3种； 用3种：1＋2＋5＝8克，1种。 1g砝码和物体放一起，另一边放5g砝码，这样可以测得物体重量为4g，1种。 3＋3＋1＋1＝8（种） 答：可以称出8种不同的重量。 【点睛】先分类，再考虑每一类里面的搭配种类，枚举时做到不重不漏。 22．24种 【分析】这道题我们首先要确定摔倒之前的初始阶段按照每步2级的步数走，走的步数范围；接着判断后退1级或2级是否可行；最后用乘法原理计算总走法数。 【详解】（1）确定摔倒之前每步2级的步数可能的取值： 摔倒之前每步2级，至少走了1步，且未到终点（26级）。因为每步2级，走1步是2级，走2步是4级，……，走12步是24级，走13步是26级（到终点），所以摔倒之前步数可以是1步、2步、……、12步，共12种情况 （2）对每种摔倒之前的步数，判断后退1级或2级是否可行： 初始步数至少1步，后退1级后位置为21－1＝1级（非负），后退2级后位置为21－2＝0级（非负），所以每种初始步数对应2种后退方式。 （3）计算所有可能的走法总数： 摔倒之前有12种步数，每种步数对应2种后退方式，总走法数为初始步数的种数乘每种步数对应的后退方式数：122＝24（种）。 答：小明这次爬天梯的走法有24种不同的可能。 【点睛】这道题核心是先确定“初始每步2级的步数”的可能情况，再结合“后退级数”的选择，最后计算总走法数。 23．有5枚1分；2枚10分 【分析】3枚25分的硬币价值75分，还有25分，需要分成7个数相加的和，找出所有可能的分拆方式即可。 【详解】3个25枚硬币： （分） （分） 将25拆分成7个数的和： 只有这一种拆分方法，所以，余下的硬币有5枚1分，2枚10分； 答：余下的硬币有5枚1分，2枚10分。 【点睛】本题考查的是数的分拆问题，这里虽然每种硬币的数量是足够多的，但是需要的硬币数量是有限制的。 24．19 种 【分析】每所学校订了至少98份，至多102份，可以是98份，99份，100份，101份，102份这5种情况，3所学校的订法可以互不相同，也可以有两个相同，也可以三个都相同，设这三所学校订的报纸数量分别是a、b、c，列出等式，根据a、b、c的取值范围进行分析。 【详解】解：设这三所学校订的报纸数量分别是a、b、c； 98＋100＋102＝300 由于顺序不同，可以有6种情况； 98＋101＋101＝300 由于顺序不同，可以有3种情况； 99＋99＋102＝300 由于顺序不同，可以有3种情况； 99＋100＋101＝300 由于顺序不同，可以有6种情况； 100＋100＋100＝300 只有1种情况； （种） 答：一共有19种不同的订法。 【点睛】本题实质上考查的是数的分拆，这里注意分拆所得的数的范围，并注意不能重复。 25．432种 【分析】恰有两个相同的数，如果相同的数是2，那么其中一个2一定在千位，另一个2在百位、十位或个位；若相同的数字是0、1、3、4、5、6、7、8、9，那么只能是从百位、十位、个位中选择两位。 【详解】第一类：相同的数是2； 若另一个2在百位上，且十位和个位数字不相同； （种） 同理另一个2在十位上、个位上也都是72种； （种） 第二类： 如果相同的数是0，两个0可能在百位和十位，百位和个位，十位和个位，另一个数位上的数有8种选择； （种） 同理，对于1、3、4、5、6、7、8、9，也都是24种； （种） （种） 答：有432个这样的数。 【点睛】本题考查的是计数问题，加乘原理是计数最常用的方法。 26．9种 【分析】任意从中拿出3个铁环，可以取1种颜色，2种颜色或3种颜色，分成3类，确定每一类的方法数，相加得到总数。 【详解】1种颜色： 可以取3个红铁环或3个黑铁环，2种方法； 2种颜色： 红、黑：1红2黑，2红1黑，2种方法； 红、白：1红2白，2红1白，2种方法； 黑、白：1黑2白，2黑1白，2种方法； 3种颜色：1红1黑1白，1种方法； （种） 答：有9种方法。 【点睛】本题考查的是计数问题，分类枚举是计数中最常用的方法，如果相同颜色的铁环并不相同，那么方法会更多。 27．最初有3种购买方式；调整后B种商品分别是0、1、4、5、6件。 【分析】首先，根据题意建立方程：10a ＋ 6b ＋ 4c ＝ 40（a、b、c均为正整数），求解所有可能的购买方式。接着，分析退还两件商品的条件，退还两件A商品（单价10元）时，总价刚好为20元，符合营业员退20元面值的限制，所以退还的商品不能是A，且初始购买方式中商品数量必须≥2。得到符合条件的初始购买方式有3种，分类讨论退还商品的类型，调整另外两种商品数量，得到所有方案，即可解得。 【详解】设A，B，C三种商品的数量分别是a，b，c，其中 a、b、c均为正整数， 则10a＋6b＋4c＝ 40， 因为最初购买了3种商品，所以a＞0，b＞0，c＞0， 当a＝1时，6b＋4c＝30，即3b＋2c＝15，解得b＝1，c＝6或b＝3，c＝3。 当a＝2时，6b＋4c＝20 ，即3b＋2c＝10，解得b＝2，c＝2。 当a＝3时，6b＋4c＝10 ，即3b＋2c＝5，解得b＝1，c＝1。 即 因为有一种商品买多了，需要退还其中两件，说明该商品的数量≥2， 又因为售货员只有20元面值人民币，说明可以退2件A，但小王没有选择退货，而是换货，说明方案④不满足。 若小王选择方案①， 说明退还商品是C，那么C剩余数量为4，花费4×4＝16，那么调整A和B的数量，使其总价位40－16＝24，得到A商品0件，B商品4件，即（0，4，4） 若小王选择方案②， （1）如果退还的商品是B，那么B剩余数量为1，花费6×1＝6，那么调整后A和C的总价为34，此时A商品1件，C商品6件，即（1，1，6）； （2）如果退还的商品是C，那么C剩余数量为1，花费4×1＝4，那么调整后A和B的总价为36，此时A商品0件，B商品6件或者A商品3件，B商品1件，即（0，6，1）或（3，1，1）； 若小王选择方案③， （1）如果退还的商品是B，那么B剩余数量为0，那么调整后A和C的总价为40，此时A商品0件，C商品10件；或者A商品2件，C商品5件；或者A商品4件，C商品0件，即（0，0，10），（2，0，5），（4，0，0） （2）如果退还的商品是C，那么C剩余数量为0，那么调整后A和B的总价为40，此时A商品1件，B商品5件；或者A商品4件，B商品0件， 即（1，5，0），（4，0，0）。 → 综上，最初的方案有3种，调整后B种商品分别是0、1、4、5、6件。 28．12个 【分析】从四个数字中选出3个数有4种选法，每种选法有6种不同的排列方法，3的倍数要求数字和是3的倍数，先选出数，再排除，最后进行排列。 【详解】选1、2、3，数字和是6，一定是3倍倍数，三位数可能是123，132，213，231，312，321，6个； 选1、2、4，数字和是7，不是3的倍数，排除； 选1、3、4，数字和是8，不是3的倍数，排除； 选2、3、4、数字和是9，一定是3倍倍数，三位数可能是234，243，324，342，423，432，6个； （个） 答：满足条件的不同的三位数有12个。 【点睛】本题将计数问题与3的整除特征相结合，分类枚举是计数时最常用的方法。 29．9种 【分析】把丽丽每天穿戴的这件事分成两步，先戴帽子，再围围巾，戴帽子有3种选择，围围巾有3种选择，3乘3，得到所有的不同的搭配方式。 【详解】（种） 答：有9种不同的搭配方式。 【点睛】本题也可以分成戴红色帽子、戴蓝色帽子、戴黑色帽子这三种情况，进行分类枚举，再把所有的情况相加得到总共的搭配方式。 30．12种 【分析】把小华从家到岐江公园这件事分成两步，第一步，从家到学校，有3种选择，第二步，从学校到岐江公园，有4种选择，3乘4，得到总的走法。 【详解】（种） 答：有12种不同的走法。 【点睛】当完成一件事，有多种类别可以选择时，类类相加；当完成一件事，有多个步骤，每步有多种方法时，步步相乘。 31．6种，图见详解 【分析】一共有16个人，人数超过10人，则可以将方桌拼成长桌。用2张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐6人。用3张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐8人。注意方桌是可以最多有1个空位的，也就是说方桌可以坐3人，几张桌子的人数加起来的和为16即可，分情况讨论： （1）若全是方桌，则16＝4×4＝3＋3＋3＋3＋3＋4； （2）若至少有1张6人长桌时，由于每张长桌不能有空位，先安排6人，剩下的10人中可以有长桌，也可以有方桌。即16＝6＋6＋4＝6＋3＋3＋4； （3）若至少有1张8人长桌，先安排好8人，剩下的8人可以是8人的长桌，也可以组合6人长桌和方桌。16＝8＋8＝8＋4＋4。 【详解】（1）全是方桌，有两种坐法； （2）至少有1张6人长桌时，有两种坐法； （3）至少有1张8人长桌，只有两种坐法。 2＋2＋2＝6（种） 答：共有6种坐法。 【点睛】注意题目中的方桌是可以有空位的，按照规律一一列出，才能不会漏，也不会多。 32．30种 【分析】由于数学书的种类不同，语文书的种类不同，则取1本数学书可以有5本不同的语文书对应，则6本不同的数学书每一本都有5本不同的语文书对应，即6×5＝30（种）。 【详解】6×5＝30（种） 答：有30种不同的取法。 【点睛】本题主要考查搭配问题，要注意每一本数学书都能和所有的语文书进行搭配。 33．190次 【解析】20名同学，每个同学要和其余的19人握手，但握手是2个人，所以如果直接用20乘19，会重复计算一次。 【详解】 （次） 答：大家一共握了190次手。 【点睛】握手问题相当于是单循环比赛问题，n个人互相都握了一次手，总共握手次数为。 34．5种 【分析】按取出的球的种类、数量进行考虑，可以是相同球类，也可以是不同球类，据此解答。 【详解】（1）4个球都是足球或篮球，有2种情况； （2）3个足球1个篮球，3个篮球1个足球，2个足球2个篮球，共3种情况。 2＋3＝5（种） 答：小高共有5种不同选择。 【点睛】本题考查搭配问题，要按照球的种类和数量进行有规律的选择，避免漏选或多选。 35．6条 【分析】小明从家到公园需要经过学校，所以每一条从家里到学校的路都可以和学校到公园的每一条路组成一条完整的路，即1条从家里到学校的路可以搭配2条从学校到公园的路，那么3条路就可以搭配3个2条路，用乘法计算。 【详解】3×2＝6（条） 答：小明从家里经过学校去公园有6条路。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $