精品解析：浙江余姚中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题

余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高二 数学试卷 一、项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】由极差、中位数、平均数和方差的概念和计算公式，即可得出答案. 【详解】设11位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分， 后剩余，中位数仍为，D正确． ②原始平均数， 后来平均数，平均数受极端值影响较大， 与不一定相同，A不正确； ③ ，由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差，可能相等可能变小，B不正确． 故选：D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，因此对应的正态曲线的对称轴为 由对称性可知 所以 所以  4. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先选后排可得答案. 【详解】将5名志愿者分配到4个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 5. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么年后是（ ） A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求得除以12所得余数即可得. 【详解】 ， 上式前面各项均是12的整数倍，所以除以12余数为1， 因此年后是羊年. 6. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 7. 展开式中项系数为（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为2，求出参数的值，代入通项求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由，可得或， 因此，展开式中项的系数为. 故选：D. 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次（其中为不小于2的整数），设事件表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件与事件是独立的，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】分别求，利用建立方程即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件A表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”， 其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”， 包含的情况有2种，所以. 根据对立事件概率之和为1，可得. 事件表示“次中至多有一次正面朝上”， 即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有1种；“次中有一次正面朝上”，从次中选1次为正面朝上，有种情况.所以事件包含的情况共有种，则. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”， 即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以. 因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，等式不成立； 当时，，等式成立； 当时，，等式不成立；当时，等式不成立.. 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用组合数性质可判断AB选项；利用排列数公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由组合数的性质可知，A对； 对于B选项，由组合数的性质可知，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 10. 在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列出，，，根据全概率公式判断A；根据概率的乘法公式计算，再根据独立事件的概率公式判断B；根据概率的加法公式判断C；根据条件概率的概率公式判断D. 【详解】由题意可知，，，，则， 则，故A正确； ，， 则，故与不独立，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用组合数取得最值的性质可判断；B选项利用组合数公式可计算；C选项利用二项式定理可求解；D选项利用组合数的性质可求解. 【详解】对于A选项，因为杨辉三角第行的数对应组合数，，，， 由组合数的性质：当为偶数时，最大数是，对应第个数，可得 第行对应，最大数为，是第个数.故A正确； 对于B选项，第行的数对应组合数，，，， 则从左到右第个数为，第个数为， 所以.故B正确； 对于C选项，因为第行第个数为， 所以，令， 根据二项式定理，.故C错误； 对于D选项，因为第四斜行的数为：1，4，10，20，…， 对应组合数为，即， 所以数列的前项和为 .故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】0 【解析】 【详解】当时，， 当时，， ． 13. 有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有________种.（用数字回答）. 【答案】3360 【解析】 【分析】按照分步乘法原理，根据限制条件，先安排男生甲，进而再从剩下7人中选4人排列即可. 【详解】第一步，先为男生甲安排一个除语文外的职位，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【解析】 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）， （2）的分布列如下： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1可求得，将各组区间的中点值乘以该组的频率可求得平均数； （2）首先求出两组中的人数比，然后利用超几何分布列求解，进而利用数学期望定义求解. 【小问1详解】 因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即，解得， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为. 【小问2详解】 由题意知100名同学中，阅读时间在，的频率之比为， 所以抽取的6人中阅读时间在的人数为，在的人数为. 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在的人数为，则X可能的取值为1，2，3. 所以；； . 所以的分布列如下： X 1 2 3 P 所以. 16. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. （1）估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1） （2）8186人 【解析】 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【小问1详解】 由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； 【小问2详解】 解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 17. 已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足. （1）展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）不存在，理由如下： 因为展开式的通项公式为， 所以，，， 依题意得，即， 由已知，所以，则， 令，解得，故展开式中不存在常数项. （2）、 【解析】 【分析】（1）求出、、，根据可得出关于的方程，结合可求得的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，即可得出结论； （2）方法一：设第项系数为，根据，求出的范围，可得出的值，代入通项即可； 方法二：设第项系数为，分析的单调性，可得出的最大值，代入通项即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （方法一）设第项系数为， 由可得，即， 解得，故或， 即展开式中第三和第四项系数最大，故系数最大项为，； 设第项系数为， 则，所以， 由，所以， 当或时，； 时，； 时，. 故展开式中第三和第四项系数最大，故系数最大项为，. 18. 某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. （1）若发生故障的机床数为，求的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 （2）（i）；（ii）1人，理由见解析【解析】 【分析】（1）由题意得可能取，且，由二项分布概率公式计算出概率后可得分布列； （2）（i）当时，根据机床发生故障的台数，确定出的可能取值，写出分布列计算出均值； （ii）再分别计算出时的获利均值，比较后可得. 【小问1详解】 可能取，且 所以，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则， 3台机床中有2台有故障，则， 3台均有故障，则， 所以，，， 故的分布列为： 24 15 6 ； （ii） 时，由题意可能取值：， 的分布列为： 27 18 9 0 ， 时，至多有2台机床发生故障时，， 有3台发生故障时，， ，， 的分布列为： 21 12 ， 时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以. 最大，即招聘维修工人1人. 19. 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，， 【答案】（1） （2） （3） 由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立重复事件概率计算公式求得. （3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立. 【小问1详解】 设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，，，，， 则， 故. 【小问2详解】 由题知，1，2，由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高二 数学试卷 一、项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 2. 歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 5. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么年后是（ ） A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 6. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 7. 展开式中项系数为（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次（其中为不小于2的整数），设事件表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件与事件是独立的，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中最大的数是第11个数 B. 第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 C. 记第20行第个数为，则 D. 第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有________种.（用数字回答）. 14. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 16. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. （1）估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 17. 已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足. （1）展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由； （2）求展开式中系数最大的项. 18. 某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. （1）若发生故障的机床数为，求的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 19. 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $