浙江省余姚中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学 第 1页 共 4页 余姚中学 2024 学年第二学期质量检测高二数学学科试卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知双曲线 2 2 2 : 1( 0) x C y a a − =  经过点 (2,0)，则C 的渐近线方程为( ▲ ). A. 2y x=  B. 1 2 y x=  C. 1 4 y x=  D. 2 2 y x=  2．已知𝑚，𝑛 ∈ N*且𝑚 ≤ 𝑛，则下列等式正确的是( ▲ ). A．A10 4 = A10 6 B．C7 3 = A7 3 4! C．(𝑛 + 1)A𝑛 𝑚 = A𝑛+1 𝑚+1 D．C𝑛 𝑚 = 𝑚+1 𝑛+1 C𝑛+1 𝑚 3.设随机变量 ,X Y 满足： 3 1Y X= − ， 1 ~ (2, ) 3 X B ，则 ( )D Y = ( ▲ ). A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4.已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N  ，且 (2 2.5) 0.36P X  = ，则 ( 1.5)P X  等于( ▲ ). A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86 5.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市 中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计 划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩， 已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生 乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是( ▲ ). A. 132 B. 144 C. 150 D. 168 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用 |m x 表示整数 x 被m 整除，设 a ， b Z ， *m N 且 1m  ，若 | ( )m a b− ，则称 a 与 b对模 m 同余，记为 (mod ).a b m 已知 0 16 1 15 2 14 3 13 14 2 15 16 16 16 16 16 165 5 5 5 5 5 2a C C C C C C=  −  +  −  + +  −  − ，则( ▲ ). A. 2024(mod 7)a  B. 2025(mod 7)a  C. 2026(mod 7)a  D. 2027(mod 7)a  7. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局 数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结果相互独立.记 X 为比赛 决出胜负时的总局数，则 X 的均值（数学期望）为( ▲ ). A. 224 81 B. 34 9 C. 24 9 D. 304 81 高二数学 第 2页 共 4页 8. 已知定义在 ( )3,3− 上的函数 ( )f x 满足 4 2( ) e ( ) 0, (1) e , ( )xf x f x f f x+ − = = 为 ( )f x 的导函数，当 [0,3)x 时， ( ) 2 ( )f x f x  ，则不等式 2 4e (2 ) ex f x−  的解集为( ▲ ). A． ( 2,1)− B． (1,5) C． (1, )+ D．(0,1) 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知 1 ( ) 5 P A = ， 1 ( | ) . 4 P B A = 若随机事件 ,A B 相互独立，则( ▲ ). A. 1 ( ) 3 P B = B. 1 ( ) 20 P AB = C. 4 ( | ) 5 P A B = D. 4 ( ) 5 P A B+ = 10.从 0，1，2，3，4，5，6这 7个数字中取出 4个数字，则( ▲ ). A. 可以组成 720个无重复数字的四位数 B. 可以组成 300个无重复数字且为奇数的四位数 C. 可以组成 270个无重复数字且比 3400大的四位数 D. 可以组成 36个无重复数字且能被 25整除的四位数 11.已知(1 − 𝑥)2025 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2025𝑥 2025，则( ▲ ). A．展开式的各二项式系数的和为 0 B．𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎2025 = −1 C．22025𝑎0 + 2 2024𝑎1 + 2 2023𝑎2 + ⋯ + 𝑎2025 = 1 D． 1 𝑎1 + 1 𝑎2 + ⋯ + 1 𝑎2025 = −1 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 7 3 1 (1 )(1 )x x + + 展开式中 3x 的系数为 ▲ . 13. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最 大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.第 24届 国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中 5个区域涂色，要 求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有 5种不同的颜色 可供使用，则不同的涂色方案有 ▲ 种. 14.若正实数 1x 是函数 2( ) xf x xe x e= − − 的一个零点， 2x 是函数 3( ) ( )(ln 1)g x x e x e= − − − 的一个大于 e的零 点，则 1 2 2 ( )x x e e − 的值为 ▲ . 高二数学 第 3页 共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(本小题满分 13 分)在(√𝑥 − 1 2𝑥 ) 9 的展开式中,求: (1)常数项； (2)含𝑥3的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 16. (本小题满分 15 分)已知甲袋中有3个白球和 4 个黑球，乙袋中有5个白球和 4 个黑球，现在从两个袋中 各取 2个球，试求： (1)取得的 4个球均是白球的概率； (2)取得白球个数 的分布列及数学期望． 17. (本小题满分 15 分) 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了 “青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了 200 份试卷进行调查，这 200份试卷的成绩（卷面共 100分）频率分布 直方图如图. (1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该 组区间的中点值为代表）； (2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 ( )2,N   （用样本平均数 x 和标准差 s 分别作为  ， 的近似值），已知样本标准差 8.65s  ，如有84% 的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的 平均分约为多少（结果取整数）？ (3)从  80,100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10份试卷，再从这 10份样本中随机抽测 ( )1 6i i  份试卷 （抽测的份数是随机的），若已知抽测的 i 份试卷都不低于 90分，求抽测 2份的概率. 参考数据：若 ( )2,X N   ，则 ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545,P X P X       −   +  −   +  ( 3 3 ) 0.9973.P X   −   +  高二数学 第 4页 共 4页 18. (本小题满分 17 分)已知离心率为 1 2 的椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b + =   与 x轴正半轴， y 轴正半轴分别交于 A ､ B 两点且 7AB = . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设经过椭圆 E 左焦点F 的直线 l 与椭圆 E 交于 ,C D 两点，点O为坐标原点.若 OCD面积为 6 2 7 ，求 直线 l 的方程； (3)点 3 1, 2 Q       ，点M N､ 在椭圆 E 上，且满足 3 4 MQ NQk k+ = − （记直线MQ 的斜率为 MQk ，直线 NQ 斜率为 NQk ），过点Q 作 MN 的垂线，垂足为 H ，问：是否存在定点G ，使得 GH 为定值？若存在，求出此定 值，若不存在，请说明理由. 19．(本小题满分 17 分)设函数𝑓(𝑥) = 𝑥ln𝑥 − 𝑎(𝑥2 − 1). (1)若曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程为𝑥 + 𝑦 − 1 = 0，求𝑎的值； (2)当𝑥 > 1时𝑓(𝑥) < 0恒成立，求实数𝑎的取值范围； (3)证明： * 2 ln 2 2( ) 1 n k k n n N k=  −  −  . 命题:徐鹏科 审题:顾丹杰 余姚中学2024学年第二学期质量检测高二数学学科试卷参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B c A D A A B 8.【解析】令g= e2 ,所以f(x)=e2g(x),因为f(x)+ef(-x)=0,所以 e2·g(x)+e“e“g(-x)=0,化简得g(x)+g(-x)=0, 所以g(x)是(-3,3)上的奇函数： ()(2() e 因为当0≤x<3时，f"(x)>2f(x), 所以当xe[0,3)时，g'(x)>0,从而g(x)在[0,3)上单调递增，又g(x)是(-3,3)上的奇函数，所以g(x)在 (-3,3)上单调递增： 考虑到g0=0-=l,由e2f2-x<e, 得e2e2-g(2-x)<e,即g(2-x)<1=g) -3<2-x<3, 由g(x)在(-3,3)上单调递增，得 解得1<x<5, 2-x<1, 所以不等式ef(2-x)<e的解集为(L,5), 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BCD 11.【解答】y(1-x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025, 展开式的各二项式系数的和为22025，所以A错： 令x=0,得到a=1,令x=1,得到a0+a1+a2+…+a2o25=0, 六a1+a2+…+a2025=-1,所以B对： 由二项式定理可得：C吃02s(-x)=C吃02s(-1)*x*，ak=C吃025(-1)*， 所以22025-kak=22025-C吃025(-1)*，k=0,1,2…,2025, 22025C22s(-1)°+2024C202s(-1)1+22023c202s(-1)2++2c282(-102025=(2+(-10）}2025=1, 22025a0+22024a1+22023a2+…+a2025=1,故C对： ak=C2025(-1)*,k=0,1…,2025, 1k!(n-k)！n+1k!(n-k)!(n+2)n+1k!(n-k)!(k+1+n+1-k) n! n+2 (n+1)月 n+2 (n+1)月 =n+1+1-k!+k+106m-k州 n+1/1 1 n+2(n+1)月 (n+1)月 2025= 2025 1 2025(-1)* 1 1 -…+(-1)20251 k=0 ak 02 （品+） = 1 2025 1 2026/ 1 1 1 1 ak 2027 0 C226/ 2 +…+(-1)2025 C2026 2026 2026 C脱 c8】 k=0 2026 1 1 c2026 n2026 =0 2027 U2026 ,1=1, 1十 1 1 十…十 =-1,故D对. a2 a2025 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.42 13.420 14.e 14.【解答】依题意得，xe-x-e2=0,即xe-x=e2,x>0, (x2 -e)(In x -1)-e=0,-e)(In x-1)=e,x>e, ..e(x e-x)=e=(x2-e)(Inx,-1), ..x(e"-e)=(Inx -1)(x2 -e), .1(e+1-e）=(nx2-1)儿ea1)*1-e, 又：lnx2>1,lnx2-1>0, 同构函数：F(x)=x(e-e),x>0, 则F(x)=FIn-I)=e, 又F'(x)=el-e+xe=e(e-l）+xei, ,x>0,e>e°=1，.e-1>0,又xe>0,.F'(x)>0,F(x)单调递增， ∴x=lhx2-1, e)(In x-1(x;-e)e e2 故答案为e. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.在（匠-）'的展开式中，求 (1)常数项： (2)含x3的项的系数： (3)系数的绝对值最大的项. 【解答】(-)°的展开式的通项公式7+1=C(园（←》=（←）.c5x罗，r=0,12,“9, 1)令9”=0.解得r=3,可得74=（←）°-8=-受 即常数项为-号 2)令”=3，解得r=1,可得72=-×C码x3=-号x3, 2 即x项的系数为- 3)系数的绝对值是C(分，令 .keZ k=3 系数的笔对值最大的项为不：=了=号 16.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从两个袋 中各取2个球，试求： 1)取得的4个球均是白球的概率： 2)取得白球个数5的分布列及数学期望. 1)P=5 126 PG=0=品s5=品m5=2-总店==品Pg=高 E57=24 63 17.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年 频率 组距 路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行 0.04 0.035 调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图. 0.015 (1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该 0.01 组区间的中点值为代表)， 60708090100分数 (2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(4,σ2)（用样本平均数x和标准差s分别作为“，。的 近似值)，己知样本标准差s≈8.65，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平 均分约为多少（结果取整数）？ (3)从[80,100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测(1≤i≤6)份试卷 (抽测的份数是随机的)，若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率. 参考数据：若X~N(4,σ)，则 Pu-o<X≤4+o)≈0.6827，P-2o<X≤+2o)≈0.9545P4-3o<X≤H+3o)≈0.9973 【解答】(1)由频率分布直方图可知， 平均分=(65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015)×10=80.5： (2)由(1)可知，X-N(80.5,8.652), 设学校期望的平均分约为m,则P(X≥m)=0.84, 因为PH-σ<X≤H+σ)≈0.6827，Pu-<X≤)≈0.34135， 所以PX>4-σ)≈0.84135，即PX>71.85)≈0.84， 所以学校的平均分约为72分： (3)由频率分布直方图可知，分数在[80,90)和[90,100]的频率分别为0.35和0.15， 那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在[80,90)，应抽取10×。 ga55=7人 0.15 分数在[90,100应抽取10× =3人， 0.35+0.15 记事件A:抽测i份试卷i=1,2,3,事件B:取出的试卷都不低于90分， 则4-名P国A)-号 P@-p4Ma)-E是+} 则P(4B)= (4,B_6C=8 P(B)1 45 16 8。已知离心率为2的椭圆E:+ +存=1(>b>0)与x轴正半轴，’轴正半轴分别交于A,B两点且 |4B=V万 (1)求椭圆E的标准方程： (②)设经过椭圆E左焦点F的直线/与椭圆E交于C,D两点，点O为坐标原点.若△0CD面积为6巨 求直线l的方程： 3 (3)点Q 点M、N在椭圆E上，且满足kwO+k=一 4 (记直线MQ的斜率为kMO,直线NQ 斜率为ko),过点Q作MN的垂线，垂足为H,问：是否存在定点G,使得GH为定值？若存在，求 出此定值，若不存在，请说明理由， 【解答】(1)由题意可得e=-9=}么-5，又厅+疗=万， 、→一三 a 2 a 2 六a=2,6=V5,故椭圆E的标准方程为+上 =1. 43 (2)显然直线I的斜率不会为0，设直线CD:x=y-1, (x2 y + -=1 设C(x,),D(2,y),则43，消去x可得(32+4)y2-60y-9=0, x=y-1 6t 9 由△=144+14>0，则y+乃=3+44=3+4' S.ow-F-- 6t 12 32+4 366P+1_65,解得1=士1， 312+432+47 所以，直线I的方程为x+y+1=0或x-y+1=0 (3)若直线MN的斜率存在，设直线MN:y=+m,M(,),N(x4,y4), x2,y2 =1 43,消y可得(4k2+3)x2+8kx+4m2-12=0, y=kx+m 由△=192k2-48m2+144>0,则x3+x4 -8km 4m2-12 4k2+3-56= 4k2+3 由ko+k0= 2, 3 (x-1)(x4-1) 4 4起+m-引-小++m引-小+36--=0， 整理得(3+8k)xx4+(4m-4k-9)(x+x4)+15-8m=0, ∴.(3+8k)(4m2-12)+(4m-4k-9)(-8km)）+(15-8m)(4k2+3)=0, 整理得(2k+2m-3)(10k+2m-1)=0,:2k+2m-3=0或10k+2m-1=0. 当2k+2m-3=0即m=+号时，直线MN:y=(x-)+,过点Q1引 不符合： 当10k+2m-1=0即m=-5水+2时，直线 MN:=(x-列过点5 符合： 而OH⊥MN,故QH⊥RH,即点H在OR为直径的圆上， 所以只看取0R的中点G(3小，则GA-0=四 2 故存在G(3,),使得GH为定值厅， 19.(17分)设函数f(x)=x1nx-a(x2-1). (1)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为x+y-1=0,求a的值： (2)当x>1时f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围： (3)证明： ∑片<2wi-2ae 【解答】(1)f'(x)=lnx+1-2ax, 由题意曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为x+y-1=0, 则f'(1)=1-2a=-1,解得a=1: (2)f(x)=xlnx-a(x2-1),x>1, f'()=lnx+1-2ax,令u()=lnx+1-2ax(x>1),则u'(x)=-2a, 当2a≤0，即a≤0时，u(x)>0,u(x)即f'(x)是(1，+o)上的增函数， 因此f"(x)>f'(1)=1-2a>0, f(x)是增函数，所以f(x)>f(1)=0,不合题意，舍去： 当2a≥1即a≥时，u'(x)<0,u(x)即f'(x)是(1，+o)上的减函数， 所以f'(x)<f'(1)=1-2a≤0， 所以f(x)是(1，+o∞)上的减函数，从而f(x)<f(1)=0恒成立， 当0<2a<1即0<a<时，a>1, xe(1,)时，t()>0,u(x)在(1，司)单调递增， xe(品+o)时，u'()<0,ux)在（岳+∞）单调递减， 又u(1)=1-2a>0,所以x∈(1，急)时，u()>0恒成立，即f'(x)>0恒成立， 此时f)在(1，急上单调递增，因此f)>f)=0,与题意不合，舍去， 综上a之 (3)由(2)x>1时，nx<x2-1).即<1，从而2m<1, x-1 所以<京又位=最<后=2--， 2 所以<2--)， 此不等式中分别令x=2,3,…,n得 <22-1),g<2W3-2,,<2-Vn-) 将这n-1个不障式相加∑，片<2-20aeN)