精品解析：海南省琼中县2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一）数学科试题

琼中县2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一） 数学科试题 温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟，请将答案写在答题卡上 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，代数式的值为（ ） A. 1 B. 7 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 6. 如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向右移动，则可能移动到下列哪一点？（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 9. 如图， 中有 ，点在 上．根据图中标示的度数，则之值是（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图， 为 的直径，点是 上位于 异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 14. 已知实数a，b满足，则______． 15. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 16. 如图，在平行四边形中，，，．动点 、 分别在边 、 上，且，以 为边作等边，使点 始终在的内部或边上． （1）________； （2）当的面积最大时，的长为________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与解不等式组： （1） （2），并在数轴上表示其解集． 18. 某商店销售 、 两种水果． 水果标价14元/千克， 水果标价18元/千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了 、 两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买 、 两种水果，要求 水果比 水果多买1千克．小明到这家商店后，发现 、 两种水果正在进行优惠活动： 水果打七五折：一次购买 水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买 水果多少千克？ 19. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东 方向上，位于景点A的北偏东 方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 21. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点与轴平行的直线交抛物线于 、两点（点 在点的左侧），当时，求的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 22. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程，请你按相关要求答题． 【操作实践】如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ，再沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点、及折痕 、，连接、、． （1）【初步成果】智慧小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，．由矩形的性质，可知 ，， ________，．（请你补充上述过程中横线上的内容，把答案直接写在答题卡上．） （2）【猜想推理】实操小组通过测量和的长度，于是猜想存在关系：．社团成员们经过探究发现实操小组的猜想是正确的，并得出验证方法多种，如：方法一：证明，得到，再由可得结论．方法二：过点作 的平行线交 于点 ，构造平行四边形，然后证可得结论．（请你选择上述其中一种方法证明，要求写出完整推理过程．） （3）【拓展探究】在上面“猜想推理”的“方法二”作辅助线“过点作交 于点的基础上，连接，如图②，创新小组发现： ①若在矩形中，，，则与 不平行．请你求出此时的长，并证明与 不平行，要求写出完整推理过程； ②若要 ，当矩形的其中一边时， 的值不等于10，但 的值不容易计算，不过的长依然容易求出．请你计算此时的长，要求写出完整推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼中县2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一） 数学科试题 温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟，请将答案写在答题卡上 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此判断即可． 【详解】解：只有选项B（由）沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； 其余选项均找不到一条直线，使图形折叠后完全重合，因此都不是轴对称图形． 2. 当时，代数式的值为（ ） A. 1 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当时，． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 4. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：110000用科学记数法可以表示为， 故选：C． 5. 一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层小正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 6. 如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向右移动，则可能移动到下列哪一点？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，点平移的规律为：向右移动，横坐标变大；向下移动，纵坐标变小． 原出发点坐标为，因此移动后得到的点需要同时满足：横坐标（符合向右移动）；纵坐标（符合向下移动），据此判定即可． 【详解】A、 ：，，符合要求； B、 ：，纵坐标变大，是向上移动，不符合； C、 ：，横坐标变小，是向左移动，不符合； D、 ：横坐标更小、纵坐标更大，即向左上方移动，不符合． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 9. 如图，中有 ，点在 上．根据图中标示的度数，则之值是（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求出r的值，根据三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11. 如图， 为 的直径，点是 上位于 异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由 为 的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ 为 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，0大于一切负数，对给出的四个数进行比较，即可得到最小的数． 【详解】解：对四个数按从小到大排列可得因此四个数中最小的数是． 14. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接 ，交于点，先得出垂直平分 ，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接 ，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分 ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，，．动点 、 分别在边 、 上，且，以 为边作等边，使点 始终在的内部或边上． （1）________； （2）当的面积最大时，的长为________． 【答案】 ①. 90 ②. 5 【解析】 【分析】（1）在中，得出，根据是等边三角形，得出，，连接 ，证明，得出，，则 （2）作的平分线交 于点 ，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线 和直线 重合，确定点 在 上运动，根据，得出最大时，的面积最大，当点 与点 重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 连接 ， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （2）作的平分线交 于点E， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线 和直线 重合， 即点P在 上运动， ∵， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点P与点E重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与解不等式组： （1） （2），并在数轴上表示其解集． 【答案】（1） （2）， 在数轴上表示出解集如下． 【解析】 【分析】（1）先分别处理每一项：根据绝对值的性质化简绝对值项，根据负整数指数幂的公式计算负指数幂项，根据二次根式的平方运算计算平方项，根据零指数幂的定义计算零指数幂项，再进行加减运算合并结果． （2）先分别解出不等式①和不等式②的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀，取两个不等式解集的公共部分．在数轴上表示解集，注意端点的虚实． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 由①得，； 由②得，． 原不等式组的解集为：， 数轴略． 18. 某商店销售 、 两种水果． 水果标价14元/千克， 水果标价18元/千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了 、 两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买 、 两种水果，要求 水果比 水果多买1千克．小明到这家商店后，发现 、 两种水果正在进行优惠活动： 水果打七五折：一次购买 水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买 水果多少千克？ 【答案】（1）A种水果买了2千克，B种水果买了1千克 （2）小明买 水果1.25千克 【解析】 【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：设A种水果买了千克，B种水果买了千克， 由题意得：， 解得：， 答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克； 【小问2详解】 设小明买A水果千克，则小明买B水果千克， 由题意得：， 解得：， 答：小明买A水果1.25千克． 19. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144 （2） 补全条形图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出 类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：200，144； 【小问2详解】 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 【小问3详解】 由题意，列表如下： A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. 20. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东 方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得，． ． ． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 21. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点与轴平行的直线交抛物线于 、两点（点 在点的左侧），当时，求的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，当取最大值时，求抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形的面积． 【答案】（1） （2）或77 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可得，分类两种情况讨论，点 在点 右侧，点 在点 左侧，再根据列方程组求出，代入二次函数解析式即可得解． （3）当一条直线恰好经过抛物线的顶点，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间，最大，求出：与抛物线的交点，即可求出m，n，结合图象可知，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为三角形，三角形的底边长为，高为直线、之间的距离，即可得解． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：； 抛物线的解析式． 【小问2详解】 解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于 ，两点， ，关于对称轴对称，且 ，的纵坐标均为， ， 当点 在点 右侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 当点 在点 左侧时， ， ， ， 把代入得：， ； 综上所述，当时，或77． 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点坐标， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点，则这条直线为：， 直线，之间的距离为16， 另一条直线的解析式为：，如图， 此时，当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，最大， 当时，， 解得：，， ，， 的最大值为：． 此时，抛物线与两直线、的几个交点围成的多边形为等腰三角形，其面积为：． 22. 综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程，请你按相关要求答题． 【操作实践】如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ，再沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点、及折痕 、，连接、、． （1）【初步成果】智慧小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，．由矩形的性质，可知 ，， ________，．（请你补充上述过程中横线上的内容，把答案直接写在答题卡上．） （2）【猜想推理】实操小组通过测量和的长度，于是猜想存在关系：．社团成员们经过探究发现实操小组的猜想是正确的，并得出验证方法多种，如：方法一：证明，得到，再由可得结论．方法二：过点作 的平行线交 于点 ，构造平行四边形，然后证可得结论．（请你选择上述其中一种方法证明，要求写出完整推理过程．） （3）【拓展探究】在上面“猜想推理”的“方法二”作辅助线“过点作交 于点的基础上，连接，如图②，创新小组发现： ①若在矩形中，，，则与 不平行．请你求出此时的长，并证明与 不平行，要求写出完整推理过程； ②若要 ，当矩形的其中一边时， 的值不等于10，但 的值不容易计算，不过的长依然容易求出．请你计算此时的长，要求写出完整推理过程． 【答案】（1） （2） 解：证明：方法一：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质，得，，，，， ∴，， ∴ ， 由（1）知，， 又∵ ， ， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，过点作交 于点G， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴， ∴， ∴ ； （3） 解：①由折叠知 在矩形中有， 在中，由勾股定理可得 设，则， 在中，由勾股定理可得，即 解之得 即； 假设 ， ， 而由折叠知， ， 由上（2）方法一知， ， 由（2）方法二知， ∴ 又 ，则易得 在中，由勾股定理可得， 即，显然这个等式是不成立的 假设 不成立，即与 不平行； ②当 时， ， ， ， ， ， 由（2）可知：，，， ， 设，则：，， ， 又 ， ， ， ， ， 在和中，， ，即：， ， 解得：或（舍去）； ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质推出角相等从而确定直线平行关系，再通过测量和推理猜想线段关系： （2）利用矩形的折叠性质可证明三角形全等，进而得出线段相等关系； （3）①设，则，，在中，利用勾股定理解答即可；②根据前面的结论设未知数，分两种讨论直角三角形，利用三角函数和线段关系列方程求解． 【小问1详解】 解：由折叠可知，． 由矩形的性质，可知 ， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $