精品解析：内蒙古呼和浩特市实验中学2026年初中学业水平考试九年级学情调研 数学学科

绝密★启用前 2026年初中学业水平考试初三年级学情调研 数 学 学 科 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡收回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 2. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线 交于点D，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出 平分，根据角平分线性质得到 ，从而判断出，得到 ，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设 ，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． 3. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义即可判断． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得： ， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：D． 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是：（ ） A. 调查某种西红柿的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的耗电情况 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《飞驰人生》的情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中调查西红柿甜度具有破坏性，调查范围大，适合抽样调查； 选项B中调查品牌新能源汽车耗电情况，调查范围大，测试具有损耗性，适合抽样调查； 选项C中调查某市垃圾分类情况，调查范围广，适合抽样调查； 选项D中调查全班观看电影的情况，范围小，个体数量少，适合全面调查． 6. 下列运算正确的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：选项：与不是同类项，不能合并，错误； 选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误． 7. 如图，在矩形中，对角线 与相交于点，点在边上，连接， ，是的中点，连接，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、中位线定理，掌握“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”、“方程思想”、“三角形的中位线长度等于第三边的一半”是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得，解得，即，根据、分别是 、的中点，可得是的中位线，由中位线定理可知，． 【详解】解：设， ， ， 矩形中， ， 中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 是的中点，矩形中， 是的中位线， ， 即线段的长为． 故选：． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当 时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即 时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设 ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 10. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为： ， 故答案为： ． 11. 内蒙古草原主要由六大核心草原（呼伦贝尔草原、科尔沁草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原、鄂尔多斯草原和乌拉特草原）组成，若从中随机选择一个，则选中“科尔沁草原”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题为简单概率计算问题，确定所有等可能结果的总数与符合条件的结果数后，代入概率公式即可求解． 【详解】解：所有等可能的选择结果总数为，选中“科尔沁草原”的结果只有种， 因此选中“科尔沁草原”的概率是． 12. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若 ，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】,根据菱形的性质可知 与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得： ，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，， ，， 与是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据分式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，， ． 八年级20名学生竞赛成绩是： ， ，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． （3）该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级学生的法治知识竞赛成绩较好， 理由如下：因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级，所以七年级学生的法治知识竞赛成绩较好； （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求出a，b的值，再根据扇形统计图和七年级组中的数据即可求出m的值． （2）根据平均数、中位数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级、组的人数为：， 把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84， 故中位数， 八年级20名学生的竞赛成绩的众数 ， ，即 ， 故答案为：， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人． 15. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的 倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2），最小购买费用为12800元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为 元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为 元； 由题意得，， 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； 【小问2详解】 解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴w随a增大而增大， ∴当 时，w有最小值，最小值为， ∴，最小购买费用为12800元． 16. 如图所示，四边形内接于 ，过点作 交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是 的切线； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段 有关的三个结论 ， ， ，你认为哪个结论正确，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：连接 并延长交于点，连接 ，则： ， ∵， ∴ 垂直平分， ∵ ， ∴ ， 又∵是 的半径， ∴是 的切线； （3） 解：结论②正确，理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ， ∴ ， 在上截取 ，连接，则为等边三角形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，即可得出结果； （2）连接 并延长交于点，连接 ，易得 垂直平分，根据 ，得到 ，即可得证； （3）在上截取 ，连接，先证明为等边三角形，得到 ，圆周角定理得到 ，进而得到为等边三角形，证明 ，得到 ，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形内接于 ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键． 17. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明 是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到 ，得 ，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线 的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得 ，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 18. 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）猜想求解：如图1，若 ， ，求 的度数； （2）拓展延伸：如图2， ， ，过点作，交的延长线于，连接，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点 是的中点，连接， ．用等式表示线段与 的数量关系并证明； 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ，， ， 由旋转知，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ，； （3） 解： ，理由如下： 连接， 点 是的中点， ， ， ， ， ，即 ． 点是的中点，， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 即 ， ． 【解析】 【分析】（1）先说明是等边三角形，可得 ，再根据旋转的性质求出 ，然后根据 得出答案； （2）连接，由题意得，，再说明 ，根据“边角边”说明，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明 ，即可得出答案； （3）连接，根据直角三角形的性质得 ，再说明 ，然后根据直角三角形的性质得 ，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 是等边三角形， ， 由旋转得， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年初中学业水平考试初三年级学情调研 数 学 学 科 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡收回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 3. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是：（ ） A. 调查某种西红柿的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的耗电情况 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《飞驰人生》的情况 6. 下列运算正确的是：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接， ，是的中点，连接，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当 时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 10. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿 根大串和 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 11. 内蒙古草原主要由六大核心草原（呼伦贝尔草原、科尔沁草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原、鄂尔多斯草原和乌拉特草原）组成，若从中随机选择一个，则选中“科尔沁草原”的概率是________． 12. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若 ，则的长为________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1）； （2）． 14. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．； ．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在 组中的数据是：，，，，，， ． 八年级20名学生竞赛成绩是： ， ，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． （3）该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 15. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的 倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 16. 如图所示，四边形内接于 ，过点作 交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段 有关的三个结论 ， ， ，你认为哪个结论正确，请说明理由． 17. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明 是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 18. 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接． （1）猜想求解：如图1，若 ， ，求 的度数； （2）拓展延伸：如图2， ， ，过点作，交的延长线于，连接，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $