专题09不等式与不等式组期中复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题09不等式与不等式组期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式相关概念，掌握不等式的基本性质 2.会解一元一次不等式，并能用数轴表示解集 3.掌握一元一次不等式组的解法与解集确定方法 4.能运用不等式（组）解决简单实际问题 1.正确求解不等式与不等式组，并规范表示解集 2.能根据解集求参数范围 3.会找整数解、特殊解，提升计算与推理能力 4.具备建模解决实际问题的能力 1.概念辨析、性质应用不出错 2.解不等式（组）步骤规范、结果准确 3.实际应用题能正确列式并解答 4.全章基础题不丢分，中档题稳拿分 题型01.不等式及其解集 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式定义与解集 题型04.求一元一次不等式整数解 题型05.不等式解集的数轴表示 题型06.列一元一次不等式求最值 题型07.一元一次不等式的实际应用 题型08.一元一次不等式的几何应用 题型09.求不不等式组的解集 题型10.不等式组整数解问题 题型11.由不等式组解集求参数 题型12.由不等式组解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.不等式组的实际应用 解答题6题 知识点01.不等式定义及相关概念 1.不等式 用符号 **>、<、≥、≤、≠** 连接的式子叫做不等式。 例：3x−2>5，2y+1≤7。 2.不等式的解与解集. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 解集的表示：① 用不等式表示（如 x>3）；② 用数轴表示（注意空心圈 / 实心点、方向）。 3.一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b>0（或 <0、、，a≠0）。 4.一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点03:解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 知识点04:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 知识点05:解集在数轴上表示（必考） ＞、＜：空心圆圈，不包含端点. ≥、≤：实心圆点，包含端点. 方向：大于向右，小于向左 知识点06.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 题型01.不等式及其解集 【典例】某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【跟踪专练1】若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【跟踪专练3】下列各数中，是不等式的解的是　　 A． B．0 C．1 D．3 题型02.不等式的性质 【典例】已知，是任意实数，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知数轴上点，分别表示实数，，若点在点的右边，则下列不等式成立的有（   ） 1）   2）   3）   4）   5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.一元一次不等式定义与解集 【典例】已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【跟踪专练2】是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是________． 题型04.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【跟踪专练2】已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05.不等式解集的数轴表示 【典例】已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【跟踪专练1】关于的不等式的解集如图所示，则_______．    【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06.列一元一次不等式求最值 【典例】不等式的最大整数解是__________． 【跟踪专练1】用不等式表示，比x的2倍大1的数不小于x的5倍____． 【跟踪专练2】立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分．若某女生的成绩为，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 题型07.一元一次不等式的实际应用 【典例】在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜（    ）场． A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练1】茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【跟踪专练2】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型08.一元一次不等式的几何应用 【典例】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【跟踪专练2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型09.求不等式组的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】不等式组的解集为________． 【跟踪专练2】使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 题型10.不等式组整数解问题 【典例】关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不等式组的整数解为___________． 【跟踪专练2】定义：把互不相等的3个正整数 （三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串． 现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作． 下列说法：①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则 或3．②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则 有4种不同的取值．③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数中1，2，3．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型11.由不等式组解集求参数 【典例】已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【跟踪专练2】若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是________． 题型12.由不等式组解集情况求参数 【典例】若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的最大整数解为，则a的取值范围是___________． 题型13.不等式组与方程组结合 【典例】已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【跟踪专练2】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 题型14.不等式组的实际应用 【典例】某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【跟踪专练2】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【跟踪专练3】某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【跟踪专练4】某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【跟踪专练5】某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 解答题 1．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 2．求不等式的最小整数解． 3．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 4．阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 5．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09不等式与不等式组期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式相关概念，掌握不等式的基本性质 2.会解一元一次不等式，并能用数轴表示解集 3.掌握一元一次不等式组的解法与解集确定方法 4.能运用不等式（组）解决简单实际问题 1.正确求解不等式与不等式组，并规范表示解集 2.能根据解集求参数范围 3.会找整数解、特殊解，提升计算与推理能力 4.具备建模解决实际问题的能力 1.概念辨析、性质应用不出错 2.解不等式（组）步骤规范、结果准确 3.实际应用题能正确列式并解答 4.全章基础题不丢分，中档题稳拿分 题型01.不等式及其解集 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式定义与解集 题型04.求一元一次不等式整数解 题型05.不等式解集的数轴表示 题型06.列一元一次不等式求最值 题型07.一元一次不等式的实际应用 题型08.一元一次不等式的几何应用 题型09.求不不等式组的解集 题型10.不等式组整数解问题 题型11.由不等式组解集求参数 题型12.由不等式组解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.不等式组的实际应用 解答题6题 知识点01.不等式定义及相关概念 1.不等式 用符号 **>、<、≥、≤、≠** 连接的式子叫做不等式。 例：3x−2>5，2y+1≤7。 2.不等式的解与解集. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 解集的表示：① 用不等式表示（如 x>3）；② 用数轴表示（注意空心圈 / 实心点、方向）。 3.一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b>0（或 <0、、，a≠0）。 4.一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点03:解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 知识点04:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 知识点05:解集在数轴上表示（必考） ＞、＜：空心圆圈，不包含端点. ≥、≤：实心圆点，包含端点. 方向：大于向右，小于向左 知识点06.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 题型01.不等式及其解集 【典例】某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 【跟踪专练1】若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 【跟踪专练2】已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 【跟踪专练3】下列各数中，是不等式的解的是　　 A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】判断各个选项是否满足不等式的解即可. 【详解】满足不等式x>2的值只有3， 故选D． 【点睛】本题考查不等式解的求解，关键是明白解的取值范围. 题型02.不等式的性质 【典例】已知，是任意实数，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； 【跟踪专练1】如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； B．不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意． C．不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，可得，C正确，不符合题意． D．由不等式性质得，两边同时加1，不等号方向不变，可得，因此D错误，符合题意． 【跟踪专练2】已知数轴上点，分别表示实数，，若点在点的右边，则下列不等式成立的有（   ） 1）   2）   3）   4）   5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合举反例逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， ， 当，时，，而， 当，时，，而， ∴不等式成立的有1个. 题型03.一元一次不等式定义与解集 【典例】已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 【跟踪专练1】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为，判断的符号，得到与的数量关系和的符号，再求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 根据不等式的性质，不等式两边同除以得， ， 整理得， ，即， ， 对于不等式， 根据不等式的性质，不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 将代入得． 【跟踪专练2】是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义，得到，求出的值，再解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴不等式为：， 解得：； 故答案为：． 题型04.求一元一次不等式整数解 【典例】不等式的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 【跟踪专练1】已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 【跟踪专练2】已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式的解集．解不等式，得，由是不等式的解，求得，由a的最大整数为m，求得，据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 解得， ∵是不等式的解， ∴， 解得， ∵a的最大整数为m， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型05.不等式解集的数轴表示 【典例】已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 【跟踪专练1】关于的不等式的解集如图所示，则_______．    【答案】0 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键． 先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：解不等式得：, ∵由数轴可知， ∴，解得：． 故答案为：0． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 题型06.列一元一次不等式求最值 【典例】不等式的最大整数解是__________． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 【跟踪专练1】用不等式表示，比x的2倍大1的数不小于x的5倍____． 【答案】 【分析】先表示出比的倍大的数，再表示出的倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：由题意得． 【跟踪专练2】立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分．若某女生的成绩为，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式是解题的关键．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分， 故的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 题型07.一元一次不等式的实际应用 【典例】在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜（    ）场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设这个班要胜场，根据“总得分不低于43分”列不等式，结合场次为正整数即可得到最小胜场数，正确地列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这个班要胜场，则负场， 由题意得， 化简得， 解得， ∵场次为正整数， ∴的最小值为， 即这个班至少要胜8场． 【跟踪专练1】茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 【跟踪专练2】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 题型08.一元一次不等式的几何应用 【典例】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【跟踪专练1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【跟踪专练2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 题型09.求不等式组的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出两个不等式的解集，画出数轴即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∵解集在数轴上表示为： ∴不等式的解集为：． 【跟踪专练1】不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】解：不等式组为， 由①得，，解得， 由②得，， 因此不等式组的解集为． 【跟踪专练2】使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了方程与不等式或不等式组的关系，根据方程与不等式或不等式组的关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 题型10.不等式组整数解问题 【典例】关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 【跟踪专练1】不等式组的整数解为___________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为： 【跟踪专练2】定义：把互不相等的3个正整数 （三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串． 现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作． 下列说法：①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则 或3．②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则 有4种不同的取值．③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数中1，2，3．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立方程或不等式组解题是关键，①根据新定义的含义确定是被替换的数，再建立方程可判断，②分情况讨论：当为最大值时，当5为最大值时，再建立不等式组解题可判断，③举反例当 时，利用新定义进行操作，可判断③，从而可得答案． 【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值， 是被替换的数，即存在 时或时，故①正确； ②当为最大值时，则第一次操作后新数串为：， 经过第二次操作，新数串为1，2，3， 则可知，第二次操作，5被替换，即5为最大数， 或， 解得：， 新数串为，，， 当 或， 当 时，，符合题意； 当 时，，符合题意； 当 或， 当 时，，符合题意； 当 时，，符合题意； ∴当为最大值时，或9或11或13； 当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：， 经过第二次操作后仍然存在2， 或， 当时，或 由得， 为正整数， ， 当 时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1， 1，2，不符合题意； 不符合题意； 不等式组无解； 当时，或， 不等式组无解； 由得：， 为正整数， 或， 当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1， 1，2，不符合题意； 当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意； 综上分析符合题意的的值只有4个，故②正确； ③当 时，第一次操作后新数串为 ， 进行第二次操作后为4，2，5， 进行第三次操作后为 ， 进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意， ∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作， ∴当 时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误； 故选：A． 题型11.由不等式组解集求参数 【典例】已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 【跟踪专练1】关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确确定关于的不等式组是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式有负整数解是，，即可得到一个关于的不等式，即可求得的范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵负整数解是，， ∴ 解得：． 故答案为：． 题型12.由不等式组解集情况求参数 【典例】若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中两个不等式得到x的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式 两边同乘3得， 移项得； 解第二个不等式， 移项得， ∵不等式组无解， ∴可得． 解得， 所以m的取值范围是． 【跟踪专练1】关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据不等式组无解可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的最大整数解为，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，不等式组，求出解集是解答本题的关键． 先解不等式得到 ，再根据最大整数解为建立关于的不等式组，求解即可 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ． ∵ 不等式的最大整数解为， ∴ 解第一个不等式：， 即 ， ∴ ； 解第二个不等式：， 即， ∴ ． ∴的取值范围是： ． 故答案为： ． 题型13.不等式组与方程组结合 【典例】已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 题型14.不等式组的实际应用 【典例】某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 【跟踪专练1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 【跟踪专练2】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 【跟踪专练3】某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【跟踪专练4】某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件；方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件；方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件；选择方案三利润最大，为864元 【分析】（1）根据“购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元”列方程组求解即可； （2）根据“总利润=单件的利润×数量”列式即可； （3）先根据“A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元”列不等式组求出m的取值范围，然后可得满足条件的进货方案，再分别计算出各方案的利润，进而可得答案． 【详解】（1）解：设A种服装的进价是元，B种服装的进价是元， 列方程组得：， 解得， 答：A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元； （2）解：设购进B种服装件，则购进A种服装件， 由题意得； （3）解：购进B种服装件，则购进A种服装件， 根据题意得， 解不等式组得． 因为应该为正整数，所以＝10，11，12，则＝24，26，28， 所以有三种进货方案： 方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件； 方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件； 方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件； 方案一所得利润：元； 方案二所得利润：元； 方案三所得利润：元； 所以应该选择方案三利润最大，为864元． 【跟踪专练5】某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 (1)请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． (2)若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ (3)按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是100元，跳绳的单价是20元 (2)1240元 (3)购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条 【分析】（1）设足球的单价是元，跳绳的单价是元，根据题意列出方程组即可求解； （2）按优惠方式计算即可求解； （3）设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，根据条件可得，由优惠方式可得，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得， 解得． 答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元． （2）解：（元）． 答：优惠后实际只需支付1240元． （3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元， 由题意得，，， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条． 解答题 1．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 2．求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 3．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【答案】(1) 胜一场积3分，负一场积1分 (2) 不能实现，见解析 (3) 至少要胜8场 【分析】（1）任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； （3）任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是24分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：任务一：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意，得， 解得， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）解：任务二：不能实现，理由如下： 设梦想队胜了m场，则负了场， 由题意，得， 解得， ∵2.5不是整数，不符合题意， ∴不能实现； （3）解：任务三：设他们要胜n场，则负场， 由题意，得， 解得， ∵n是整数， ∴n取8． 答：至少胜8场． 4．阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 【答案】或 【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：将不等式，转化为①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解集为或． 5．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题依托新定义考查了解一元一次不等式，不等式组，以及不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义和分类讨论思想的应用． （1）根据题意即可求得“关联不等式”； （2）根据题意先得到“关联不等式”，即可得到“关联不等式组”， 解不等式组即可； （3）先求得“关联不等式组”，再分和，解得不等式组的解，再结合题意列出满足不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式是不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式”为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，不等式的“关联不等式”为 则不等式的“关联不等式组”为， 解得； （3）解：∵不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式组”为， 若，，解得， 若，，解得且， ∵不等式的“关联不等式组”解集是， ∴且， 解得． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $