辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年度第二学期第二次月考答案 一、单选题 1．下列函数中，在区间单调递增，且在定义域内为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数既不是奇函数也不是偶函数，所以B不符合题意； 对于C中，由，根据指数函数的性质，可得函数是非奇非偶函数，所以C不符合题意； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数， 当时，是严格增函数，所以D符合题意．故选：D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以．故选：C． 3．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（   ） A． B． C． D．【答案】A 【详解】事件A包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个， 其中，事件B包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个， 概率.故选：A. 4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 5．已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 6．已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，. 故选：D. 7．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 8．是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 9．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 10．已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D．，使得 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：当增大时，也增大， 所以在上是增函数，故C正确； 对于D：因为，， 当时，，所以， 又，所以，所以； 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误； 故选：ABC. 11．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的BD，错误的是C， 故选：BD． 三、填空题 12．已知函数，则的值等于 ． 【答案】 【详解】因为，则. 故答案为： 13.已知是等差数列的前项和，且满足，，则 ； 【答案】35 【详解】因为是等差数列的前项和，. 则， 化简得， 消元求解得：. 所以. 所以. 故答案为：35. 14．已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数，曲线在处的切线斜率为． (1)求a的值； (2)求在区间上的最值． 【详解】（1）由题意可得，..................................................................................2分 因为，则，解得.............................................4分 （2）由（1）可知，则，，..............................................5分 令，即，解得，..............................................................................6分 当时，，在上单调递减，.................................................8分 当时，，在单调递增，.................................................10分即时，有极小值，且，................................11分 又，， ...................................12分 所以在区间上的最大值为，最小值为.-----------------------------13分 16．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故，.........................................2 所以.......................................................................4 故.........................................................6 （2）因为，...........................................................................8 所以.............................10 =..........................................................................................................12 ，故原不等式成立.......................................15 17．已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性 (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）法一函数为奇函数，所以， 即， 则，即，则，得；.........................................3 法二：或者................................................................不检验扣分 所以， 函数在上为增函数，.....................................................................................................6 （2）不等式恒成立， ，...........................................................................................................7 函数为奇函数， ，........................................................................................................8 函数在上单调递增，则，......................................................................9 即恒成立，.........................................................................................................10 当时，不等式恒成立，满足题意；.......................................................................12 当时，需满足，即，解得；................................................14 综上，实数的取值范围为．...........................................................................................15 18．甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【详解】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，则，，..........................................................................2 设事件为“摸出的球都是红球”，则，， 由全概率公式可得，...............4 整理可得，解得或（舍去），故.............................................6 （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、， 则......................................................................................8 ，，.........................................................................10 ，.........................................................................12 所以，随机变量的分布列如下表所示： . .......................................................................................................................................14 .则.........................................................................................17 19．已知． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，． 【详解】（1）若在上单调递增， 则对恒成立，.................................2 设， 则在上恒成立，所以在上单调递减，...............4 所以只需，即，所以a的取值范围是.....................................6 （2）因为，，.........................................................................7 所以在处切线方程为，..............................................8 根据题意，该切线为，所以，解得，，...............................9 所以，因为，所以，..............................................10 设，则， 因为两个函数均在上单调递增， 所以在上单调递增，...........................................................................................12 因为，， 所以使，所以，即，............................14 当时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增，....................................................15 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以在上成立...........................................................................................17 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度第二学期第二次月考 高二数学试题 命题教师：高一备课组 满分150分时间120分钟 注意事项： 1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码 粘贴在答题卡上指定位置. 2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 3.非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区 域无效 4.画图清晰，并用2B铅笔加深 第缸卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列函数中，在区间(0，+∞)单调递增，且在定义域内为奇函数的是() A.y=Inx B.yx-1川 D.y=-1 x 2.已知a=1og52,b=cos2,c=8,则a,b,c的大小关系正确的是() A.b<c<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b 3.甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府“九一八 纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”， 事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率P(B|A)=() A等 c.3 D. 3-4 4.若函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-o,6)上单调递增，则实数a的取值范围是() a.（名0）B.（名m） c..o D.[a0] 5.已知随机变量X~B(久，Pp),且E(X)-子，则下列说法错误的是() Ap=月 B.D(x)-g c.Gsxs引写D.B2x+- 高二数学学科第二次月考试题第1页共4页 6.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2+x)=∫(-x),若f()=2,则f(7)+f(10)=() A.2 B.1 0.-1 D.-2 7.设函数f(x)满足：x,yeR,都有f(x+y)=f(x)f(y),且f(2)=2.记a.=f(n),则数 列{log2an}的前10项和为（) 5 A.55 B.45 c. 55 D.2 8.f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)为其导函数且f(-1)=0,且x>0时，f'(x)-f(x)<0, 则不等式f(x)>0的解集为() A.(-∞，-1)U(1,+oo) B.（-∞，-1)U(0,1 c.（-1,0)(0,1) D.(-1,0)U(1,+o) 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n,则下列说法正确的是() A.数列{ 为递减数列 B.当且仅当n=5时，Sn取得最大值 C.an=-2n+12 D.{2}是等比数列 10.已知随机变量X服从正态分布N(0,2),定义函数f(x)为X取值不超过x的概率，即 f(x)=P(X≤x),则下列说法正确的有（) Af0-克 B.f)+f(-1)=1 C.f(x)在(-0，+∞)上是增函数 D.3xeR,使得f(2x)=2f(x) 11.已知函数y=e*和y=nx的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则() A.a>b B.a+b=2 C.ab>1 D.a2+b2>2 高二数学学科第二次月考试题第2页共4页 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数f()- o(于一 13已知Sn是等差数列{a.}的前n项和，且满足a2=4,S=22,则S,=一： 14.已知函数f()满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)= 2cosx-1<x≤1 则方程3f(x)=x的 1-x-2,1<x≤3 实数解的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.:已知函数f(x)=e-(a+1)x,曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线斜率为-1. (I)求a的值； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值. 16.已知数列a}中，4=3，马=-15，且数列}为等差数列. (1)求{a}的通项公式： Q记8为数列日}的前项和，正明：8< a. 高二数学学科第二次月考试题第3页共4页 17已知函数)=a2异口e则为音适数 (1)求a并判断f(x)的单调性。 2诺不等式f)+/a-副0恒成立， 求实数k的取值范围， 18.甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有 m(2≤m≤6)个红球，其余都是白球，掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱 中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球，已知掷1次骰 子后，摸出的球都是红球的概率是} (1)求m的值： (2)记摸到红球的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 19.已知f(x)=ae+sinx+b. 诺f()在0习上单调递增，求a的取值范围： (2)若f(x)的图像在(0，f(0)处的切线为y=2x,求a与b的值，并证明x>0时，f(x)>血x. 高二数学学科第亡次月考试题第4页共4页