精品解析：浙江金华市曙光学校2025-2026学年第二学期第一次阶段性考试高一数学试题

金华市曙光学校2025－2026学年第二学期第一次阶段性考试 高一年级数学试题卷 考试时间：120分钟；试卷总分：150分； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（     ） A. B. C. D. 2. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（ ） A. 8人 B. 10人 C. 12人 D. 18人 3. 一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对 4. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是 A. 样本数据分布在的频率为0.32 B. 样本数据分布在的频数为40 C. 样本数据分布在的频数为40 D. 估计总体数据大约有10%分布在 6. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数据，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 若，则数据，，的第80百分位数为15 D. 方差变小 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这次考试的75%分位数为82.4 C. 在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应在中抽取2人 D. 若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人 11. 某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（ ） A. 甲队积分为分的概率为 B. 不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 是虚数单位，若复数z满足，则z等于________． 13. 某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为___________小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表） 14. 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 实数取怎样的值时，复数是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 16. 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率. 18. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 19. 乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. （1）若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； （2）若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2025－2026学年第二学期第一次阶段性考试 高一年级数学试题卷 考试时间：120分钟；试卷总分：150分； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求得虚部即可. 【详解】由题意知：虚部为2. 故选：C. 2. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（ ） A. 8人 B. 10人 C. 12人 D. 18人 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】由题意可得抽取30人中青年员工有， 故选：C 3. 一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答. 【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”， 事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是； 事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确. 故选：B 4. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数减法运算求解，可得复平面对应点的坐标，可得结论. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 5. 容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是 A. 样本数据分布在的频率为0.32 B. 样本数据分布在的频数为40 C. 样本数据分布在的频数为40 D. 估计总体数据大约有10%分布在 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果． 【详解】对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确． 对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确． 对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确. 对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确． 故选D． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点． 6. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 7. 已知数据，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 若，则数据，，的第80百分位数为15 D. 方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】由，可得是以为首项，2为公差的等差数列的前10项， 原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，所以平均数不变，故B正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第80百分位数是，故C错误； 原来的方差为， 去掉后的方差为，方差变小，故D正确. 故选：C. 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这次考试的75%分位数为82.4 C. 在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应在中抽取2人 D. 若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据所有矩形面积和为1求得；对于B：先估计中位数所在的大致区间，再根据75%分位数的求法求解；对于C：计算出成绩在在成绩低于60分和90分及以上的学生中所占的比例，根据分层抽样按比例抽取；对于D：先估计成绩在60分以下的人数再求解. 【详解】对于A：由得，故A错误； 对于B：成绩在时所占的频率为： 成绩在时所占的频率为： 故75%分位数所在区间为，设75%分位数为， 则，解得，故B正确； 对于C：低于60分和90分及以上的学生占的频率为： 成绩在占的频率为 故按分层抽样，应在中抽取的人数为人，故C错误； 对于D：估计该校新生成绩在60以下的人数为 故估计该校新生成绩合格的人数为人，故D正确； 故选：BD 11. 某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（ ） A. 甲队积分为分的概率为 B. 不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；分甲胜乙、甲败乙、甲平乙，三种情况由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断C；分甲得4分和6分两种情况可得D. 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，故B错误； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 甲队胜2场且甲胜乙队2场，甲队胜2场且甲败给乙队或甲队胜2场且甲与乙队平， 则甲队胜2场且乙队胜2场的概率为，故C正确； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ACD． 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 是虚数单位，若复数z满足，则z等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得. 故答案为： 13. 某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为___________小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表） 【答案】4 【解析】 【分析】根据频率和为1求得，再结合平均数的计算公式分析求解. 【详解】由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 可得平均数（小时）， 所以平均使用手机的时间约为4小时. 故答案为：4. 14. 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果 【详解】解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为， 在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为， 所以，以此类推， ， 所以当时，， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第行的概率为，通过分析得到，以此类推，，从而可求得结果，属于较难题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 实数取怎样的值时，复数是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 【答案】（1）或；（2）且；（3）. 【解析】 【分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数. 【详解】（1）若，则为实数，此时或者. （2）若，则为虚数，此时且. （3）若 ，则为纯虚数，此时. 【点睛】对于复数，（1）若，则为实数；（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数，解题中注意合理分类． 16. 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 【答案】（1）0.06 （2）0.56 （3）0.44 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件概率性质,代入即可求解. （2）根据互斥事件概率的求法,,代入即可求解. （3）根据对立事件概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解. 【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立. 由题意知. （1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率. 【答案】（1），平均数74.5，中位数为75； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可求，利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位数. （2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率. 【小问1详解】 由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以，解得. 所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数 . 设这40名学生的竞赛成绩的中位数为， 由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65， 故中位数落在第3组，于是有，解得. 即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75. 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，在区间应抽取5人， 记为a，b，c，d，e，在区间应抽取2人，记为A，B， 从中任取2人的所有可能结果为：，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共21种. 其中至少有一人测试成绩位于区间内有：，，，，，，，，，，，共11种. 所以，至少有一人的测试成绩位于区间内的概率为. 18. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 19. 乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. （1）若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； （2）若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【答案】（1） （2）（i）；（ii），. 【解析】 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【小问1详解】 记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. 【小问2详解】 （i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $