精品解析：四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试卷

字节精准教育联盟·精准备考 市2026年春季学期高2026届期中教学质量调查评估 （2026年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试） 数 学 AI智联·精准备考 考生注意： 1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟. 3.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 又，所以. 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 3. 已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积以及底面积的计算，求得母线长，利用勾股定理求得体高，结合圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】设圆锥的体高为，母线长为，底面半径， 则底面积，侧面积，解得， 易知，所以体积. 故选：A. 4. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为计算即可. 【详解】因为， 则， 则， 所以， 解得. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 6. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以. 故选：A. 7. 函数，是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】由周期公式和奇偶性的定义即可判断. 【详解】由周期公式可得的最小正周期是， 又，是偶函数. 故选：C 8. 已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数函数、幂函数及奇函数的性质确定函数单调性，进而求解不等式. 【详解】函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 而是R上的奇函数，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 当时，，则， 所以时，，则，故时，， 当时，在上单调递增，此时， 综上，函数在上单调递增， 由，得，解得， 所以实数x的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分. 9. 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ） A. 这组数据的众数是3 B. 这组数据的60%分位数是0.5 C. 这组数据的方差大于5 D. 若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，由众数的定义即可判断A，由百分位数的定义即可判断B，由平均数与方差的定义即可判断C，由预测误差以及平均数的性质即可判断D. 【详解】将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3. 对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确； 对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误； 对于C，平均数，方差，故C正确； 对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有两个极值 C. 当时，在上单调递减 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，求导，判断单调性和极值的正负判断；对B，判断的单调性进而判断；对C，结合选项B可判断； 对D，求出图象的对称中心判断. 【详解】对于A，当时，，则， 所以当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，，所以有3个零点，故A正确； 对于B，由，当时，方程的，设其两根为， 易得在和上单调递减，在上单调递增，故在和处分别取到极小值和极 大值，所以有两个极值，故B正确； 对于C，由B，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，因为 ， 所以图象对称中心坐标为，，图象对称中心的横坐标不变，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A、B， 通过坐标替换法（用换、换），判断曲线方程是否不变，进而确定曲线的对称性.选项C， 根据曲线方程中、的非负性，推导得、的取值范围.选项D， 将表示为关于的函数，通过配方求二次函数的最值，判断其最大值是否为2. 【详解】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称， 同理可得，关于轴对称，故AB均正确； 由，得，解得，同理可得，故C正确； 在曲线上，所以， 所以， 当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 12. 在数列中，，其前n项和为，则＝______ 【答案】 【解析】 【详解】由可得数列为等比数列，公比为，首项为,所以 13. 直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，即, 令，得，即, 圆心，，所以，直线经过圆心， , 所以,. 14. 在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值. 【详解】 （当且仅当时取等号）. 令， 故， 因为，且， 故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示： 目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值， 故可得， 又，故可得， 当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 16. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率； （2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果； （2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率． 【小问2详解】 由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 【答案】（1）的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； （2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明； （ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数，再结合切线不等式，化简后问题即可得证. 【小问1详解】 求导得：， 因为，对任意 ，都有， 所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，令 ， 当 时，， 故 在上单调递减， 因为，所以， 又因为，所以在区间内存在零点， 即结合在 上单调递减， 可得在区间内有且仅有1个零点，且； 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以根据单调性可知：， 又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消可得：， 当时，构造函数， 求导得，则在时单调递增， 即，所以， 即可知， 则， 两边取对数得：，即. 19. 已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为． （i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由； （ii）若不在上，记，，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）直线斜率为定值，理由见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （i）根据直线斜率分类讨论，证明直线的斜率为定值；（ii）根据已知条件求得距离，结合不等式得到最大值； 【小问1详解】 方法①：由题意，则，解得， 故双曲线方程为． 方法②：由题意，则， 利用定义：， ，故双曲线方程为． 【小问2详解】 （i）结论：直线斜率为定值，理由如下 讨论：若直线斜率不存在，记， 则，记直线斜率分别为， ，不符合题意，舍去． 故直线斜率存在，设， 代入，整理得， ，则， 记直线斜率分别为， 由 ， 化简得，（不符合题意舍去） 此时，．设直线斜率为，， 故直线斜率为定值． （ii）方法①：由（i）可知，， 直线，记到的距离为， ，又， 同理， 令 （当取等号） （当且仅当取等号） 故最大值为． 方法②：如图，中，利用正弦定理 记分别到直线的距离为， 利用双曲线第二定义，， 由（为倾斜角）， ． （当且仅当时取等号） 故最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 字节精准教育联盟·精准备考 市2026年春季学期高2026届期中教学质量调查评估 （2026年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试） 数 学 AI智联·精准备考 考生注意： 1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟. 3.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数 8. 已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分. 9. 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ） A. 这组数据的众数是3 B. 这组数据的60%分位数是0.5 C. 这组数据的方差大于5 D. 若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有两个极值 C. 当时，在上单调递减 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 12. 在数列中，，其前n项和为，则＝______ 13. 直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 14. 在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______ 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率； （2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 19. 已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点． （1）求的方程； （2）设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为． （i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由； （ii）若不在上，记，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $