精品解析：湖北武汉市常青联合体2025-2026学年高二下学期期中数学试题

高二数学试卷 考试时间：2026年4月16日 试卷满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 3. 有六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球队中的两支，若A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有（ ） A. 144 B. 216 C. 336 D. 360 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则=（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 为调查当前的商品市场价格，国家统计局将5位调查员分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 90 B. 180 C. 30 D. 15 7. 若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 有6个人排成一排，下列说法正确的是（ ） A. 甲乙相邻的排法有240种 B. 甲乙不相邻的排法有144种 C. 甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D. 甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是减函数 C. 对于实数，当时，函数有两个零点 D. 曲线存在与直线垂直的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数极大值点为________． 13. 已知等比数列中，若，则=__________． 14. 有5个不同的人进行传球游戏，一开始球在甲的手中，球从某人传给另外一个人记为一次传球，每次传给不同的人是不同的传球过程，若经过n次传球之后球回到甲的手中（），则有______种传球过程（用n表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数与函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 16. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 17. 已知函数. （1）若在处取得极值，求的极值； （2）若在上的最小值为，求的取值范围. 18. 在数列中，，； （1）求，，的值； （2）设，求证数列是等比数列； （3）求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 19. 已知函数和的图象在处的切线互相垂直. （1）求实数a的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2026年4月16日 试卷满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，令解不等式即可得答案. 【详解】解：因为函数，所以， 令，得，所以的单调增区间为， 故选：C. 2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】＝＝＝1. 故选：A. 3. 有六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球队中的两支，若A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有（ ） A. 144 B. 216 C. 336 D. 360 【答案】B 【解析】 【详解】当六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品时， 不同的发奖方式为种， 当A、B都得奖时，不同的发奖方式为种， 所以A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有种. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，分离参数即可得解. 【详解】在上恒成立，即，所以，则的取值范围是. 故选：B. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则=（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用等比数列的前项和性质得到答案. 【详解】等比数列的前n项和为，则成等比数列， ，即，故，故，故. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的前项和性质，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6. 为调查当前的商品市场价格，国家统计局将5位调查员分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 90 B. 180 C. 30 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】5人按的分组方法数为，再将分成的3组分配到3个地区有种方法， 所以不同的分配方案的种数为. 7. 若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围. 【详解】的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的零点问题转化为的图象的交点问题，画出的图象，分,和结合图象求解即可. 【详解】由题意画出函数的图象， 恰有三个零点转化为的图象恰有三个交点， 当和时，由图可知函数的图象恰有三个交点， 当时，由，得， 所以在处切线斜率为， 设过原点与相切的直线为，切点为， 由，得，则，解得， 由图可知当时，只有时，函数图象有3个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 有6个人排成一排，下列说法正确的是（ ） A. 甲乙相邻的排法有240种 B. 甲乙不相邻的排法有144种 C. 甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D. 甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为甲乙相邻，所以甲乙相邻的排法有种，因此本选项说法正确； 对于B，6个人排成一排，共有种排法， 因为甲乙相邻的排法有240种， 所以甲乙不相邻的排法有种，因此本选项说法不正确； 对于C， 当乙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头，乙不在排尾的排法有种，所以本选项说法正确； 对于D，当乙或丙在排头时，此时排法有种， 当甲，乙，丙都不在排头，此时排法有， 所以甲不在排头并且乙丙相邻的排法有种，所以本选项说法正确. 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数是减函数 C. 对于实数，当时，函数有两个零点 D. 曲线存在与直线垂直的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，用导数判断B，转化为交点问题判断C，排除法判断D即可. 【详解】定义域为， 所以为奇函数，正确； 恒成立，所以函数是增函数，故B错误； 当时，恒成立，所以在上单调递减， 在上单调递增，且， 故当时，与直线有两个交点，故函数有两个零点，C正确； ，且， 所以，故曲线不存在与直线垂直的切线，错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数极大值点为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性即可求解. 【详解】的定义域为：. 由．令，解得． 当变化时，与的变化情况如下表： ＋ 0 － 单调递增 单调递减 因此，极大值点为. 故答案为：. 13. 已知等比数列中，若，则=__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式化简，解方程组得结果 【详解】因为等比数列中通项公式可知，，那么联立方程可知首项为128，公比为， 结合9. 故答案为：9. 14. 有5个不同的人进行传球游戏，一开始球在甲的手中，球从某人传给另外一个人记为一次传球，每次传给不同的人是不同的传球过程，若经过n次传球之后球回到甲的手中（），则有______种传球过程（用n表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排除法列式，再利用构造法求出数列通项即可. 【详解】令经过n次传球之后球回到甲手中的传球过程为种，， 而每次传球有4种方法，则经过n次传球的传球过程有种， 因此经过n次传球之后球不在甲手中的传球过程有种， 由经过n次传球之后球回到甲手中，得第次传球之后球不在甲手中，持球者传给甲， 则，即，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以不同传球过程种数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数与函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得； （2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得. 【小问1详解】 ，，. 在点处的切线方程为：； 【小问2详解】 设曲线与曲线的公切点为， ，， 令，即， 或（舍）， ， ∴所求公切线方程：，即. 16. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设二次函数,根据导函数的表达式,再根据点均在函数的图象上,求出的递推公式； (2)把(1)中的递推关系式代入,根据裂项相消求得,最后解得使对所有都成立的最小正整数. 【小问1详解】 由题意设二次函数，则， 由于，所以，所以， 又因为点均在函数的图像上，所以， 当时，， 当时，，也适合. 所以，. 【小问2详解】 由（1）得 故 随着的增大，单调递增，故 对所有都成立，只要即可，即只要. 故使得对所有都成立的最小正整数. 17. 已知函数. （1）若在处取得极值，求的极值； （2）若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值， （2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ，，. 因为在处取得极值，所以，则. 所以，， 令得或1，列表得 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 . ①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意； ②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，的最小值为，不满足题意； ③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意. 综上可知，实数的取值范围时. 18. 在数列中，，； （1）求，，的值； （2）设，求证数列是等比数列； （3）求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 【答案】（1） （2） 已知，当时，， ， ，即， ， 是首项为3，公比为2的等比数列． （3）； 【解析】 【分析】（1）利用前项和的性质及递推式，运用赋值法计算求解； （2）结合已知条件，利用作差法求出的递推关系，进而证明结论； （3）结合（2）结论，结合等差数列的性质求出，利用递推关系求出． 【小问1详解】 已知， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ， 是以为首项，为公差的等差数列， ， ，成立， ； 已知，把替换为得， ， 当时，，成立， 故． 19. 已知函数和的图象在处的切线互相垂直. （1）求实数a的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1）1 （2） （3）证明如下： 由于， 从而要证，只需， 令，所以， 从而只需证明， 由（2）可知，当时，恒成立， 故取可得恒成立， 令，可得， 所以有， ∴. 【解析】 【分析】（1）由直线垂直以及导数的几何意义可得，利用导数运算即可. （2）将原不等式等价变形，故只需证明恒成立， 构造函数，求导得， 注意到，所以若，则有，满足题意，故由此对分类讨论即可. （3）通过分析发现，要证， 只需，即只需，结合（2）中结论即可得证. 【小问1详解】 由题意， 因为函数和的图象在处的切线互相垂直， 所以，解得，即实数a的值为1. 【小问2详解】 由题意当时，不等式即恒成立， 所以当时，即恒成立， 不妨设，则， 所以，分以下三种情形来讨论， 情形一：当时，有， 即此时在上单调递增， 从而有，满足题意； 情形二：当即时，， 即此时在上单调递增， 从而有，满足题意； 情形三：当即时，不妨令， 解得， 当或时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以当时，单调递减， 从而，但这与恒成立矛盾，不符题意. 综上所述：符合题意的实数m的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，第二问关键是要分析得到恒成立，从而构造函数对分类讨论即可求解；第三问的关键是通过分析得到只需证明，进一步通过换元再利用（2）中结论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $