精品解析：四川省泸州市合江县2026年春期第一次诊断性监测 九年级数学

合江县2026年春期第一次诊断性监测 九年级数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页． 全卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1. ，4，0，四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 4 C. 0 D. 2. 据国家统计局发布数据显示，年我国国内生产总值约为亿元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 某校举行“书香校园”读书活动，随机调查了10名学生一周的课外阅读时间（单位：小时），分别为：3，4，5，5，6，4，5，7，4，6，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. ，5 B. ，4 C. 5，5 D. 5，4 7. 在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）． A. cm B. 2cm C. 2cm D. 1cm 8. 若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 10. 如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 12. 如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 4的算术平方根是__________． 14. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 15. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 16. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，若，则的值为______． 17. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，共82分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中a满足的整数． 20. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率． 21. 为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值； （2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？ 22. 如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732) 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围； （3）求的面积． 24. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2026年春期第一次诊断性监测 九年级数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页． 全卷满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1. ，4，0，四个数中，是无理数的是（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据初中数学中无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对四个数逐一判断即可． 【详解】解：，，都是整数，属于有理数． 是无限不循环小数，属于无理数． 2. 据国家统计局发布数据显示，年我国国内生产总值约为亿元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题，当原数绝对值大于等于10时，为正整数，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将表示为科学记数法时，满足，要使，则小数点向左移动了位， ∴， 即用科学记数法表示为． 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则，对每个选项进行分析判断．本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误． ，故B选项正确． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：B． 5. 实数的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可得出的范围． 【详解】解：∵， ∴实数的值在2和3之间． 6. 某校举行“书香校园”读书活动，随机调查了10名学生一周的课外阅读时间（单位：小时），分别为：3，4，5，5，6，4，5，7，4，6，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. ，5 B. ，4 C. 5，5 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数公式计算平均数，再将数据排序后，按照中位数的定义计算中位数即可． 【详解】解：∵这组数据的总和为 ，数据总个数为 ， ∴平均数为 将这组数据从小到大排序得：， ∵数据总个数为 ，为偶数，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，其中第个数据为，第个数据为， ∴中位数为 因此这组数据的平均数为，中位数为． 7. 在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（　　）． A. cm B. 2cm C. 2cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长 【详解】如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得：AB=8cm，CD=4cm． cm ∵CD⊥AB， ∴CP=CD=2． 根据勾股定理，得 OP=（cm）． 故选A． 8. 若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 9. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得，再 证得是等边三角形，即可求解． 【详解】由折叠可得，， ， 又， ， ， ， 由折叠可得，， ， 是等边三角形， 的周长为， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10. 如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数． 12. 如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键； 由抛物线的开口方向判断的正负，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与的关系；再由与轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断. 【详解】解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意； B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意； C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意； D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意. 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 4的算术平方根是__________． 【答案】 2 【解析】 【详解】解：，则4的算术平方根是． 14. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 15. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，//，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵//， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 16. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出的值检验即可． 【详解】解：∵的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∴． 当时，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，满足题意． 17. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】过作轴，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】过作轴，过作轴于， 则， ∵顶点，分别在反比例函数与的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 三、解答题（共8小题，共82分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、零指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，最后进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中a满足的整数． 【答案】，1或 【解析】 【分析】首先，将括号里面的分式进行通分化简，接着，将括号外面的除法变乘法运算，然后，能进行因式分解的进行因式分解，最后，约分化为最简分式；再根据a满足的整数，且分式要有意义，取得的值进行代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵分式有意义， ∴，，， ∴，，， ∵ 满足的整数， ∴的值可以为0或2， ∴当时，原式， 当时，原式． 20. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率． 【答案】（1）24；150°（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据C班的作品数量即可补全统计图； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套， ∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套， 故C班的扇形的圆心角的度数为150° 故答案为24；150°； （2）∵C班的作品数量为10套， 故补全条形统计图如下： （3）依题意可得到树状图： ∴P（抽取的作品在两个不同班级）=． 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 21. 为了更好治理和净化运河，保护环境，运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值； （2）由于受资金限制，运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元，问每月最多能处理污水多少吨？ 【答案】（1）a=12,b=10; （2）最多能处理污水2000吨 【解析】 【分析】(1)本题等量关系为A型设备的价格-B型设备的价格=2万元，3台B型设备的价格-2台A型设备的价格=6万元．即可列方程组解应用题． (2) 设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，再列出处理污水y吨与购买A型设备x台的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）根据题意，得， 解得； （2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，能处理污水y吨， ∵12x+10（10﹣x）≤110， ∴0≤x≤5且x为整数， ∵y＝220x+180（10﹣x）＝40x+1800， ∴y随x的增大而增大， 当x＝5时，y＝40×5+1800＝2000（吨）， 所以最多能处理污水2000吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的关系是解决问题的关键． 22. 如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732) 【答案】h约为6km. 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值算出AM＝，BM＝h，即可解答 【详解】由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km， 在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝，tanB＝＝1， ∴AM＝，BM＝h， ∵AM+BM＝AB＝10， ∴， 解得：h＝15﹣5≈6； 答：h约为6km. 【点睛】此题考查三角函数的应用，解题关键在于掌握特殊角的三角函数值 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）的面积为8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； 【小问3详解】 解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 24. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，记与交点为，连接，过作于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）的面积的最大值是，此时点坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． 【小问3详解】 解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $