精品解析：重庆市育才中学校2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

高2028届2025—2026学年（下）4月月考 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面消洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，均为非零向量，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间单调递增 11. 已知的面积为24，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径 D. 的内切圆半径 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则的值为______. 13. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 14. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内的三个向量，，，其中. （1）若向量为单位向量，且与方向相同，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. （1）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （2）因为摩天轮的运动具有周期性，所以可以考虑利用三角函数模型（，，）来刻画它的运动规律. 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； （3）若游客甲、乙分别坐在座舱里，且他们之间恰有5个座舱，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值. 19. 如图，已知的内角，，的对边分别为，，，且为边上的中线，，，. （1）求和； （2）已知，分别为边，上的动点. （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）若线段交于，且的面积为面积的一半，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届2025—2026学年（下）4月月考 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面消洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得，所以D正确. 故选：D. 3. 在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 4. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：，  因此此时甲船距离灯塔. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由二倍角公式得， 由诱导公式得. 6. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数图象向左平移个单位长度后的函数解析式，再根据横坐标伸缩变换规律求出横坐标缩短到原来的后的函数解析式. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 ， 再将的图象横坐标缩短为原来的得到的函数图象对应的解析式为 . 7. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为该三角形有两解，所以， 即，所以的取值范围是. 8. 已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据，可知是的奇数倍，由在上单调递减可知，求出的取值个数即可得到的取值个数. 【详解】，, , 在上单调递减, , , 即, ， ， 即周期T有5个不同取值， 所以的取值共有5个， 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，正弦函数的周期，单调性，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，均为非零向量，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律，相等向量的概念及向量垂直的判定逐项判断即可. 【详解】选项A ，左边 ， 右边 ， 等式化简得 ，该式不是对任意非零向量恒成立，因此A错误， 选项B，若且，与可能方向相反，此时，不一定， 因此B错误， 选项C ，对两边平方： ， 化简得，即，因为是非零向量，故，C正确， 选项D ，由得，仅说明，不能推出， 例如满足，但，因此D错误. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过五点作图法可得函数解析式，再通过代入验证判断BC选项，及整体代入判断单调性可得. 【详解】由函数图象及五点作图法可得，，，解得，. 所以函数的最小正周期，所以A正确； 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故B错误； 又因为， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确； 因为，所以，正弦函数在上单调递增， 所以函数在区间单调递增，故D正确； 11. 已知的面积为24，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径 D. 的内切圆半径 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用已知三角函数关系式和推导出三角形形状，并结合面积条件求解三角形三边长度，进而判断各选项的正确性. 【详解】中，，，. 又 . . 即，或或，说明是直角三角形. 又，所以只能是，即. ，. 由正弦定理为外接圆半径，得. ，即，解得. 又，解得或. 的三边长分别为. 选项A：，，，. ，A选项正确. 选项B：，， B选项错误. 选项C：由正弦定理，得，C选项正确. 选项D：根据面积公式有，解得，D选项正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 13. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由投影向量的定义可得，再由向量的数量积计算向量的模可得. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，得. 又因为，所以. , 所以. 14. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角化简求解； （2）建立平面直角坐标系，使用数量积的坐标运算将的最小值转化为一元二次函数的最小值求解. 【详解】在中由正弦定理，， ，，代入上式得： 整理得：， ，两边同除以得， 所以，，， 因为，所以是等边三角形，， 所以， 以所在直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系如图： 则，，，设， ，，， ， 当时，取最小值， 所以的最小值为 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内的三个向量，，，其中. （1）若向量为单位向量，且与方向相同，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量坐标运算，结合单位向量模长为1求解即可； （2）使用垂直的向量数量积为0，数量积的定义求解. 【小问1详解】 设， 因为为单位向量，所以， 解得（负根舍去），所以. 【小问2详解】 由题意知，，，， 即，得， 则， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简解析式，根据解析式可求单调增区间； （2）根据的范围得出的范围，结合图象可得值域. 【小问1详解】 ， 令，可得， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 当时，，令由的图象可得，即的值域为. 17. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）先利用三角形的面积公式，求得，再利用余弦定理，求得，结合求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 可得， 所以， 由正弦定理得，则， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因为的面积为，且， 所以，解得， 又因为，由余弦定理得， 即，所以， 则，可得， 所以的周长为. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. （1）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （2）因为摩天轮的运动具有周期性，所以可以考虑利用三角函数模型（，，）来刻画它的运动规律. 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； （3）若游客甲、乙分别坐在座舱里，且他们之间恰有5个座舱，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）；高度差的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由周期算出转过周，此时游客在摩天轮中心高度，直接取最高点与最低点高度的平均值即可； （2）根据摩天轮的最高点、最低点确定振幅与平衡位置，结合初始位置和周期求出相位与角速度，得到三角函数解析式； （3）先算出座舱夹角得到相位差，写出两人高度表达式，再进一步化简，结合余弦函数的最值求出高度差的最大值. 【小问1详解】 当时，游客甲转了圆周． 摩天轮最高点距离地面高度为，摩天轮最低点距离地面高度为， 则甲的高度刚好为. 【小问2详解】 设，则， 令，，， 又 所以，. 【小问3详解】 摩天轮共60个座舱，相邻座舱中心角为，甲乙之间有5个座舱，因此两人位置的中心角差为 设经过后甲距离地面的高度为， 乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差， 当或时，即或时，， 由于，因此的最大值为， 所以甲乙两人距离地面的高度差最大值为． 19. 如图，已知的内角，，的对边分别为，，，且为边上的中线，，，. （1）求和； （2）已知，分别为边，上的动点. （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）若线段交于，且的面积为面积的一半，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将角转化为边，求出b的值；因为AD是BC边上的中线，在和在中分别利用正弦定理，结合已知​​，求出，即可求出，即得答案；另解：由为边上的中线，得，平方后结合向量数量积的运算可得关于的方程，求出，即可得答案； （2）（ⅰ）利用两角和与差的余弦公式展开化简，再结合正弦定理，即可证明结论； （ⅱ）设，，结合三角形面积公式得到，根据向量的运算，表示出，，再根据数量积的运算可得关于x的表达式，结合x的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，，，即， 则，即，故； ∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得：① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴，即． 另解：由为边上的中线，得， 则, 则， 由，可得，即, 即，即, 即，整理得，解得，或， 由图可知A为锐角，故舍去，则； 【小问2详解】 （ⅰ）若，则 ， 由于，则，即， ， 故， 即； （ⅱ）设，，结合（1）知，，显然， 而的面积为面积的一半，即，则， 设，则， 又共线，即存在，使， 于是，解得，，即， 而，， 因此 ， 又，消去y得， 又，即有， 则，有，从而， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $