精品解析：广东东莞市望牛墩中学2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷

2025-2026 学年第二学期第一次模拟考试 九年级数学试卷 说明： 1 ．全卷共 6 页，考试时间共 120 分钟，满分 120 分． 2 ．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3 ．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用 2B 铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若小明的成绩在原来基础上增加10分记作“分”，则“分”表示他的成绩在原来基础上（ ） A. 增加5分 B. 减少15分 C. 增加15分 D. 减少5分 2. 我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为 10900 米，用科学记数法表示 10900 正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 6. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（ ） A. 8个 B. 16个 C. 25个 D. 30个 8. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分． 11. 若，，则_______． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 已知m 、n 是方程的两个实数根，则________． 14. 如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分． 16. 计算： 17. 如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． （1）求，，的值； （2）请直接写出不等式组的解集． 18. 港珠澳大桥青州航道桥面 B 点高出海平面约 42 米，海底隧道最深处在海平面以下 48米的 A 点，如图，汽车从 B 点沿下坡直线行驶到 A 点，斜坡的坡度（即：坡面的竖直高度与水平宽度 的比），求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到米，参考数据：） 四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分． 19. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：△PCQ∽△RDQ； （2）求BP：PQ：QR的值． 20. 体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 3 8 11 9 n （1） __________，__________ ， ； （2）身高样本数据的中位数所在的范围是 ； （3）已知该校九年级有学生 1240 人，请估计该校九年级学生偏胖的人数； （4）小倩身高，值为 30 ，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克） 21. 某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 （1）请求出抛物线 的解析式； （2）求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 （3）将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分． 22. 旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． （1）【发现问题】如图 1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数． 解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，请完成后面的过程； （2）【类比探究】如图 3 ，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点 P 到三个顶点的距离分别为4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法） （3）【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论． 23. 如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． （1）反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； （2）如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； （3）如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年第二学期第一次模拟考试 九年级数学试卷 说明： 1 ．全卷共 6 页，考试时间共 120 分钟，满分 120 分． 2 ．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3 ．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用 2B 铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若小明的成绩在原来基础上增加10分记作“分”，则“分”表示他的成绩在原来基础上（ ） A. 增加5分 B. 减少15分 C. 增加15分 D. 减少5分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查具有相反意义的量，根据正负数的意义，正数表示增加，负数表示减少． 【详解】解：∵“分”表示增加10分， ∴“分”表示减少5分， 故选：D． 2. 我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为 10900 米，用科学记数法表示 10900 正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示方法为：，其中，为整数，确定与的值即可. 【详解】解：. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，求一个数的立方根，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，符合题意； B．，故该选项计算正确，不合题意； C．，故该选项计算正确，不合题意； D．，故该选项计算正确，不合题意； 故选：A． 4. 由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面观察该几何体，确定其主视图的形状． 【详解】解：主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1， 故选：B． 5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 6. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆锥与扇形的结合，根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长，侧面积即为展开后扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的半径，解题的关键在于理解圆锥周长是扇形弧长，圆锥母线是扇形半径． 【详解】解：∵底面半径为， ∴底面周长 ∴圆锥的母线 故选：A． 7. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（ ） A. 8个 B. 16个 C. 25个 D. 30个 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄球的数量和摸到黄球的频率，列方程求解红球数量即可． 【详解】解：设口袋中有红球个 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 故口袋中大约有红球16个． 故选：B． 8. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找到等量关系是解题的关键． 设剪去的小正方形边长是，则长方形纸盒的底面长为，宽为，根据纸盒的底面(图中阴影部分)面积是列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则长方形纸盒的底面长为，宽为， 依题意，得：． 故选A． 9. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质． 10. 二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分． 11. 若，，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算．利用同底数幂的乘法的逆运算得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：10． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 13. 已知m 、n 是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵m 、n 是方程的两个实数根， ∴． 14. 如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可得，则，结合，可计算出，最后用作差求出． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． （1）求，，的值； （2）请直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）∵正比例函数与过点的一次函数交于点． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）直接根据函数的图象，可得不等式的解集为： 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． 18. 港珠澳大桥青州航道桥面 B 点高出海平面约 42 米，海底隧道最深处在海平面以下 48米的 A 点，如图，汽车从 B 点沿下坡直线行驶到 A 点，斜坡的坡度（即：坡面的竖直高度与水平宽度 的比），求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】根据坡度得到，则可求出，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， ∴， ∴， ∴米， 答：车辆沿路面行驶了米． 四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分． 19. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：△PCQ∽△RDQ； （2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）解：∵， ∴． 又∵． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得，，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，． ∴，． 又∵点是中点， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 20. 体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 3 8 11 9 n （1） __________，__________ ， ； （2）身高样本数据的中位数所在的范围是 ； （3）已知该校九年级有学生 1240 人，请估计该校九年级学生偏胖的人数； （4）小倩身高，值为 30 ，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克） 【答案】（1）10，108，9 （2） （3）279人 （4） 【解析】 【分析】（1）用调查的总人数减去其他三组身高的人数即可求出a的值，用身高为占总人数的比例乘以，即可求出b的值；用样本容量分别减去其他身体属性的人数和肥胖人数n； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可； （4）设小倩体重需要减掉，根据计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，； ，即； ； 【小问2详解】 解：把这40 名学生体检结果的身高按照从矮到高的顺序排列，第20个数据和第21个数据都在的范围内， ∴中位数所在的范围是， 【小问3详解】 解：1240279（人）， 答：估计该校九年级学生偏胖的人数为279人； 【小问4详解】 解：设小倩体重需要减掉， 依题意得：， 解得， ∴她的体重至少需要减掉 答：她的体重至少需要减掉． 21. 某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 （1）请求出抛物线 的解析式； （2）求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 （3）将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2）圆弧 所在圆的半径为 （3）锅盖能正常盖上 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径； （3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上． 【小问1详解】 解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； 【小问3详解】 解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分． 22. 旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． （1）【发现问题】如图 1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数． 解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，请完成后面的过程； （2）【类比探究】如图 3 ，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点 P 到三个顶点的距离分别为4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法） （3）【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1） 如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴以为边构成的三角形即为， ∴以为边构成的三角形的三个内角的度数分别为； （2） 如图所示，即为所求； （3） ，证明如下： 如图所示，将绕点B逆时针旋转60度得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，据此求出和的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）先作，满足，再作等边三角形，连接，以为边作等边，则即为所求；利用可证明，则，而，故即为所求； （3）将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，则是等边三角形，可得，；证明是等边三角形，得到，证明，得到；证明，由勾股定理得，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． （1）反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； （2）如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； （3）如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $