专题24直线与圆必刷题-2026届高考数学三轮冲刺

专题24　直线与圆 题型01 直线的方程 1．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 2．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 3．（2026·天津红桥·一模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断C；利用两条直线重合分析求解D. 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 5．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程表示两条相交直线，则______． 【答案】 【分析】由表示两条直线，可知其判别式应为完全平方式，由此可解. 【详解】因为关于的方程表示两条相交直线， 可将x看作未知数，故 为完全平方式， 再将该式看作为关于y的二次三项式，则为完全平方式， 故，即得. 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 故答案为： 6．（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 7．（25-26高三下·湖南·月考）设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 8．（25-26高三下·山东·月考）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 题型02 圆的方程 9．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 10．（2026高三·全国·专题练习）不经过坐标原点的直线被曲线：截得的弦的长度为，则直线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将曲线化为标准方程求圆心及半径，根据垂径定理求的值，确定直线方程后得到与坐标轴交点，再求三角形外接圆的圆心与半径，从而求出圆的方程. 【详解】由得， 则圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线：的距离， 又直线：被曲线：截得的弦的长度为， 所以，解得或（因直线不经过坐标原点，舍去此解）， 则直线：,易得直线与两坐标轴的交点分别为，， 则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆的圆心为，半径为， 所以外接圆的方程为，即． 11．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为.    13．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 14．（2026·新疆·一模）已知的三个顶点坐标分别为，若以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】计算原点到三角形各顶点的距离，再根据直线与圆的位置关系，结合图象判断各选项中圆与三角形是否存在唯一公共点． 【详解】原点到的距离， 原点到的距离， 原点到的距离， 选项A：直线在直线上，当，即时，直线与圆存在2个交点，与直线相切，存在1个交点，共3个交点，不符合题意，当，即时，圆与点相切，存在1个交点，但，存在2个交点，共3个交点，不合题意故A错误；    选项B：直线在直线上，当，即时，直线与圆相切，存在1个交点，符合题意； 当，即时，圆与点相切，只有一个交点，符合题意，故B正确；    选项C：直线在直线上，当时，即时，直线与圆存在2个交点，不合题意；当，即时，圆与点相切，存在1个交点，但，存在2个交点，共3个交点，故C错误；    选项D：直线在直线上，当时，即时，直线与圆存在2个交点，不合题意；当时，，点在圆内，与圆无交点，不合题意，故D错误．    故选：B． 15．（25-26高三上·河北沧州·月考）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 题型03 直线、圆的位置关系 16．（25-26高三下·北京·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 【答案】1（的任何一个值都行） 【分析】首先分析直线所过的定点，再作出曲线的图象，由题意结合临界情况即可求解. 【详解】直线变形为，所以直线恒过点， 曲线两边平方化简得， 如图，作出曲线的图象， 过点的直线与半圆交于端点时，这时直线与曲线有2个交点，斜率， 直线绕点逆时针旋转到与半圆相切时（不包括相切），都有2个交点， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得：或（舍去）， 所以满足直线与曲线有2个不同交点的的取值范围是. 17．（2026·湖北黄石·一模）若实数满足，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，将原问题转化为直线和圆相切问题，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程求解，即得答案. 【详解】由题意知实数满足，即点在圆上， 则可看作点和点的连线的斜率，设点为P，设， 则，即， 当和圆相切时，k取最大值或最小值； 由圆心到直线的距离为， 得，解得或， 故的最大值是0，最小值是. 18．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 19．（25-26高三下·河北邯郸·月考）（多选）已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，点，，直线方程为，直线交轴于点， 由点为线段的中点，得，由点在圆上， 得，而，解得，因此， 对于A，直线的斜率为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 20．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可. 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 21．（25-26高三上·海南·期末）已知直线与圆交于两点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知为等腰三角形，当底边最小时最小.又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短，进而由余弦定理求出即可. 【详解】由题意作图如下： 可知为等腰三角形，为顶角，当底边最小时最小. 又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短， 此时平行于轴，即圆心到距离为2，， 在中，由余弦定理，， 又，所以. 故选：A 22．（25-26高三下·山东菏泽·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线与两坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】通过构造以点为圆心的辅助圆，然后与已知圆方程相减，即得到直线方程，可得答案. 【详解】已知圆，圆心，半径，点在圆外， ，则切线长， 以为圆心，为半径作辅助圆：， 两圆相交于切点，它们的公共弦即为直线，将两圆方程相减： ， 展开并化简，得：， 此即切点弦的直线方程， 令，得；令，得； 设直线与坐标轴的交点分别为， 因此，和， 直线与坐标轴围成的三角形面积为. 23．（25-26高二下·浙江·月考）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 24．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），如下图， 当圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为3，且， 则直线必在的右下方，且与x轴、y轴的正半轴相交， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 题型04 圆与圆的位置关系 25．（2026·河北保定·一模）（多选）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 26．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 27．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 28．（2026·吉林通化·模拟预测）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 29．（25-26高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据相交圆的性质，结合互相垂直直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】根据相交圆的性质可知直线与直线垂直， 线段的中点在直线上， 所以， 所以线段的中点的坐标为， 则有， 因此. 故选：A 30．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 强化训练 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆：（）与直线：相交于，两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用直线过定点且与轴相切的条件，结合，推出是直径，进而得到直线过圆心，最后利用斜率公式即可得结果. 【详解】由题意可知，直线过点，圆与轴相切于原点，如图， 若，则是圆的直径，即直线过点， 所以，得. 2．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 3．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 4．（2026·四川宜宾·一模）曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】通过令，确定三个交点坐标，再设圆的一般方程，代入三个交点坐标，得到，，进而可求解. 【详解】与轴交点：令，得，设交点为； 与轴交点：令，得，判别式， 有两个不同实根，设交点，共三个不同交点， 设过三点的圆方程为 ， 将代入得：， 将代入， 得， 又， 对应相减得：， 因为，故系数必为0， 得，， 代入，解得， 令代入圆方程得：， 设两根为，由韦达定理：，， 弦长为：， 因此弦长为. 6．（2026·云南曲靖·一模）（多选）已知点，，P是圆上一点，且，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【详解】设点，已知点，，则， ，，化简得 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. ，，即圆的圆心为，半径为2; 点既在圆上，又在圆上，两圆有公共点. 且两圆的圆心距 两圆有公共点，，即，解得或 ，，则，，， 或 对于A，，且，故A错误; 对于B，，故B正确; 对于C，，故C正确; 对于D，，且，故D错误; 7．（2026·湖南衡阳·模拟预测）（多选）已知圆，抛物线的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点时，，直线l与E相交于A，B两点，则（    ） A． B．若，则直线PF与圆C相切 C．若M为C上一点，则的最小值为1 D．存在直线l，使得A，B两点关于对称 【答案】ABD 【分析】根据焦半径公式求得判断A，求出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判断B，设，利用二次函数性质求得最小值为4，进而利用圆的性质求得最小值为判断C，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入求出，与判断D. 【详解】因为当P运动到点时，，所以，故A正确； 抛物线，其焦点， 圆的圆心，半径为， 设，则， 解得，则， 故直线PF的方程为，因为圆心到直线PF的距离为， 所以直线PF与圆C相切，故B正确； 由上可知，，即的最小值为4， 所以的最小值为，故C错误； 假设存在直线l使得A，B两点关于对称， 设直线，，， 由，消去x得，， 则，解得， 又，， 则，解得，符合题意，故D正确． 8．（2026·河北·一模）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 9．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 【答案】 【详解】由已知可得圆心，半径， 因为，是圆的切线，，为切点， 根据切线性质得：，，即， 所以点，在以线段为直径的圆上，即是圆和以为直径的圆的公共弦， 根据两圆公共弦的性质可得：且平分， 又，所以，所以， 在中，，， 设与交点为，在中，， ， 所以. 10．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 11．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 12．（2026·广东惠州·二模）直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 【答案】 【详解】令，得，即, 令，得，即, 圆心，，所以，直线经过圆心， , 所以,. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $专题24直线与圆 题型01直线的方程 1.(2026安微滁州·二模)（多选)己知两条直线x+y-2=0和x-y+4=0(m∈R)交于点M,则() A.直线x-my+4=0必过点(-4,0) B.点M在圆(x+2)+(y-1)=5上 C.点M到直线y=x-3距离最小值为3√2 D.点M的轨迹与圆x2+(y+3=5有三条公切线 2.(2026上海黄浦二模)若直线3x+y-2=0与x-a四y+1=0垂直，则a的值为一· 3.（2026天津红桥.一模)已知直线：a-2)x+3ay=0,l:4-2ax+a+2y+2=0,则“a=2”是“l∥12”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2026四川成都模拟预测)（多选）已知集合A={(x,y)x+ay+2a=0,B={(x,y)ax+ay-1=0,则下列结论 正确的是() A当a-1时，4n8=兮3》 B.a∈R,A≠O C.当且仅当a=1时，A∩B=0 D.3aeR,使得A=B 5.(2025高三全国.专题练习)若关于x,y的方程2x2+kxy+3y2-5y-2=0表示两条相交直线，则k=一， 6.(2026江西宜春.一模)己知直线1的斜率为k,p:k=-1,9:直线1在两坐标轴上的截距相等，则P是9的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.(25-26高三下·湖南·月考)设点A-2,3),B(3,2),若直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点，则实数a的取值 范围是() 45】 C.3'2 54 D.23 8.(25-26高三下山东月考)若直线产+-(a>0,b>0)过点1,1，则a+b+3弘的最小值为（0 a b a A.7 B.19 C.6 3 D.4V5 题型02圆的方程 9.(2026高三下·陕西咸阳.专题练习)若方程x2+y2-4x+2y+m2-2m+5=0表示圆，则整数m的值为() 1/6 A.2 B.1 C.0 D.-1 10.(2026高三全国.专题练习)不经过坐标原点的直线1x+y-m=0被曲线C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦 的长度为2√2，则直线1与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是() A.x2+y2-4x-4y=0 B.x2+y2+4x+4y=0 C.x2+y2+3x+3y=0 D.x2+y2-2x-2y=0 1.(2026上海二模)已知复数：满足：+是实数，则：-2的最小值为 12.(2026辽宁抚顺一模)已知直线1：y=c+2与圆C:x-√3+(y+1)2=12相交于4、B不同两点，劣弧B所 对的圆心角为∠ACB,若∠ACB<2π， 3， 则实数的取值范围为() A.（-5,+o】 B.-5,5jU(3,+0】 √3 D 13.(2026湖北省直辖县级单位模拟预测)若点P(2,1)在圆x2+y2+4x-2y+k-1=0外，则实数k的取值范围为() A.-10,+0B.(-10,6) C.-0,-10 D.（6,+0】 14.(2026新疆一模)己知ABC的三个顶点坐标分别为A-1,3),B(-1,-2),C(4,-2),若以原点为圆心的圆与此三 角形有唯一的公共点，则圆的方程为() A.x2+y2=2或x2+y2=10 B.x2+y2=1或x2+y2=20 C.x2+y2=4或x2+y2=10 D.x2+y2=3或x2+y2=30 15.(25-26高三上河北沧州月考)“a<-22”是“点(0,1在圆x2+y2-a2+8=0外部”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型03直线、圆的位置关系 16.(25-26高三下·北京月考)若直线kx-y+2k-1=0与曲线y=V1-x2有两个不同的交点，则实数k的一个取值 为 (答案不唯一). 2/6 17.(2026湖北黄石一模)若实数x,y满足x2+y2=1,则y的最小值是() x+3 A.0 c D 18.(2026湖南衡阳·二模)已知点P是直线1：x+y+1=0上一点，过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线，切点 分别为A,B,则cos∠APB的最小值为() A.② B.2② 6 3 c D. 19.(25-26高三下·河北邯郸月考)（多选)已知圆C:x2+(y+1)2=2(r>1)与y轴正半轴的交点为A,过点A且斜 率为1的直线1与圆C的另一个交点为B,若AB的中点P恰好落在x轴上，则() A.直线CP的斜率为-1 B.r=2 C.AB =4 D.CP=√2 20.(2026浙江杭州·二模)设直线y=c-k+1与圆x2+y2=4交于M,N两点，则当MN取最小值时，k=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 21.(25-26高三上·海南期末)己知直线：y=+2与圆0：x2+y2=16交于P,Q两点，则∠P00的最小值为() C. D. 22.(25-26高三下·山东菏泽·月考)过点P1,3)作圆C:(x-2)+(y-1=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线 AB与两坐标轴围成的三角形面积为() A. B C. D.1 23.(25-26高二下·浙江·月考)己知圆C:（x-2+(y+1)=9,直线1：x-y+3-2k=0,设P为圆C上的一动 点，则P点到直线的最大距离为() A.4 B.5 C.7 D.13 24.(2026陕西减阳模拟预测)若曲线C:y=√-x2+2x+3上存在两点到直线1：x-V3y-m=0(m>0)的距离为3， 则m的取值范围为() A.[7,9 B.(6,7 c.(5,6 D.(3,5 题型04圆与圆的位置关系 25.(2026河北保定·一模)（多选)圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+9=0的公切线的交点坐标可以是() A.（ B.（-1,2 D.(2-4 3/6 26.(2026山西太原二模)已知圆C,:x2+y2-4y+3=0与圆C,:(x-3)2+(y+2)2=a2(a>0)有且仅有三条公切线， 则a=() A.2 B.3 C.4 D.5 27.(2026河南洛阳·模拟预测)圆x2+y2=20与圆x2+y2-6x-8y+20=0的公共弦长为() A.2 B.4V5 C.2W5 D.4 28.(2026吉林通化模拟预测)（多选)已知圆C:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),则下列说法正确 的有() A.若r=2,则两圆外离 B.若两圆相交，则2<r<8 C.若r=3,则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y-16=0 D.若r=2,则直线3x+4y-15=0为两圆的公切线 29.(25-26高三上·江苏苏州期末)在平面直角坐标系x0y中，己知两圆相交于两点A1,3),B(1,-1),且圆心都在 直线x-2y+c=0上，则t+c的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 30.(24-25高二上·广西百色期末)已知圆0：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2+2x-4y+1=0,则() A.圆O与圆O相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x-y+1=0 C.两圆的公切线段长为3 D.有且仅有一个点P,使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 强化训练 1.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)己知圆C：(x-m)+y2=m2(m≠0)与直线1：y=c+1相交于M, N两点，O为坐标原点，若∠M0N=90°，则() A.mk =1 B.mk=-1 C.m=k D.m=-k 2.(2026河北沧州二模)已知直线4：x+(a+1y-1-a=0,直线☑：（a+1)x-(2a-1)y+a-1=0,则“a=-4” 是“l∥”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4/6 3.(2026湖北二模)己知圆C:(x-2)+(y-2)=8,直线1：x+y=10,过直线1上一动点P作圆C的两条切线， 切点记作A,B,则AB的最小值为() A.26 B.45 C.2vi0 D.4v10 3 3 3 3 4.(2026四川宜宾一模)曲线C:x2+y2=2x+2y是一条形状优美的曲线，若T(a,b)是曲线C上任意一点， 4a+3b-18的最小值为(） 5 A.11-5√2 86 C.11+5√2 D. 5.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)平面直角坐标系x0y中，曲线y=x2+mx-3,m∈R与两坐标轴有三个交点，经过 这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为() A.23 B.4 C.3w2 D.5 6.(2026云南曲靖一模)（多选）已知点A0,-1),B(2,-1),P是圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2-4=0上一点，且 AP.BP=0,则实数a的取值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2026湖南衡阳·模拟预测)（多选）已知圆C:(x-5)+y2=12,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为E 上一动点，当P运动到点(1，)时，PF=2,直线1与E相交于A,B两点，则() A.p=2 B.若PC=4,则直线PF与圆C相切 C.若M为C上一点，则PM的最小值为1 D.存在直线1，使得A,B两点关于x+y-4=0对称 8.(2026河北一模)（多选)已知直线：mx-y+2m+1=0,圆C:x2+y2+2x-3=0,则下列说法正确的是() A.直线1与圆C相交 B.直线1被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为4+2√2 C.若圆C上恰有三个点到直线1的距离等于1，则这样的直线I有两条 D.若P(-5,0),Q(-2,0),M是圆C上任意一点，则MP=2M 9.(2026甘肃张掖模拟预测)已知A是直线1：4x-3y+8=0上一点，过点A作圆C:(x+1)+(y+2)2=1的两条切 线，切点分别为P,Q.若PQ1I,则P⑨= 5/6 10.(2026天津北辰.一模)若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,B,则过A、B及原点O三点的圆的方程 是· 11.(25-26高三下·河北衡水期中)已知直线：x=m(y+2),圆M:(x-1)2+(y-1=4,若圆M截直线1所得两段弧 长之比为2：1，则m= 12.(2026广东惠州二模)直线x-y+4=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与(x+1)2+(y-3)2=2(r>0)交于 C、D两点，AB=21CD|,则r=· 6/6