专题24 数列（压轴）(选择题篇)-2026届高考数学三轮冲刺专项训练

**基本信息** 聚焦数列压轴题，覆盖等差等比综合、通项求和、新定义及跨学科结合，强化逻辑推理与综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比综合|15题|结合性质、最值、存在性判断|从定义推导到性质应用，强化数感与推理意识| |通项与求和|19题|递推关系、求和技巧、不等式证明|由递推求通项，迁移错位相减等方法，培养运算能力| |新定义问题|10题|“加速数列”“期待数列”等抽象情境|通过新情境构建数学模型，发展创新意识与抽象能力| |跨学科结合|14题|与函数、几何、概率等知识融合|体现数学语言表达现实世界，培养应用意识与综合思维|

专题24 数列（压轴） 题型1：数列等差等比综合运用 题型2：数列通项与求和 题型3：数列新定义问题 题型4：数列与其他知识相结合问题 题型1：数列等差等比综合运用 1．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【答案】B 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为 由等差数列性质，，故平均数为 A正确. 选项B，取，数列为项数3的等比数列， 设，，数列的平均数为 B错误. 选项C，由，，等差数列的中位数为， 等比数列的中位数为. 由均值不等式，（），故，C正确. 选项D，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确． 2．（2026·河北沧州·一模）已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，利用偶函数得四零点，从小到大排序，依等差数列公差相等列式，换元运算，解得对数结果. 【详解】函数，定义域为.又， 所以函数为偶函数. 当时，， 令，得，显然，，解得或. 由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为. 因零点成递增等差数列，故排序为， 设公差为，则：，， 即，化简得， 两边同乘得，故. 3．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 4．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 【答案】D 【分析】对于A，不妨设，可知即可判断；对于B，易知公差不符合题意，再推导也不符合题意即可；对于C，若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；对于D，易知为等比数列，，时符合题意． 【详解】对于A，若为常数列，不妨设， 显然，故A不符合题意； 对于B，若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意， 当时，数列单调递增，则， ，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误； 对于C，若为等比数列，设，公比为， 若，则， 解得或（舍去）， 即可能为等比数列，当，时， 对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误； 对于D，由C易知，为等比数列，，时，单调递减， 对任意的正整数i，总有， 即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确． 5．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 6．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 【答案】B 【分析】求出，结合二次函数对称性求解. 【详解】设等比数列{an}的公比为且， ，所以， 所以， 因为关于直线对称，所以， 所以集合 中的元素个数为个 7．（2026·河南郑州·二模）若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用数形结合判断根的分布，再结合对数运算，通过代换变形可求得公比. 【详解】 如图可知：方程的三个根的分布为：， 因此， 再设公比为，则，，由等比中项性质得， 将等式相减得： ， 代入可得： 再代入，可得， 代入，，可得， 解得或（负根舍去），且满足，即公比为. 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 9．（2026·安徽安庆·三模）已知等比数列的公比大于1，，.则下列判断正确的是（   ） A．任意，有 B．数列中，，，则 C．，在区间中项的个数记为，则 D．任意，，则整数的最小值为4 【答案】C 【分析】根据给定条件，列式求出数列的公比及通项公式判断A；利用累加法求出判断B；确定的取值情况求解判断C；构造数列并判断单调性，利用导数证明不等式，再借助对数运算及不等式性质求得即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，则，， 对于A，，A错误； 对于B，，则，即，而， 当时，， ，而满足上式，则，，B错误； 对于C，， ，则 ，C正确； 对于D，令， 由，得，数列单调递增， 而，则当时，， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即当时，，于是， 因此， 则，，所以，D错误. 10．（2026·福建三明·二模）（多选）记为数列的前n项和，已知，则（   ） A．当是等比数列时，且 B．当时， C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列中，第5项的值最大 【答案】ACD 【分析】对A：对参数的取值进行分类讨论，在不同情况下，讨论数列的类型即可判断；对B：求得，即可比较大小，从而进行判断；对C：求得，进而裂项相消法即可求得结果；对D：令，利用作差法判断数列的单调性，进而求得其最大项. 【详解】对A：， 当时，，则时，，又， 所以此时不是等比数列； 当时，，则时，，即，显然不符合题意； 当且时，，解得， 当时，，可得， 此时数列是以为首项，为公比的等比数列， 综上所述：当是等比数列时，且，故A正确； 对于B，当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故B错误； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D：当时，数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 令，则， ， 由二次函数的性质可知在时单调递增， 且当时，，所以数列单调递增， 当时，，所以数列单调递减， 所以在数列中，第5项的值最大，故D正确. 11．（2026·福建·二模）（多选）已知公差为的等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，且，．下列命题正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，集合可能有三个元素 【答案】ACD 【分析】对于选项A，可对与进行分组比较，利用等差数列与等比数列的性质即可； 对于选项B，可以举反例，例如时，进行说明； 对于选项C，与选项A类似，对与进行分组比较，利用等差数列与等比数列的性质即可； 对于选项D，考虑等差数列与等比数列对应的函数交点情况即可. 【详解】对于选项A，当时，， 由，从而，得， ， 而 由得，，从而， 即得，同理，，， 从而，选项A正确； 对于选项B，当时，，此时，，公差，选项B错误； 对于选项C，，， 而 当，，，从而， 即得，同理，，， 从而，选项C正确； 对于选项D，当时，由等差数列对应的是一次函数，等比数列对应的是指数型函数； 如图是数列对应的函数图象(离散的点），是数列对应的函数图象（取奇数）， 是数列对应的函数图象（取偶数）， 图中两个交点分别代表，， 由指数函数的增长性知与在后面还可能有符合条件的交点， 即集合可能有三个元素，选项D正确. 12．（2026·河南·三模）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，所以是数列的第3项， 是数列的第3项，所以，，所以，故A正确. 对于B，当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，，故B正确. 对于C， ， 故C正确. 对于D，由C知， 所以， 故D错误. 13．（2026·河北邢台·二模）（多选）已知数列满足 则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．可能为等比数列 C．若为等差数列，则 D．若，的前n项和为，则 【答案】AD 【分析】根据数列递推关系，写出数列的项找出规律判断A，假设是等比数列，公比为，根据递推关系结合反证法判断B，当为等差数列，设公差为，利用递推关系可得为4的正整数倍判断C，利用放缩法及裂项相消法证明即可判断D. 【详解】对A ，时，， ， ，，，数列为以2为周期的周期数列，所以，故A正确； 假设是等比数列，公比为，则，所以， 即，由代入，可得，即， 由代入可得，把代入， 即，因为，，所以不存在使得，即不可能为等比数列，故B错误； 若为等差数列，设公差为， 则，代入可得， 若对任意，为常数，该常数必为1（由可得）， 此时要求为4的正整数倍，所以 ，所以不能得到，所以C错误； 当时， 所以数列是以1为首项，8为公差的等差数列，所以 ， 所以 ， 当时，， 故， 所以 当时，也成立，综上成立，故D正确. 14．（2026·河北保定·三模）已知从数列中剔除与数列中相同的项后，按从小到大的顺序重新排列得到数列．设数列的前n项和为，若，则n的最大值为________． 【答案】 【分析】分析已知条件得出数列的公共项即为数列的所有项，利用等差数列及等比数列的前项和公式得出和，进而得出，，结合分析得出，进而得出的取值范围及最大值，进而求出n的最大值． 【详解】数列是首项为，公差为的等差数列，数列的项为， 两数列的公共项即为的所有项， 数列的前项和为， 前个公共项的和， 当时，该公共项在的前项和中， 当时，，小于下一个公共项， 前项中仅有个公共项，即为， 对应，； 由题意知，，， 代入得，，即， 解得， ， ， 当时，，； 当时，，， 不合题意； ． 15．（2026·山东威海·二模）已知等差数列的公差为，设，且，则________． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式以及两角和差公式整理可得 ，构建函数，结合函数单调性可得，再利用分组（并项）求和法运算求解. 【详解】因为等差数列的公差为，则，， 又因为， 则， ， ， 则 ， 可得 ， 令，则 ， 因为 ，可知在定义域内单调递增， 且 ，可得， 则， 且 ， 所以. 题型2：数列通项与求和 16．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列递推公式，构造函数，利用导数判断函数的单调性和函数值，从而判断数列的单调性和，判断A，同样通过作差构造函数，利用导数判断 函数的单调性，证明不等式，判断B，根据B的结果，两边取倒数，判断C，并根据累加法判断D. 【详解】，，， 所以在上单调递增，且， 因此，时，， 由，由递推式，得对所有的成立， ， 令，， 恒成立， 所以在单调递减，，因此时，， 即，数列单调递减， 因此，故A错误； B.， 令，， ， 当时，，时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以时，，即，所以，故B错误； C.由两边取倒数，得，即，故C错误； D.由可知，，即， 根据累加法，，故D正确. 17．（2026·江西·模拟预测）对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”.已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（    ） A．111 B．110 C．109 D．108 【答案】C 【分析】先分析取得最大值的条件，再结合题意得到和，最后求出最值即可. 【详解】由题意得，当最小，最大时，取得最大值， 当时，，当时，由题意得， 则，可得 ，， 当时，因为，所以， 由题意得，则，解得， 当时，因为，所以，解得， 因为，所以，可得. 18．（2026·云南昆明·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用取倒数法，结合累加法进行求解即可. 【详解】由， 由， 当时，， 所以， 即， 所以，因此选项C正确，选项A不正确； ， 因为，， 所以数列是单调递减数列， ， 所以数列是递增数列， 因此，所以选项D不正确； 假设， 因为数列是单调递减数列， 所以，因此不成立，假设不成立，选项B不成立. 19．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系得到另一个式子，作差可求出，根据可推出，累乘法可求出数列的通项公式，再通过数列的递推关系得到另一个式子，作商可得到的通项公式，进而求解，要注意所求式子对的限制. 【详解】因为，① 所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，② ①②得，移项得，所以. 由得，解得，所以， 所以， 而也满足上式，所以数列的通项公式为. 因为，③ 所以当时，，④ 由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数， 所以③④得，即. 当时，由得，又所以， 所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，对于任意的使得恒成立，记不超过x的最大整数为，则的最小值为（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 【答案】A 【分析】点满足，根据外切可得等式，求得数列的通项，从而可得数列的通项，利用裂项相消法可得，最后由数列单调性分析和恒成立条件即可求出. 【详解】根据题意，曲线 上的点 满足 ； 因为圆 与轴相切，圆心纵坐标为，故半径 ； 圆与的圆心距，半径之和为 ， 因为圆与外切，所以， 化简得：， 将 代入上式可得：， 又因为 ，所以，即 ， 所以数列为等差数列，首项： ，公差； 通项：，所以 所以， ，随 增大递增，极限为 ，即 对所有 成立； 要使 恒成立，需 ，即 ，故的最小值为506. 21．（2026·江西·二模）在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】由递推公式两边同时除以，再由等差数列的基本量法求出，再由累乘法得到，最后利用裂项相消法可得. 【详解】由，得， 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，又，所以， 所以当时， ， 又，也符合上式，故， 则， 所以， 由，得，所以，解得， 所以正整数n的最大值为22． 22．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（    ） A．1 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】通过裂项相消法建立的关系，利用递推式发现数列以6为周期，计算周期和并结合建立方程求解. 【详解】因为 ，所以； 令，则，因为，即， 所以，，，，，，，， 所以数列是以6为周期的数列， 且当时，， 因为， 所以， 解得，所以. 23．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 24．（2026·重庆·模拟预测）（多选）设无穷数列的前项和为，且对于任意，，则（    ） A．存在，使得是常数列 B．任意，不是递增数列 C．存在，使得是周期数列 D．任意，既有最大值，又有最小值． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列； 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 令，则，此时，无最大和最小项，故D错误. 25．（2026·山东滨州·二模）（多选）已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得是常数列 B．任意，有最大项，无最小项 C．存在，使得是周期数列 D．任意，不是递增数列 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 且，，所以数列是递减数列， 所以数列有最大项为，没有最小项，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，D正确； 26．（2026·安徽马鞍山·二模）（多选）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 【答案】ACD 【分析】A选项，变形得到，得到通项公式；B选项，，B错误；C选项，错位相减法求和得到C正确；D选项，变形后，分为奇数和偶数两种情况，得到，解不等式，得到答案 【详解】A选项，，即， 故， 又，故，所以，A正确； B选项，， 显然，，，的最大项不为，B错误； C选项，，则①， ②， 式子①-②得， 所以，C正确； D选项，， ， 若为偶数，则， ，即，解得且为偶数， 故且为偶数， 若为奇数，则， ，即，解得且为奇数， 故且为奇数， 综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确. 28．（2026·湖北黄石·模拟预测）（多选）设数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，， 因为，根据二次函数的性质，所以， 所以，故A正确； 对于B， ， 所以，，， ，， 所以，故B正确； 对于C，， ，，累乘可得 ， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 29．（2026·陕西榆林·三模）（多选）在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C．若对任意，都有，则的取值范围是 D．，使得 【答案】ABC 【分析】根据题意可得，进而可得，再求即可判断A；作商判断数列的单调性即可判断B；分为偶数和为奇数讨论求的范围即可；利用裂项相消法求，设，利用导数可证得即可判断D． 【详解】对于A，因为，所以， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，故A正确； 对于B，由于．故，因此是递增数列，故B正确； 对于C，由可得． 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故； 当为奇数时，则恒成立， 由于单调递增，故，则得． 故对任意，都有，则，故C正确； 对于D，因为， 所以， 令，所以， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，即，故D错误． 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 【答案】1 【分析】先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】，，知. 由，且，知数列单调递增， 由，知， 得，所以， ， 由数列单调递增，，，得，， 得到，， 则的整数部分为1. 31．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据数列的通项公式，判断出数列为严格递减数列，进而确定集合的所有非空子集中的最小元素及其个数，从而利用等差乘以等比数列求和的方法，求出，最后求出实数的取值范围. 【详解】解：因为，所以数列为递减数列， 则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素， 所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集）， 因此，又，所以. 因为①， 所以②， ①②错位相减得， 化简得，所以， 易知当时，，则，所以， 所以，即实数的取值范围为. 32．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可得，进而得，利用累加法即可求解. 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 33．（2026·福建龙岩·三模）已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 【答案】5 【分析】根据题意，利用通项与前项和关系求出，，则，令，则，根据求出答案. 【详解】解：当时，，即， 当时，， 所以，对成立，故． 此时． 又因为时，， 当时，，对成立， 故 此时， 令， 得，而，所以， 则，所以当时，，当时，， 即奇数项中，最小，而， 故数列的最小项为，则当取得最小值时，． 34．（2026·河北沧州·模拟预测）在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先利用累加法结合等比数列求和求出数列的通项公式，再将一元二次不等式因式分解，结合数列的奇偶项单调性，确定不等式对任意恒成立时的取值范围. 【详解】根据题意，， 即，当时，，符合上式， 所以， 因为，整理可得， 所以 当为奇数时，单调递减且，最大值为；当为偶数时，单调递增且，最小值为， 所以. 题型3：数列新定义问题 35．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 36．（2026·北京密云·一模）任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由，，解得； 由，解得； 由，解得或； 由，解得或； 由，解得或或； 由，解得或或或； 由，或或或或或， 所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素. 37．（2026·山东济南·三模）（多选）若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（   ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据数列新定义分析各选项，A中是直接写出符合题意的新数列进行判断，BC是结合系数及新数列的特征确定的位置然后求和判断，D是根据新数列的定义确定最后一项的取值进行分析判断. 【详解】对A，就是3个1和3个，要满足，第一个是1，最后一个一定是，因此数列有：；；；；共5个，A错 对B，若，即有个1和个，要使得取最大值，系数大的尽可能取1， 因为对任意，都有， 所以，当数列取时，的值最大， 此时最大值为，B正确； 对C，若，即有个1和个，要使得取最小值，系数大的尽可能取， 数列取时，满足对任意都有， 此时系数较大的后m项都取，则的最小值为 ，，C正确； 对D，对数列，由于，所以， 所以，所以数列中，可以是1也可以是， 若，则是数列， 若，则是数列， 所以，D正确. 38．（2026·浙江宁波·三模）（多选）已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（        ） A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 【答案】AD 【分析】对于A：根据“绝对数列”的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据“绝对数列”的定义举例说明即可. 【详解】A选项，因为，可知是以为首项，公差为的等差数列， 则， 取，所以为“绝对数列”，故A选项正确； B选项：由A选项，取， 不妨取，此时的前项和， 取，则，可知是“绝对数列”. 但，其前项和是单调递增的，故不是“绝对数列”，B选项错误. C选项：因为等比数列为“绝对数列”，取，此时， 即，解得， 此时也满足条件，故C选项错误. D选项：取，此时的前项和为， 取，此时,即均为“绝对数列”. ，其前项和， 取，此时，即为“绝对数列”. 则，其前项分别为， 设的前项和为，由，可知也为“绝对数列”，综上，故D选项正确. 39．（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 【答案】BCD 【分析】对选项A：设公差不为0的等差数列，写出相邻项差的绝对值的前项和表达式，因为公差非零，所以判断该和是否能被常数约束；对选项B：写出等比数列相邻项差的绝对值的前项和，可利用等比数列求和公式判断该和是否有上界；对选项C：由具有性质，得到 ，将其转化为相邻项差的绝对值的和的形式，判断是否满足性质；对选项D：利用性质的定义，结合不等式的放缩法则，判断相邻项差的绝对值的前项和是否有上界. 【详解】设，，​ 对于A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ， 当时， ，不存在满足条件的，A错误； 对于B：等比数列的通项公式为， ，则： ， ，​ 右侧为常数，取即满足条件，B正确； 对于C：若 具有性质，则存在，对任意有，， 对由三角不等式放缩： ， 存在常数 满足条件，C正确； 对于D：若 都具有性质，则二者一定有界： ， （为常数）， 对 的差放缩 ， 求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确. 40．（2026·陕西商洛·二模）（多选）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．对任意的，都有 D．若，则（） 【答案】ACD 【分析】利用已知递推式，结合“调和数列”定义判断选项A；利用已知递推式，结合已知条件判断选项B；利用等差数列性质结合均值不等式判断选项C；构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，结合已知条件求解． 【详解】已知各项均为正数的数列满足， ， 数列是“调和数列”，故A正确； 若满足各项均为正数，且， 但是递减数列，故B错误； 已知为等差数列，故， ， 当且仅当时取等号，故C正确； 若，则，故， 令，求导得， ，解得，，结合得， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 即在时恒成立， （）， 即，即，即， ，故D正确． 41．（2026·江苏·二模）（多选）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②；则下列说法正确的是（    ） A．若等比数列为的“期待数列”，则公比 B．若等差数列既是的“期待数列”又是递增数列，则公差 C．记阶“期待数列”的前项和为，则 D．若存在，使得阶“期待数列”的前项和，则数列总不能为阶“期待数列” 【答案】ACD 【分析】由阶“期待数列”定义，当，结合已知条件①求得等比数列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以，判断A；设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前项和为求出首项，则等差数列的通项公式，判断B；由阶“期待数列”前项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为，所有负项的和为，判断C；借助于C中结论知，数列的前项和为，且满足，再由，得到，从而说明与不能同时成立，判断D． 【详解】对于A，若，则由①， 由，所以，得， 由②得或,满足题意， 若，由①得,，得，与选项为等比数列矛盾， 综上所述，故A正确； 对于B，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 因为，所以由，得， 由题中的①、②得，， 两式相减得, 即，故B错误； 对于C，记中非负项和为,负项和为， 则，得， 因为，所以，故C正确； 对于D，若存在，使，由前面的证明过程知： ，且， 记数列的前项和为，若为阶“期待数列”， 则由C知，，所以， 因为，所以， 所以，， 又, 则， 所以， 所以与不能同时成立， 所以对于有穷数列,若存在，使， 则数列不能为阶“期待数列”，故D正确． 42．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【分析】由题意可得．根据，先确定等差数列的首项为，再利用相邻两项与在中的间隔数为，推出在内恰有个等差数列的项，从而确定等差数列的公差为，进而得到，最后求前项和． 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 43．（2026·北京·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘再加上；若是偶数，则将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有___________ ①若，则使得需要步“雹程”； ②若，则； ③若，则数列的前项和为; ④若，则m的所有可能取值之和为. 【答案】①②④ 【分析】对①直接根据“冰雹猜想”的递推关系进行推理可得；对②由“冰雹猜想”的递推关系可得数列的一个周期为，进而可得；对③同样可得数列是周期为，从而可得前的和；对④由进行反向推理，分别判断、、、、可得. 【详解】对于①：当时，根据上述运算法则得出， 则使得需要步“雹程”，①正确． 对于②：当时，，，，，， 则数列是周期为的周期数列，因为，故，②正确； 对于③：当时，，，，，， 则数列是周期为的周期数列， 故数列的前项和为，③错误； 对于④：当时，则或， 当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或； 当时，则，进一步可得或，所以或， 所以或或或，即或或或. 所以的所有可能取值之和为，故④正确． 44．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 【答案】 【分析】根据已知可得的关系，推出是等比数列，从而可得，由的关系，推出是等比数列，即可求解. 【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为，因此， 所以，因为， 所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，即； 设第n次扩充后数列的各项为， 则． 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以 ， 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故， 综上，，. 【点睛】关键点点睛：由第次扩充到第次扩充所增加的项，得到的关系和的关系，转化成数列递推求通项的问题. 题型4：数列与其他知识相结合问题 45．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 【答案】D 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 46．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点与圆的位置关系，可知点在圆内，得到最长弦长和最短弦长，再根据等差数列的定义，分别求出公差，即可求出其范围. 【详解】由题意知，圆C的圆心为，半径为5，圆心C到点的距离为4，所以点在圆内． 圆中最长的弦为圆的直径，长度为10； 当与弦垂直时弦长最短，其长为， 所以弦长的取值范围为. 当，时，； 当，时，； 因此，公差d的取值范围为． 47．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可求出的值，然后令，可得出的表达式，令，利用错位相减法求出，计算可得，结合数列的单调性可得结果. 【详解】令可得，即， 因为，则， 令，，则， 即，故， 所以， 令①， 则②， ①②可得 ， 所以， 当时，，则数列为单调递增数列， 因为，，则， 故满足不等式的正整数的最小值为. 48．（2026·青海西宁·二模）已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可． 【详解】曲线：，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 因为， 所以在圆内，且， 所以过点的最短弦，最长弦， 从而公差， 又因为数列是递增的，所以， 所以公差的取值范围是． 49．（2026·吉林延边·三模）已知锐角的内角所对的边分别是，若角成等差数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，化简，再由为锐角三角形，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】因为成等差数列，可得， 又因为，可得，可得，且， 则， 因为为锐角三角形，所以，可得， 则，可得，则 所以的取值范围为. 50．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 51．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题设条件，结合直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系得到，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求得，转化问题为恒成立，设，进而分析数列的单调性即可求解. 【详解】由点在函数的图象上， 得， 而与y轴相切，则的半径， 同理可得，，的半径， 由于与外切，所以， 则， 即， 则， 因为，所以，则， 又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，即， 由，则，即恒成立， 设，则， 所以， 因为函数在上为减函数， 且时，，时，，则时，，即， 则， 则的最大项为， 即，解得. 52．（2026·河南濮阳·二模）（多选）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 【答案】AC 【分析】由题意可得，计算可判断A；由题意得，求解判断B；若时，可得，求解计算可判断CD. 【详解】因为定义在上的函数满足：，且， 所以，所以， 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以， 若，得，解得，又，不存在的值， 所以不存在，使得，故B错误； 当时，由，得，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的第一个极小值点. 若时，则， 则， 所以，， 所以，即 递推得， 求导得， 令，可得，解得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的第个极小值点为， 所以，即，故C正确； 所以第个极小值为 当时，极小值，故D错误. 【点睛】 53．（2026·浙江绍兴·模拟预测）（多选）已知抛物线是上一点，按如下规则构造点列：过点作斜率为1的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点．记的面积为，下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为0 B．点列的纵坐标构成等差数列 C．直线与轴交点为定点 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，易知的直线方程为，联立，得， 故，故正确； 对于B，设，则直线，与抛物线联立得， 故直线，与抛物线联立得，故B正确； 对于C，，故直线， 令，则易求得不为定值，故错误； 对于D，选项C中直线，令，则， 则，故D正确； 54．（2026·福建漳州·三模）（多选）已知曲线在处的切线与轴，轴分别交于点，，记，其中为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义，求得曲线在处的切线方程，根据方程求出点，的坐标，从而得到，判断A；构造函数，利用导数分析其单调性，得到其最值，判断B；因为当时，，由此得，利用裂项相消法求得判断C；利用指对运算，进行函数同构，并结合函数的单调性可判断D. 【详解】由，得. 所以曲线在处的切线方程为． 令，得；令，得．因此，，所以．故选项A正确． 令，则． 当时，单调递减；当时，单调递增．因此， 所以不能恒成立，即不恒成立． 因此不能恒成立，即不恒成立．故选项B错误． 因为当时，，所以， 所以，所以． 因此．故选项C正确． 因为，即， 等价于． 令，则． 因为，所以在上单调递增， 又，且单调递增，所以， 所以，所以，即，故. 又因为，所以，所以．故选项D正确． 55．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，圆心为的三个两两外切的圆均与直线相切，其中圆的半径为，三个圆的半径大小成等比数列，则的面积大小为_______. 【答案】2 【详解】设圆，圆的半径分别为，由三个圆的半径大小成等比数列，得， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 依题意，， 同理，由，得， . 56．（2026·浙江宁波·三模）甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 【答案】 【分析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解. 【详解】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则， 若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中， 概率为（甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为）； 次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中， 概率为（乙共3个球，拿出黑球的概率为）； 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故． 57．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【答案】 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算；分析与的递推关系建立递推式，通过构造等比数列的方法求解通项公式，进而代入计算. 【详解】每次抛骰子，事件发生的概率，不发生的概率为； 抛2次，发生奇数次即恰好发生1次，由二项分布概率公式：， 次中发生奇数次，可分为两种情况：①    前次发生偶数次，第次发生； ②    前次发生奇数次，第次不发生， 因此：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 58．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据题意有当和均取得最小值时，有最小值，不妨取，可得，，运算得解. 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 数列（压轴） 题型1：数列等差等比综合运用 题型2：数列通项与求和 题型3：数列新定义问题 题型4：数列与其他知识相结合问题 题型1：数列等差等比综合运用 1．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 2．（2026·河北沧州·一模）已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 4．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 5．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 6．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（   ） A．13 B．17 C．18 D．20 7．（2026·河南郑州·二模）若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．（2026·安徽安庆·三模）已知等比数列的公比大于1，，.则下列判断正确的是（   ） A．任意，有 B．数列中，，，则 C．，在区间中项的个数记为，则 D．任意，，则整数的最小值为4 10．（2026·福建三明·二模）（多选）记为数列的前n项和，已知，则（   ） A．当是等比数列时，且 B．当时， C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列中，第5项的值最大 11．（2026·福建·二模）（多选）已知公差为的等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，且，．下列命题正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，集合可能有三个元素 12．（2026·河南·三模）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·河北邢台·二模）（多选）已知数列满足 则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．可能为等比数列 C．若为等差数列，则 D．若，的前n项和为，则 14．（2026·河北保定·三模）已知从数列中剔除与数列中相同的项后，按从小到大的顺序重新排列得到数列．设数列的前n项和为，若，则n的最大值为________． 15．（2026·山东威海·二模）已知等差数列的公差为，设，且，则________． 题型2：数列通项与求和 16．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·江西·模拟预测）对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”.已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（    ） A．111 B．110 C．109 D．108 18．（2026·云南昆明·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·安徽合肥·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，…．对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切．若，且，记数列的前项的和为，对于任意的使得恒成立，记不超过x的最大整数为，则的最小值为（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 21．（2026·江西·二模）在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 22．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（    ） A．1 B． C．6 D． 23．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 24．（2026·重庆·模拟预测）（多选）设无穷数列的前项和为，且对于任意，，则（    ） A．存在，使得是常数列 B．任意，不是递增数列 C．存在，使得是周期数列 D．任意，既有最大值，又有最小值． 25．（2026·山东滨州·二模）（多选）已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得是常数列 B．任意，有最大项，无最小项 C．存在，使得是周期数列 D．任意，不是递增数列 26．（2026·安徽马鞍山·二模）（多选）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 28．（2026·湖北黄石·模拟预测）（多选）设数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·陕西榆林·三模）（多选）在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C．若对任意，都有，则的取值范围是 D．，使得 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 31．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 32．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 33．（2026·福建龙岩·三模）已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 34．（2026·河北沧州·模拟预测）在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 题型3：数列新定义问题 35．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 36．（2026·北京密云·一模）任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 37．（2026·山东济南·三模）（多选）若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（   ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为 D．若，则 38．（2026·浙江宁波·三模）（多选）已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（        ） A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 39．（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 40．（2026·陕西商洛·二模）（多选）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．对任意的，都有 D．若，则（） 41．（2026·江苏·二模）（多选）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②；则下列说法正确的是（    ） A．若等比数列为的“期待数列”，则公比 B．若等差数列既是的“期待数列”又是递增数列，则公差 C．记阶“期待数列”的前项和为，则 D．若存在，使得阶“期待数列”的前项和，则数列总不能为阶“期待数列” 42．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 43．（2026·北京·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘再加上；若是偶数，则将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有___________ ①若，则使得需要步“雹程”； ②若，则； ③若，则数列的前项和为; ④若，则m的所有可能取值之和为. 44．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 题型4：数列与其他知识相结合问题 45．（2026·山东青岛·二模）设随机变量的分布列为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 46．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·青海西宁·二模）已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（2026·吉林延边·三模）已知锐角的内角所对的边分别是，若角成等差数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 51．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 52．（2026·河南濮阳·二模）（多选）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 53．（2026·浙江绍兴·模拟预测）（多选）已知抛物线是上一点，按如下规则构造点列：过点作斜率为1的直线交于点，再过点作斜率为的直线交于点．记的面积为，下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为0 B．点列的纵坐标构成等差数列 C．直线与轴交点为定点 D． 54．（2026·福建漳州·三模）（多选）已知曲线在处的切线与轴，轴分别交于点，，记，其中为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 55．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，圆心为的三个两两外切的圆均与直线相切，其中圆的半径为，三个圆的半径大小成等比数列，则的面积大小为_______. 56．（2026·浙江宁波·三模）甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 57．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 58．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $