数学臻选 期中提分特训9《因式分解》专题2025-2026学年苏科版八年级数学下册（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训9 《因式分解》专题（盐城专版） 1． 思维导图 2． 知识梳理 ( 一、因式分解的概念 1.把一个____化成几个____的____的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.因式分解与____是互为逆变形的运算。 3.因式分解的结果必须是几个____的乘积，且每个因式都不能再分解，即分解要____。 二、因式分解的方法 （一）提公因式法 1.公因式：多项式各项都含有的____，叫做这个多项式各项的公因式。 2.确定公因式的方法：系数取各项系数的____，字母取各项都含有的____，指数取相同字母的____。 3.提公因式法步骤：先找____，再将多项式除以公因式，把商写在____内，即ma+mb+mc=____。 4.若多项式首项系数为负数，需先提取____，使括号内首项系数为正。 （二）公式法 1.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的积，即a 2 -b 2 =____。 2.完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的____（或____）的平方，即a 2 +2ab+b 2 =_________，a 2 -2ab+b 2 =___________。 （三）配方法 1.配方法分解因式，主要针对____（形如ax^2+bx+c，a ≠ 0），通过添加一项、减去同一项，将多项式中含字母的部分配成____。 2.配方法步骤：先对二次三项式配方转化为____形式，再利用____公式继续分解因式。 三、因式分解的应用 1.利用因式分解进行有理数的____，简化计算过程。 2.对已知代数式进行____，再代入数值求解，简化代数式求值运算。 3.用于分式的____、通分，简化分式运算。 4.解一元二次方程、一元高次方程，以及解决____中的边长、面积等计算问题。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、因式分解的概念 1.   命题形式：多以选择题、判断题形式考查，属于基础送分考点，偶尔在填空题中辨析变形是否为因式分解。 2.   考查重点：判断代数式变形是否属于因式分解，区分因式分解与整式乘法；理解因式分解 “ 多项式化为几个整式乘积 ” 的核心定义。 ) ( 3.   易错考法：设置混淆项，如变形结果为分式、和差形式，或分解不彻底的式子，考查概念辨析能力。 【应对策略】 （1）牢记因式分解核心判定标准： ① 对象是多项式； ② 结果是几个整式的积； ③ 与整式乘法互为逆运算，二者变形方向相反。 （2）解题时逐一排查选项：先看结果是否为乘积形式，再看每个因式是否为整式，最后检查是否分解到不能再分解，快速排除错误选项。 （3）整理易混淆变形例题，针对性辨析，避免概念理解偏差。 考向二、因式分解的方法 （一）提公因式法 1.   命题形式：单独考查以填空题、简单解答题为主，也常作为因式分解的第一步，与公式法、配方法结合考查。 2.   考查重点：准确找出多项式的公因式，正确提取公因式；注意首项为负时提取负号、整体公因式（如多项式形式公因式）的提取。 3.   易错点：漏提系数最大公约数、相同字母最低次幂，提取公因式后漏写项数，忽略整体公因式。 【应对策略】 （1）掌握公因式确定口诀：系数取最大公约数，字母取相同最低次幂，整体因式别忘记。 （2）规范解题步骤：先找公因式，再逐项相除写结果，提取后检查括号内项数与原多项式一致，首项负号提前提。 （3）针对整体公因式题型专项练习，强化整体代换思想。 （二）公式法 1.   命题形式：中考核心考点，单选、填空、解答题均会出现，常与提公因式法综合考查。 2.   考查重点：平方差公式、完全平方公式的直接套用；判断多项式是否符合公式结构，熟练进行公式变形分解。 3.   命题趋势：多考查需先提公因式、再用公式法的两步分解题，单纯套公式的基础题占比减少。 【应对策略】 （1）   熟记两个核心公式结构，标注公式特征：平方差公式是二项式、平方异号；完全平方公式是三项式、首尾平方和，中间积的2倍。 （2）解题遵循 “ 先提公因式，再套公式 ” 原则，分解后检查是否彻底，杜绝分解不完全。 （3）归类整理公式变形题型，如符号变形、系数变形、整体公式变形，总结解题规律。 （三）配方法 1.   命题形式：中档难度考点，多以解答题形式考查，常针对二次三项式分解因式，也为后续一元二次方程学习铺垫。 2.   考查重点：二次三项式配方变形，将多项式转化为完全平方式，再结合平方差公式完成分解。 3.   易错点：配方时添加常数项后忘记减去相同项，导致变形不等价。 【应对策略】 （1）牢记配方法核心：加一次项系数一半的平方，再减去该数，保证变形前后代数式值不变。 （2）规范解题步骤：整理二次三项式 → 提取二次项系数 → 配方凑完全平方式 → 转化为平方差形式 → 彻底分解。 （3）重点练习二次项系数为1和不为1的两类配方题型，熟练掌握变形技巧。 考向三、因式分解的应用 1.命题形式：综合性考点，以解答题、计算题为主，渗透在代数式求值、简便运算、方程求解、几何计算中。 2.考查重点：利用因式分解进行有理数简便计算；代数式化简求值；分式约分、解方程；解决几何图形面积、边长计算问题。 3.命题特点：题型灵活，注重知识综合运用，是中考中档题的常见考查形式。 ) ( 【应对策略】 （1）建立 “ 因式分解是工具 ” 的思想，遇到复杂计算、代数式求值、高次方程，优先考虑因式分解简化运算。 （2）简便运算：找准数字规律，构造公因式或公式形式，利用分解结果快速计算。 （3）代数式求值：先对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件，避免直接代入的复杂计算。 （4）几何应用：结合图形面积、边长公式，列代数式后因式分解，求解未知量，注意几何量取值为正。 ) 四．强化基础 （一）选择题 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1） 2．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（　　） A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6 3．先观察下列各式：①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…下列选项成立的是（　　） A．n2﹣（n﹣1）2=4n B．（n+1）2﹣n2=4（n+1） C．（n+2）2﹣n2=4（n+1） D．（n+2）2﹣n2=4（n﹣1） 4.对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(   ) A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（　　）。 A．4x2﹣1 B．x2﹣2x﹣1 C．4x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1 6．下列因式分解正确的是（　　） A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 7．将下列各式分解因式，结果中不含x﹣1的是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣x 8．多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 9．已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 （二）填空题 11．因式分解：8a3﹣2ab2=　　． 12．分解因式：2x3﹣6x2+4x=　　． 13．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　． 14．若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为　　． 15．分解因式：2x3+4x2+2x＝　 16．若a+b＝8，ab＝15，则a2+ab+b2＝　 　 17．若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为　 　。 18．已知x﹣y＝，xy＝4，则xy2﹣x2y＝　 　。 19．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　 20．大长方形中放入5张长为a，宽为b的相同的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为 　 （三）解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 23．阅读下面材料完成分解因式 x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q） 这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例：把x2+3x+2分解因式 分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2， 这是一个x2+（p+q）x+pq型式子． 解：x2+3x+2=（x+1）（x+2） 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式： ①x2+7x+10；②2y2﹣14y+24． 24．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”。 （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 25．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2。 （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 26．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：x2﹣12x+2026的最小值． 解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2026＝（x﹣6）2+1990 ∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1990． 例如：分解因式：x2﹣120x+3456 解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456 ＝（x﹣60）2﹣144 ＝（x﹣60）2﹣122 ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） ＝（x﹣48）（x﹣72） （1）分解因式：x2+6x﹣7＝　 　； （2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值； （3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 五．提分特训 （一）选择题 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C.（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1） 2．因式分解a2﹣4的结果是（　　） A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2） 3．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（） A．-1 B．1 C．-3 D．3 4．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（　　） A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　）。 A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 6．下列多项式能用公式法分解因式的是（　　）。 ①﹣4x2﹣y2；②4x2﹣（﹣y）2；③a2+2ab﹣b2； ④x+1+；⑤m2n2+4﹣4mn． A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 7．若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值是（　　）。 A．﹣8 B．8 C．﹣ D． 8．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）。 A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 9．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除 （二）填空题 11．若x+y＝1，则x2+2y﹣y2﹣5＝　　． 12．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　 　． 13．若a2+a+1＝0，则a2027+a2026+a2025＝　　． 14．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 15. 已知，则的值是__________． 16.若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　　． 17．已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20262，y2﹣2x＝20262，则x2+2xy+y2的值为 　 　。 18．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　。 19．将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解　 　． 20．如图，分解多项式x2﹣3x+2，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们可以得到x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）． 利用这种方法，把多项式x2+7x﹣18分解因式为 　 　． （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 23.先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，于是有： x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣6a+8； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 24．阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 25．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题。 例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2． 则这个代数式x2+2x+3的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　。 【尝试应用】 （2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值。 【拓展提高】 （3）将一根长300cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由。 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训9 《因式分解》专题（盐城专版） 1． 思维导图 2． 知识梳理 ( 一、因式分解的概念 1.把一个____化成几个____的____的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.因式分解与____是互为逆变形的运算。 3.因式分解的结果必须是几个____的乘积，且每个因式都不能再分解，即分解要____。 二、因式分解的方法 （一）提公因式法 1.公因式：多项式各项都含有的____，叫做这个多项式各项的公因式。 2.确定公因式的方法：系数取各项系数的____，字母取各项都含有的____，指数取相同字母的____。 3.提公因式法步骤：先找____，再将多项式除以公因式，把商写在____内，即ma+mb+mc=____。 4.若多项式首项系数为负数，需先提取____，使括号内首项系数为正。 （二）公式法 1.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的积，即a 2 -b 2 =____。 2.完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的____（或____）的平方，即a 2 +2ab+b 2 =_________，a 2 -2ab+b 2 =___________。 （三）配方法 1.配方法分解因式，主要针对____（形如ax^2+bx+c，a ≠ 0），通过添加一项、减去同一项，将多项式中含字母的部分配成____。 2.配方法步骤：先对二次三项式配方转化为____形式，再利用____公式继续分解因式。 三、因式分解的应用 1.利用因式分解进行有理数的____，简化计算过程。 2.对已知代数式进行____，再代入数值求解，简化代数式求值运算。 3.用于分式的____、通分，简化分式运算。 4.解一元二次方程、一元高次方程，以及解决____中的边长、面积等计算问题。 【答案】 一、因式分解的概念：1.多项式；整式；乘积 2.整式乘法 3.整式；彻底 二、因式分解的方法：（一）提公因式法：1.公共因式 2.最大公约数；相同字母；最低次幂 3.公因式；括号；m(a+b+c) 4.负号；（二）公式法：1.和；差；(a+b)(a-b) 2.和；差；(a+b) 2 ；(a-b) 2 （三）配方法：1.二次三项式；完全平方式2.完全平方式；平方差 三、因式分解的应用：1.简便运算；2.因式分解；3.约分；4.几何图形。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、因式分解的概念 1.   命题形式：多以选择题、判断题形式考查，属于基础送分考点，偶尔在填空题中辨析变形是否为因式分解。 2.   考查重点：判断代数式变形是否属于因式分解，区分因式分解与整式乘法；理解因式分解 “ 多项式化为几个整式乘积 ” 的核心定义。 3.   易错考法：设置混淆项，如变形结果为分式、和差形式，或分解不彻底的式子，考查概念辨析能力。 【应对策略】 （1）牢记因式分解核心判定标准： ① 对象是多项式； ② 结果是几个整式的积； ③ 与整式乘法互为逆运算，二者变形方向相反。 （2）解题时逐一排查选项：先看结果是否为乘积形式，再看每个因式是否为整式，最后检查是否分解到不能再分解，快速排除错误选项。 （3）整理易混淆变形例题，针对性辨析，避免概念理解偏差。 考向二、因式分解的方法 （一）提公因式法 1.   命题形式：单独考查以填空题、简单解答题为主，也常作为因式分解的第一步，与公式法、配方法结合考查。 2.   考查重点：准确找出多项式的公因式，正确提取公因式；注意首项为负时提取负号、整体公因式（如多项式形式公因式）的提取。 3.   易错点：漏提系数最大公约数、相同字母最低次幂，提取公因式后漏写项数，忽略整体公因式。 【应对策略】 （1）掌握公因式确定口诀：系数取最大公约数，字母取相同最低次幂，整体因式别忘记。 （2）规范解题步骤：先找公因式，再逐项相除写结果，提取后检查括号内项数与原多项式一致，首项负号提前提。 （3）针对整体公因式题型专项练习，强化整体代换思想。 （二）公式法 1.   命题形式：中考核心考点，单选、填空、解答题均会出现，常与提公因式法综合考查。 2.   考查重点：平方差公式、完全平方公式的直接套用；判断多项式是否符合公式结构，熟练进行公式变形分解。 3.   命题趋势：多考查需先提公因式、再用公式法的两步分解题，单纯套公式的基础题占比减少。 【应对策略】 （1）   熟记两个核心公式结构，标注公式特征：平方差公式是二项式、平方异号；完全平方公式是三项式、首尾平方和，中间积的2倍。 （2）解题遵循 “ 先提公因式，再套公式 ” 原则，分解后检查是否彻底，杜绝分解不完全。 （3）归类整理公式变形题型，如符号变形、系数变形、整体公式变形，总结解题规律。 （三）配方法 1.   命题形式：中档难度考点，多以解答题形式考查，常针对二次三项式分解因式，也为后续一元二次方程学习铺垫。 2.   考查重点：二次三项式配方变形，将多项式转化为完全平方式，再结合平方差公式完成分解。 3.   易错点：配方时添加常数项后忘记减去相同项，导致变形不等价。 【应对策略】 （1）牢记配方法核心：加一次项系数一半的平方，再减去该数，保证变形前后代数式值不变。 （2）规范解题步骤：整理二次三项式 → 提取二次项系数 → 配方凑完全平方式 → 转化为平方差形式 → 彻底分解。 （3）重点练习二次项系数为1和不为1的两类配方题型，熟练掌握变形技巧。 ) ( 考向三、因式分解的应用 1.命题形式：综合性考点，以解答题、计算题为主，渗透在代数式求值、简便运算、方程求解、几何计算中。 2.考查重点：利用因式分解进行有理数简便计算；代数式化简求值；分式约分、解方程；解决几何图形面积、边长计算问题。 3.命题特点：题型灵活，注重知识综合运用，是中考中档题的常见考查形式。 【应对策略】 （1）建立 “ 因式分解是工具 ” 的思想，遇到复杂计算、代数式求值、高次方程，优先考虑因式分解简化运算。 （2）简便运算：找准数字规律，构造公因式或公式形式，利用分解结果快速计算。 （3）代数式求值：先对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件，避免直接代入的复杂计算。 （4）几何应用：结合图形面积、边长公式，列代数式后因式分解，求解未知量，注意几何量取值为正。 ) 四．强化基础 （一）选择题 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1） 【答案】C 【解析】（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，故选：C 2．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（　　） A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6 【答案】D 【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），得 2x2+bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6． b=-4，c=-6， 故选：D． 3．先观察下列各式：①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…下列选项成立的是（　　） A．n2﹣（n﹣1）2=4n B．（n+1）2﹣n2=4（n+1） C．（n+2）2﹣n2=4（n+1） D．（n+2）2﹣n2=4（n﹣1） 【答案】D 【解析】∵①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…∴（n+2）2﹣n2=4（n﹣1）．故选；D． 4.对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(   ) A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 【答案】A 【解析】根据立方差公式即可求解．∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（　　）。 A．4x2﹣1 B．x2﹣2x﹣1 C．4x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1 【答案】D 【解析】A.4x2﹣1，只含有两项，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不合题意；B．x2﹣2x﹣1，两项平方项x2与﹣1的符号不同，故本选项不合题意；C.4x2+2x+1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项不合题意；D.4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故本选项符合题意．故选：D． 6．下列因式分解正确的是（　　） A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 【答案】D 【解析】A、x2+2x﹣1不能用完全平方公式分解，故A不符合题意；B、4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故B不符合题意；C、2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a﹣b）2，故C不符合题意；D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），分解正确，故D符合题意； 故选：D． 7．将下列各式分解因式，结果中不含x﹣1的是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣x 【答案】B 【解析】A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，含x﹣1，故不符合题意；B．x2+2x+1＝（x+1）2，不含x﹣1，故符合题意；C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含x﹣1，故不符合题意；D．x2﹣x＝x（x﹣1），含x﹣1，故不符合题意；故选：B． 8．多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 【答案】A 【解析】∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c，∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab．故选：A． 9．已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】∵a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，∴a（a+c）﹣b（a+c）＝0，（a﹣b）（a+c）＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴a﹣b＝0，∴a＝b，即△ABC的形状为等腰三角形．故选：A． 10．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】B 【解析】∵该长方形的周长为14，面积为10，∴2（x+y）＝14，xy＝10，则x+y＝7，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝10×7＝70，故选：B． （二）填空题 11．因式分解：8a3﹣2ab2=　　． 【答案】2a（2a+b）（2a﹣b） 【解析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2）=2a（2a+b）（2a﹣b）．故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）． 12．分解因式：2x3﹣6x2+4x=　　． 【答案】2x（x﹣1）（x﹣2） 【解析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案。2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）． 13．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　． 【答案】4 【解析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．故答案为：4． 14．若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为　　． 【答案】12 【解析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．∵a+b=4，a﹣b=1，∴（a+1）2﹣（b﹣1）2=（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）=（a+b）（a﹣b+2）=4×（1+2） 15．分解因式：2x3+4x2+2x＝　 　。 【答案】2x（x+1）2． 【解析】原式＝2x（x2+2x+1）＝2x（x+1）2．故答案为：2x（x+1）2． 16．若a+b＝8，ab＝15，则a2+ab+b2＝　 　 【答案】49　 【解析】∵a+b＝8，ab＝15，则a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝82﹣15＝49．故答案为：49． 17．若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为　 　。 【答案】12　 【解析】∵m+n＝3，∴2m2+4mn+2n2﹣6＝2（m+n）2﹣6＝18﹣6＝12．故答案为：12． 18．已知x﹣y＝，xy＝4，则xy2﹣x2y＝　 　。 【答案】﹣2　 【解析】∵x﹣y＝，xy＝4，∴原式＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝﹣4×＝﹣2． 故答案为：﹣2． 19．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　 【答案】20　 【解析】因为（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，每一个因数都是整数且都不相同，那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，由此得出m、n、p、q分别为6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20． 故答案为：20． 20．大长方形中放入5张长为a，宽为b的相同的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为 　 【答案】4 【解析】依题意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝4．∴一张小长方形的面积为4．故答案为4． （三）解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 解：(1)－x2＋3x＝－x(x－3)． (2)27a3bc－3ab3c＝3abc(9a2－b2)＝3abc(3a＋b)(3a－b)． (3)－ab＋2a2b－a3b＝－ab(1－2a＋a2)＝－ab(1－a)2. (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)＝(x－y)(9a2－4b2)＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)． 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 解：（1）原式＝＝＝10 （2）原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝××××××…××××＝×＝ 23．阅读下面材料完成分解因式 x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q） 这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例：把x2+3x+2分解因式 分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2， 这是一个x2+（p+q）x+pq型式子． 解：x2+3x+2=（x+1）（x+2） 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式： ①x2+7x+10；②2y2﹣14y+24． 【答案】①（x+2）（x+5）；②2（y﹣3）（y﹣4） 【解析】仿照上述的方法，将原式分解即可． 解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）； ②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）． 24．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”。 （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 解：（1）由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1； （2）证明：由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意数”c恒小于等于0； （3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2． 25．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2。 （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 26．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：x2﹣12x+2026的最小值． 解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2026＝（x﹣6）2+1990 ∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1990． 例如：分解因式：x2﹣120x+3456 解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456 ＝（x﹣60）2﹣144 ＝（x﹣60）2﹣122 ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） ＝（x﹣48）（x﹣72） （1）分解因式：x2+6x﹣7＝　 　； （2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值； （3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 解：（1）x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）；故答案为：（x﹣1）（x+7）； （2）﹣x2+10x+33＝﹣（x2﹣10x）+33＝﹣（x2﹣2×5x+52﹣52）+33＝﹣[（x﹣5）2﹣25]+33， ∵（x﹣5）2≥0，∴﹣（x﹣5）2≤0，∴﹣（x﹣5）2+58≤58，当x＝5时，﹣x2+10x+33值最大，最大值为58； （3）∵9m2+8n2+12mn﹣24n+45＝9m2+12mn+4n2+4n2﹣24n+36+9＝（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9， 又∵（3m+2n）2≥0，（2n﹣6）2≥0，∴（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9≥9，∴m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 五．提分特训 （一）选择题 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C.（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解析】A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确；故选：D． 2．因式分解a2﹣4的结果是（　　） A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2） 【答案】A 【解析】利用平方差公式进行分解即可．原式＝（a+2）（a﹣2），故选：A． 3．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】C 【解析】∵2x2+mx-2=（2x+1）（x-2）=2x2-3x-2，∴m=-3．故选C． 4．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a，b的值分别是（　　） A．a=-2，b=-3 B．a=2，b=3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 【答案】A 【解析】根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x-3）=x2-2x-3， 则a=-2，b=-3，故选A 5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　）。 A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 【答案】B 【解析】∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1， 6．下列多项式能用公式法分解因式的是（　　）。 ①﹣4x2﹣y2；②4x2﹣（﹣y）2；③a2+2ab﹣b2； ④x+1+；⑤m2n2+4﹣4mn． A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【解析】①﹣4x2﹣y2，不符合平方差公式，故不能用公式法分解因式；②4x2﹣（﹣y）2＝（2x+y）（2x﹣y），符合平方差公式，故能用公式法分解因式；③a2+2ab﹣b2，不符合完全平方公式，故不能用公式法分解因式；④x+1+＝，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式；⑤m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，符合完全平方公式，故能用公式法分解因式，故选：C． 7．若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值是（　　）。 A．﹣8 B．8 C．﹣ D． 【答案】D 【解析】∵x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），∴x2﹣bx﹣10＝x2+（﹣a+5）x﹣5a，故﹣a+5＝﹣b，﹣5a＝﹣10，解得：a＝2，b＝﹣3，故ab＝2﹣3＝．故选：D． 8．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）。 A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【答案】B 【解析】b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B． 9．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（　　）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】∵三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2﹣2ab＝0， ∴a2+b2＝c2，∴三角形为直角三角形．故选：B． 10．若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【解析】（3k+2）2﹣9k2＝（3k+2+3k）（3k+2﹣3k）＝2（6k+2）＝4（3k+1），∴（3k+2）2﹣9k2的值总能被4整除．故选：B． （二）填空题 11．若x+y＝1，则x2+2y﹣y2﹣5＝　　． 【答案】﹣4． 【解析】由题意可得：x+y＝1，∴原式＝（x2﹣y2）+2y﹣5＝（x﹣y）（x+y）+2y﹣5 ＝x+y﹣5＝1﹣5＝﹣4，故答案为：﹣4． 12．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　 　． 【答案】﹣2或8 【解析】∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8． 13．若a2+a+1＝0，则a2027+a2026+a2025＝　　． 【答案】0． 【解答】a2027+a2026+a2025＝a2025×（a2+a+1），∵a2+a+1＝0，∴a2025×（a2+a+1）＝a2025×0＝0，故答案为：0． 14．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2） 【解析】四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． 15. 已知，则的值是__________． 【答案】7 【解析】将两边平方得：，即：，解得：＝7， 故填7。 16.若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　　． 【答案】30 【解析】∵a+b=2，ab=﹣3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=ab[（a+b）2﹣2ab]=3（4+6）=30．故答案为：30． 17．已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20262，y2﹣2x＝20262，则x2+2xy+y2的值为 　 　。 【答案】 4 【解析】：x2﹣2y＝20262…①；y2﹣2x＝20262…②；①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0， （x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，（x﹣y）（x+y+2）＝0，∵x≠y，∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2， ∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．故答案为：4． 18．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　。 【答案】（x﹣6）（x+2）　 【解析】因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4， ∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）． 19．将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解　 　． 【答案】m2+4mn+3n2＝（m+3n）（m+n）． 【解析】图中大长方形的面积：大长方形的长×宽＝1个边长为m的大正方形+4个长为m、宽为n的长方形面积+3个边长为n的小正方形面积，即：（m+3n）（m+n）＝m2+4mn+3n2， 故答案为：m2+4mn+3n2＝（m+3n）（m+n）． 20．如图，分解多项式x2﹣3x+2，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们可以得到x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）． 利用这种方法，把多项式x2+7x﹣18分解因式为 　 　． 【答案】（x﹣2）（x+9）． 【解析】因为9×（﹣2）＝﹣18，9+（﹣2）＝7，所以x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案为：（x﹣2）（x+9）． （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）； （2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）； （3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2； （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1） ＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）． 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 解：(1)大长方形的长为2m+n,宽为m+2n,∴2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n). 故答案为(2m+n)(m+2n). (2)∵每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,∴mn=12,2m2+2n2=80,∴m2+n2=40,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=40+12×2=64,∴m+n=8,∴题图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为6m+6n=6(m+n)=48. 23.先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，于是有： x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣6a+8； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 解：（1）（1）原式＝a2﹣6a+8+9﹣9＝a2﹣6a+9﹣1＝（a﹣3）2﹣1＝（a﹣3+1）（a﹣3﹣1）＝（a﹣2）（a﹣4）； （2）∵a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，∴（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，（a﹣1）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴2﹣1＝1＜c＜2+1＝3，∴1＜c＜3，而a、b、c都是正整数，∴c＝2，∴△ABC是等腰三角形． 24．阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）； ②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）． 25．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题。 例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2． 则这个代数式x2+2x+3的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　。 【尝试应用】 （2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值。 【拓展提高】 （3）将一根长300cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由。 解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值为2，这时相应的x的值为﹣1．故答案为：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59， ∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代数式﹣x2+14x+10的最大值为59，相应的x的值为7， （3）有最小值，设一段铁丝长为xcm，则另一段长为（300﹣x）cm，由题意得： ，当x＝150，两个正方形的面积之和有最小值．则另一段铁丝的长度为300﹣150＝150（cm）． 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． 解：（1）①第一种：∵阴影部分为一个边长为y的正方形和一个边长为x的正方形， ∴S阴影部分＝x2+y2； 第二种：∵阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ∴S阴影部分＝（x+y）2﹣2xy；∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，故答案为：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； ②将x+y＝8，x2+y2＝40代入①中等式，得：40＝82﹣2xy，∴xy＝12，故答案为：12； （2）∵（4﹣x） （5﹣x）＝8，∴（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2 ＝（4﹣x）2+（x﹣5）2＝（4﹣x+x﹣5）2﹣2（4﹣x）（x﹣5）＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17； （3）设LD＝x，DK＝y，∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形， ∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，∴AL+LD＝CK+DK，∵AL＝8，CK＝12，∴8+x＝12+y，∴x＝y+4，∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为400， ∴x2+y2＝400，将x＝y+4代入x2+y2＝400中，得：（y+4）2+y2＝400，解得：y＝12或y＝﹣16（舍），∴x＝y+4＝16，∴DN＝16，DM＝12，∴S长方形NDMH＝DN•DM＝16×12＝192． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $