2025-2026学年苏科版八年级数学下册期中提分特训4《矩形》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训4 《矩形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、矩形的定义 1.有一个角是________的平行四边形叫做矩形。 2.矩形是________（填 “ 特殊/一般 ” ）的平行四边形。 二、矩形的性质 1.边：矩形的对边________且________。 2.角：矩形的四个角都是________，度数为________ ° 。 3.对角线：矩形的对角线________且互相________。 4.对称性：矩形既是________图形，又是________图形；一共有________条对称轴（为对边中点连线所在直线）。 5.重要推论：直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 ) ( 三、矩形的判定 1.定义判定：有一个角是________的平行四边形是矩形。 2.对角线判定：对角线________的平行四边形是矩形。 3.角度判定：有________个角是直角的四边形是矩形。 四、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________的长度，叫做平行线间的距离。 2.性质：两条平行线间的距离________。 3.矩形关联：矩形两组对边互相平行，一组对边之间的距离就是矩形的________（高）。 【答案】 一、矩形的定义 1.直角 2.特殊 二、矩形的性质 1.平行；相等 2.直角；90 3.相等；平分 4.中心对称；轴对称；2 5.斜边 三、矩形的判定 1.直角 2.相等 3.三 四、平行线间的距离 1.垂线段 2.处处相等 3.边长 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、矩形的定义 1.考查矩形与平行四边形的从属关系，判断四边形是否为矩形。 2.利用直角平行四边形特征，结合边长、角度进行简单说理。 3.选择、填空基础题，辨析概念：平行四边形+一个直角=矩形。 【应对策略】 （1）牢记判定前提：必须先是平行四边形，再有一个内角为直角。 （2）做题区分：普通四边形不能直接用矩形定义判定。 （3）审题圈画关键词：平行四边形、直角，缺一不可。 考向二、矩形的性质 1.边角性质：求内角度数、线段长度、周长面积计算。 2.对角线必考：对角线相等且互相平分，形成等腰三角形计算。 3.轴对称、中心对称图形辨析，对称轴条数填空。 4.重点必考模型：直角三角形斜边中线定理，线段倍长计算。 5.期中期末解答题、几何计算题核心考点。 【应对策略】 （1）熟记口诀：对边平行且相等，四角全是九十度，对角线相等又平分。 （2）看到直角三角形斜边中点，立刻联想斜边中线等于斜边一半。 （3）矩形对角线相交分成四组等腰三角形，等边对等角快速解题。 （4）做题先标直角、相等线段，简化边角计算。 考向三、矩形的判定 1.几何证明大题：证明四边形是矩形（中考常考基础几何题）。 2.三类方法辨析：定义法、对角线法、三直角法选择填空易错点。 3.平行四边形基础上证矩形，对角线相等易错失分点。 【应对策略】 （1）思路模板 ① ：先证平行四边形 → 再证一个直角 → 得矩形。 ) ( （2）思路模板 ② ：先证平行四边形 → 再证对角线相等 → 得矩形 （3）思路模板 ③ ：直接证四边形三个内角为直角 → 得矩形 （4）证明优先选对角线方法，计算最简单；角度法适合直角多图形 考向四、平行线间的距离 1.概念辨析：垂线段长度、两点距离易混淆 2.利用平行线距离处处相等，求矩形高、面积转化计算 3.选择基础题，矩形对边距离与边长关系填空 【应对策略】 （1）牢记：平行线距离一定是垂线段长度，不是斜线段 （2）性质：任意两条平行线间距处处相等，面积等积变形直接用 （3）矩形两组对边平行，对边垂直距离就是矩形长与宽，直接代入面积公式 ) 四．强化基础 （一）选择题 1.下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】：D 【解析】：A、B、C选项均为平行四边形的共性性质，矩形和普通平行四边形都具备；D选项对角线相等是矩形独有的特殊性质，普通平行四边形对角线仅互相平分，不相等，故选D。 2.下列条件中，不能判定一个四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 有一个角是直角的平行四边形 【答案】：C 【解析】：A选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线相等，符合矩形判定定理2，能判定；B选项，直接符合判定定理1，能判定；C选项，对角线相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形对角线也相等，不能判定为矩形；D选项，符合矩形定义，能判定。 3.要检验一个四边形的桌面是不是矩形,可行的测量方案是(　　) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是不是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 【答案】C　 【解析】测量两条对角线交点到四个顶点的距离是否相等,如果相等,那么对角线互相平分且相等,就可以判定这个四边形桌面是矩形,反之则不是矩形,故选项C符合题意. 4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 【答案】D　 【解析】再添加AD=BC,AC=BD,可判定四边形ABCD为矩形.理由:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AC=BD,∴▱ABCD为矩形. 5.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(　　) A.①　　　　B.② C.③　　　　D.④ 【答案】B　 【解析】当AC=BD时,▱ABCD是矩形. 6.如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是(　　) A.线段AB的长度　B.线段AB C.线段CD的长度　D.线段CD 【答案】C　 【解析】根据过一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离,可知直线a,b之间的距离是线段CD的长度.故选C. 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：B 【解析】：∵ 在矩形中，，∴，∴，故选：B 8.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则( ) A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：连接，交于点O，如图，四边形矩形，，，，，，， ，，，，， .故选：C. 9.如图，在矩形中，，，对角线和交于点O，过点O作垂直于，交于点E，则的长为( ) A.3 B.4 C.5 D. 【答案】：C 【解析】：如解图，连接，∵四边形是矩形，，，∴，，，，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，设，则，由勾股定理得，， 即，解得.故选：C. 10.如图,四边形ABCD是长方形,把沿AC翻折到,与BC交于点E,若,,则BE的长是( ) A. B. C. D.1 【答案】：C 【解析】：四边形ABCD为矩形,, 沿AC折叠到,与BC交于点E,,, ,,,设,, ,在中,由勾股定理得：,即：, 解得：,即：的长度为,故选：C. （二）填空题 11．已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 　 　cm2． 【答案】48 【解析】∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm， ∴它的面积为8×6＝48cm2．故答案为：48． 12．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 【答案】2﹣2 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴AB＝AE＝2，∴BE＝2，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝2，∴BC＝AD＝2，∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2．故答案为：2﹣2． 13．如图，点E、F均在菱形ABCD的对角线BD上，且四边形AECF为矩形，若AE＝2，EF＝BD，则AB的长度为 　 　． 【答案】 【解析】如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AECF是矩形，∴AC＝EF＝2OF＝2OE，∵EF＝BD， ∴OA＝OF，OB＝2OA，∵AE＝2，∴OA＝OE＝，∴OB＝2，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝＝＝．故答案为：． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合， ∴MN＝AM′＝，故答案为：． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　 　． 【答案】13 【解析】如图，连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，∴PC+QD＝PC+PB，∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE， ∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13． ∴PC+PB的最小值为13．∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13． 16．如图，矩形ABCD中，AC＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 　 　． 【答案】4cm 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC＝4cm，AC＝BD＝8cm，∴OA＝OB＝4（cm）， ∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝4（cm），∴AD＝＝＝4（cm）；故答案为：4cm． 17．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR＝5，EF＝6.5，则BC的长为 　 　． 【答案】12 【解析】连接AR，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF＝AR＝6.5， ∴AR＝13，在Rt△ADR中，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝12， 18．如图，在矩形ABCD中，CE平分∠BCD，点M是AB边的中点，过点M做MN∥CE交BC于点N，连接EM，若EM恰好平分∠AEC，且，则AE的长是 　 　． 【答案】﹣1 【解析】作MG⊥CE于G，NH⊥CE于H，∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD＝45°，∴△ECD是等腰直角三角形，∵MN∥CE，∴∠MNB＝∠ECB＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴BM＝BN＝1，∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝1，∵EM恰好平分∠AEC，AM⊥AE，MG⊥EC，∴MG＝AM＝1，∵∠MGH＝∠NHG＝∠MNH＝90°，∴四边形MNGH是矩形，∴NH＝HC＝1，∴CN＝，∴AD＝BC＝+1，∴AE＝AD﹣DE＝+1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1． 19．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E是BC边上一点，ED平分∠AEC，F为AE的中点，连接DF，则DF的长为 　 　． 【答案】3 【解析】过D作DH⊥AE于H，∴∠AHD＝∠DHE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵ED平分∠AEC，∴DH＝DC＝AB＝6，∴AH＝＝8，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB， 在△ADH与△EAB中，，∴△ADH≌△EAB（AAS），∴BE＝AH＝8，AE＝AD＝10，∴CE＝EH＝2，∵F为AE的中点，∴EF＝5，∴FH＝3，∴DF＝＝＝3，故答案为：3． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 【答案】或8 【解析】如图1中，当∠DA′P＝90°时，由翻折的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，BA＝BA′＝8，∴∠BA′P+∠DA′P＝180°，∴B，A′，D共线，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝15， ∴BD＝＝＝17，∴DA′＝17﹣8＝9，设AP＝PA′＝x，则PD＝15﹣x，∵PD2＝PA′2+DA′2，∴（15﹣x）2＝x2+92，解得x＝，∴PA＝．如图2中，当∠A′PD＝90°时，四边形ABA′P是正方形，此时PA＝AD＝8．综上所述，满足条件的PA 的值为或8． （三）解答题 21.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 解：(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵延长至点E，使，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形； (2)如图，连接，则点A和点C之间的距离即为线段的长度.∵，， ∴，由(1)可得，∴在中. ∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，则，由(1)可得，∴在中， ∴点A和点C之间的距离为. 22.如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F. (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长. 解：(1)，，，，四边形是平行四边形，点E在的延长线上，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形； (2)四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，，是等边三角形，，，，， ，的长是. 23.如图,在四边形中,,,,,点E,F分别是,的中点,连接,. (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数. 解：(1)证明：F是的中点,,,,,四边形是平行四边形,,四边形是矩形； （2）四边形是矩形,,,E是的中点,,,,,. 24.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD 理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点． ∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABCD． （1）请补全以上证明过程． （2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明． 解：（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD,∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD； （2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD． 证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF =AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PCD． 25.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．[来源:学科网ZXXK] （2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3， ∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2． 26.矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接. (1)如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； (2)当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值. 解：(1)∵四边形为矩形，∴， ∵E是线段中点，∴，，∴，∵， ∴，∴四边形为矩形，∴，∴，∵， ∴，根据勾股定理得：； (2)；理由如下：延长，交于点G，连接，如图所示： ∵四边形为矩形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴根据勾股定理得：，即. （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，如图所示：则，∴四边形为矩形，∴，，，，∴，， ∴，∴，，∴， ∴，∵，∴根据勾股定理得：，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵， ∴，∵点F为的中点，∴，∵且当O、A、F三点共线时，等号成立，∴，∵， ∴，∴的最小值为2. 五．提分特训 （一）选择题 1. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN ∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选：C． 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO，∴OA=AB=OB，∵AE=cm，∴OB=2=OD；故选C． 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ） A. AO=OC B. AC=BD C. AC⊥BD D. BD平分∠ABC 【答案】B 【解析】添加的条件是AC=BD．理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．故选B． 4. 如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（　　） A. AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B. AC＝BD，∠B＝∠C＝90° C. AB＝CD，∠B＝∠C＝90° D. AB＝CD，AC＝BD 【答案】D 【解析】A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故能判定门框合格；B、在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴AB＝CD，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故能判定门框合格；C、∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故能判定门框合格；D、当四边形ABCD是等腰梯形时，也满足AB＝CD，AC＝BD，故不能判定门框合格．故选D． 5. 如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF=CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC=3，BC=4，∴AB=＝5， ∵四边形CEDF是矩形，∴CD=EF=．故选D． 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】如图所示，连接，∵点的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴，故选：C． 7. 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 55° 【答案】A 【解析】由翻折的性质得，∠DBC=∠DBC′，∵∠C=90°，∴∠DBC=∠DBC′=90°-35°=55°， ∵矩形的对边AB∥DC，∴∠1=∠DBA=35°，∴∠2=∠DBC′-∠DBA=55°-35°=20°．故选A． 8.如图,在矩形中,对角线相交于点O,,,则的长是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】：B 【解析】：矩形中,对角线交于O,,, 是等边三角形,,,故选：B. 9.如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：B 【解析】：由折叠得，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴， ∴，设，则，在中，由勾股定理得，，解得，，∴.故选：B. 10.如图，矩形的对角线，相交于点O，且，，点E为上一点，，连接，则的长为( ) A. B. C.或 D.6 【答案】：C 【解析】：∵四边形是矩形， ∴，，，，∴，∵， ∴是等边三角形， ∴，①当点E在上时，如图所示，∵， ∴，即点E是的中点，∵是等边三角形， ∴，∴，∴； ②当点E在上时，过点A作于点H，则，如图所示， 由①可知，，，∴， ∴；∴的长为或，故选：C. （二）填空题 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是 　 　． 【答案】（5，0） 【解析】连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的坐标为（5，0），故答案为：（5，0）． 12．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4，则CD的值为 　 　． 【答案】：2 【解析】连接AC交BD于点O，连接OG，且BD与CF交于点M，∵GF＝AF，∴∠FAG＝∠FGA， ∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝4，OB＝OD，∵CG＝GF，∴OG为△CAF的中位线，∴AF＝2OG，OG∥AD，∴∠FDM＝∠MOG，∵AE⊥BD，∴∠FGA+∠GMO＝90°，∠MDF+∠FAG＝90°， ∴∠GMO＝∠MDF，∴∠GMO＝∠MDF＝∠MOG＝∠FMD，∴OG＝GM，FM＝FD，设OG＝GM＝x，则CG＝GF＝AF＝2x，∴FD＝FM＝FG﹣MG＝2x﹣x＝x，∴CF＝4x，AD＝3x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CD＝＝x，在Rt△ADC中，由勾股定理得，DC2+AD2＝AC2，即15x2+9x2＝96，解得x＝2（x＝﹣2舍去），∴CD＝x＝．故答案为：2． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点B、F，连接CE，则△DCE的面积为 　 　． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+（4﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面积＝××2＝． 14．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC，垂足为E，且平分∠CBD，则BE的长为 　 　． 【答案】 【解析】∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，在△BEO和△BEC中，，∴△BEO≌△BEC（ASA），∴BO＝BC，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝OC，∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝30°，∴BE＝AB＝，故答案为：． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是边AB的中点，若∠A＝25°，则∠DCE＝　 　°． 【答案】40 【解析】∵∠ACB＝90°，E是边AB的中点，∴CE＝AE＝AB，∴∠A＝∠ECA＝25°，∴∠DEC＝∠A+∠ECA＝50°，∵CD⊥AB，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠DEC＝40°， 16．如图，矩形纸片ABCD，CD＝1，点E在AB上，若点B关于CE的对称点B'落在AD上时，∠B'CE＝22.5°，则BE+BC的值为 　 　． 【答案】2 【解析】在矩形ABCD中，AB＝CD＝1，∠A＝∠B＝∠ACB＝∠D＝90°，由翻折可知：∠BCE＝∠B'CE＝22.5°，BC＝B′C，∴∠DCB′＝90﹣22.5°×2＝45°，∴DB′＝DC＝1，∴B′C＝＝，∴AD＝BC＝B′C＝，∴AB′＝AD﹣DB′＝﹣1，设BE＝B′E＝x，则AE＝AB﹣BE＝1﹣x，在Rt△AB′E中，根据勾股定理得：AE2+AB′2＝B′E2，∴（1﹣x）2+（﹣1）2＝x2，解得x＝2﹣，∴BE＝2﹣，∴BE+BC＝2﹣+＝2． 17．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若∠ADF＝2∠DAC，BE＝3，CD＝，则线段AC的长为 　 　． 【答案】2． 【解析】连接BD，与AC相交于点O，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∴∠OAD＝∠ODA＝∠OBC，∵∠ADF＝2∠DAC，∴∠OBC＝∠ODE， ∴DE＝BE＝3，∵CD＝，∴，∴BC＝BE+CE＝3+1＝4，∵AB＝CD＝2， ∴AC＝．故答案为：2． 18．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为BC的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边AD上，记折痕为MN，则折痕MN的长为　 　． 【答案】2或． 【解析】设B点沿过点M的直线翻折后落在AD上的对应点为点B′，①过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AB上，可得四边形ABME为矩形，∴EM＝AB＝4，AE＝BM，∵M为BC中点，BC＝10，∴由折叠可得：B′M＝BM＝BC＝×10＝5，在Rt△B′EM中，由勾股定理得，B′E＝＝＝3，∴AB′＝AE﹣B′E＝5﹣3＝2，设AN＝x，则NB＝AB﹣AN＝4﹣x，在Rt△ANB′中，由勾股定理得，AN2+AB′2＝x2+22＝NB′2＝NB2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴NB＝AB﹣AN＝4﹣＝，在Rt△NBM中，由勾股定理得，MN＝ ＝＝， ②过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AD上，可得，四边形ABME为矩形，∴ME＝AB＝4，AE＝BM，又∵BC＝10，M为BC中点，∴由折叠得，B′M＝BM＝×BC＝×10＝5，在Rt△EMB′，由勾股定理得，B′E＝＝＝3， AB′＝AE+B′E＝5+3＝8，设AN＝A′N＝y，则EN＝AE﹣AN＝5﹣y，则NB′＝NE+B′E＝5﹣y+3＝8﹣y，在Rt△A′NB′中，∠NA′B′＝90°，由勾股定理得，NA′2+A′B′2＝y2+AB2＝y2+42＝NB′2＝（8﹣y）2，y＝3，则NE＝5﹣y＝5﹣3＝2，在Rt△NEM中，∠EMN＝90°，由勾股定理得，MN＝＝＝2，综上所述，MN＝2或，故答案为：2或． 19．在矩形ABCD中，BC＝4，E为AD的中点，点F在射线AB上，BF＝3，过点E作EG⊥CF于点G，EF平分∠AEG，则AB的长为 　 　． 【答案】4或1 【解析】根据题意分两种情况：①当点F在AB边上时，如图所示：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∵E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，∵EF平分∠AEG，EG⊥CF，EA⊥AF，∴AF＝GF，在Rt△AEF和Rt△GEF中，，∴Rt△AEF≌Rt△GEF（HL），∴AE＝EG＝2，∴EG＝ED，在Rt△CDE和Rt△CGE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL）， ∴CD＝CG，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝3，∴CF＝＝5，设AF＝FG＝x，则CG＝CF﹣FG＝5﹣x，∵CD＝AB＝AF+BF＝x+3，∴x+3＝5﹣x，解得x＝1，∴AB＝x+3＝4； ②当点F在AB延长线上时，如图所示：同理：设AF＝FG＝x，则CG＝CF﹣FG＝5﹣x，CD＝AB＝AF﹣BF＝x﹣3，∴x﹣3＝5﹣x，解得x＝4，∴AB＝x﹣3＝1．综上所述：AB的长为4或1．故答案为：4或1． 20．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连接AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为 　 　． 【答案】 【解析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：则四边形ABEH是矩形，∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，∵四边形CEFG是矩形，∴FG∥CE，EF＝CG＝2， ∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝＝＝，在△RFP和△RCQ中，，∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，∴点R与点M重合，∵点N是AC的中点，∴MN是△CAF的中位线，∴MN＝AF＝×＝．故答案为：． （三）解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）． （1）求CE的长； （2）写出点E的坐标． 解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3． （2）∵EC的长为3，∴点E的坐标为（10，3）． 22．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数． （2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度． 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠1+∠2＝180°．又∵∠EFG＝55°，由对称性可知∠GEF＝∠DEF＝55°．∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝70°．∴∠2＝180°﹣∠1＝110°． （2）设DE＝xcm，则有DE＝BE＝x．∵AD＝12cm，∴AE＝（12﹣x）cm．在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2，即x2＝42+（12﹣x）2，x2＝16+144﹣24x+x2；24x＝160．解得x＝， ∴BE的长为cm． 24.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求BF的长； （3）求折痕AF长． 解：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100， 又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； （2）设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2， 即42+（8-x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm； （3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm， 25．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 解：（1）∵C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2OC，∴OA＝2×4＝8，在矩形OABC中，BC＝OA＝8，∵D点坐标为（3，4），∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5； （2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则∠DCO＝∠COH＝∠DHO＝90°，∴四边形OHDC是矩形， ∴OH＝CD＝3，DH＝OC＝4，由折叠可得，DE＝BD＝5，在Rt△DHE中，HE＝＝＝3，∴OE＝OH+HE＝3+3＝6，∴E点坐标为（6，0）； （3）OE＝2CD，理由如下：如图2，设直线DF与x轴交于I点，∵B点坐标为（b，n），D点坐标为（m，n），∴CD＝m，BC＝b，∴BD＝BC﹣CD＝b﹣m，由折叠的性质可得，DE＝BD＝b﹣m，∠BDF＝∠EDF，∵BC∥x轴，∴∠EID＝∠BDF＝∠CDG，∴∠EID＝∠EDF，∴EI＝DE＝b﹣m，在△GCD和△FAI中，，∴△GCD≌△FAI（AAS），∴AI＝CD＝m， ∴AE＝EI﹣AI＝b﹣m﹣m＝b﹣2m，∴OE＝OA﹣AE＝b﹣（b﹣2m）＝2m，∴OE＝2CD． 26. 【问题背景】：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF． 小华同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程． 证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADP中，Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），……请完成剩余的证明过程． 【变式探究1】：如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，且AD＝2DF，AB＝2AD，请探究BE与EC的数量关系，并说明理由． 【变式探究2】：如图3，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，∠EFC＝45°，请直接写出EF、BE、DF三条线段之间的数量关系：　 　． 解：问题背景：证明：如图1中，延长FD到点P使DP＝BE，连接AP， ∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADP中， ，∴Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP， ∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠DAE+∠DAP＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAP＝45°，在△AEF和△APF中， ∴△AEF≌△APF（SAS），∴EF＝PF， ∵DP＝BE，∴EF＝BE+DF．变式探究1：结论：BE＝2EC．理由：如图2中，分别取AB，AE的中点M，T，连接MT并延长MT交CD于N，连接TF， ∴MT∥BE，MT＝BE，∴∠AMN＝90°＝∠DAM＝∠D，∴四边形AMND是矩形， ∵AD＝2DF，AB＝2AD，即DF：AD：AB＝1：2：4，∴矩形AMND是正方形， 设DF＝m，∴AD＝2m＝DN，∵∠EAF＝45°，∴由（1）知，FT＝DF+TM，∵MT＝BE， 设BE＝2x，∴FT＝DF+TM＝x+m，在Rt△FTN中，FT2＝FN2+TN2，∴（x+m）2＝m2+（2m﹣x）2，∴2x＝m，∴BE＝m，∴EC＝BC﹣BE＝m，∴BE＝2EC．变式探究2：结论：EF2＝2DF2+2BE2．理由：如图3中，作直线EF交AD延长线于J，交AB的延长线于P． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠PAJ＝∠ADF＝∠JDF＝90°，∵∠EFC＝∠DFJ＝45°， ∴∠DJF＝∠DFJ＝45°，∴DF＝DJ，∴FJ＝DF，∴∠AJP＝∠P＝45°， ∵∠ABE＝∠PBE＝90°，∴∠BEP＝∠P＝45°，∴BE＝BP，∴EP＝BE， ∵∠AJP＝∠P＝45°，∴AP＝AJ，将△APE绕点A顺时针旋转90°得到△AJQ，连接QF，则AE＝AQ，∠FAE＝∠FAQ＝45°，∠APE＝∠AJQ＝45°，∵AF＝AF， 在△AFE和△AFQ中，∴△AFE≌△AFQ（SAS），∴EF＝FQ，∵∠AJP＝∠AJQ＝45°，∴∠FJQ＝90°，∴FQ2＝FJ2+QJ2，∵EF＝FQ，JQ＝PE＝BE，FJ＝DF，∴EF2＝2DF2+2BE2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训4 《矩形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、矩形的定义 1.有一个角是________的平行四边形叫做矩形。 2.矩形是________（填 “ 特殊/一般 ” ）的平行四边形。 二、矩形的性质 1.边：矩形的对边________且________。 2.角：矩形的四个角都是________，度数为________ ° 。 3.对角线：矩形的对角线________且互相________。 4.对称性：矩形既是________图形，又是________图形；一共有________条对称轴（为对边中点连线所在直线）。 5.重要推论：直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 ) ( 三、矩形的判定 1.定义判定：有一个角是________的平行四边形是矩形。 2.对角线判定：对角线________的平行四边形是矩形。 3.角度判定：有________个角是直角的四边形是矩形。 四、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________的长度，叫做平行线间的距离。 2.性质：两条平行线间的距离________。 3.矩形关联：矩形两组对边互相平行，一组对边之间的距离就是矩形的________（高）。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、矩形的定义 1.考查矩形与平行四边形的从属关系，判断四边形是否为矩形。 2.利用直角平行四边形特征，结合边长、角度进行简单说理。 3.选择、填空基础题，辨析概念：平行四边形+一个直角=矩形。 【应对策略】 （1）牢记判定前提：必须先是平行四边形，再有一个内角为直角。 （2）做题区分：普通四边形不能直接用矩形定义判定。 （3）审题圈画关键词：平行四边形、直角，缺一不可。 考向二、矩形的性质 1.边角性质：求内角度数、线段长度、周长面积计算。 2.对角线必考：对角线相等且互相平分，形成等腰三角形计算。 3.轴对称、中心对称图形辨析，对称轴条数填空。 4.重点必考模型：直角三角形斜边中线定理，线段倍长计算。 5.期中期末解答题、几何计算题核心考点。 【应对策略】 （1）熟记口诀：对边平行且相等，四角全是九十度，对角线相等又平分。 （2）看到直角三角形斜边中点，立刻联想斜边中线等于斜边一半。 （3）矩形对角线相交分成四组等腰三角形，等边对等角快速解题。 （4）做题先标直角、相等线段，简化边角计算。 考向三、矩形的判定 1.几何证明大题：证明四边形是矩形（中考常考基础几何题）。 2.三类方法辨析：定义法、对角线法、三直角法选择填空易错点。 3.平行四边形基础上证矩形，对角线相等易错失分点。 【应对策略】 （1）思路模板 ① ：先证平行四边形 → 再证一个直角 → 得矩形。 （2）思路模板 ② ：先证平行四边形 → 再证对角线相等 → 得矩形。 （3）思路模板 ③ ：直接证四边形三个内角为直角 → 得矩形。 （4）证明优先选对角线方法，计算最简单；角度法适合直角多图形。 考向四、平行线间的距离 1.概念辨析：垂线段长度、两点距离易混淆。 2.利用平行线距离处处相等，求矩形高、面积转化计算。 3.选择基础题，矩形对边距离与边长关系填空。 【应对策略】 （1）牢记：平行线距离一定是垂线段长度，不是斜线段。 （2）性质：任意两条平行线间距处处相等，面积等积变形直接用。 （3）矩形两组对边平行，对边垂直距离就是矩形长与宽，直接代入面积公式。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1.下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 2.下列条件中，不能判定一个四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 有一个角是直角的平行四边形 3.要检验一个四边形的桌面是不是矩形,可行的测量方案是(　　) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是不是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC交BD于点O,再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(　　) A.AB∥CD,AB=AD　　　B.OA=OC,BC=CD C.AB=CD,AC=BD　　　D.AD=BC,AC=BD 5.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(　　) A.①　　　　B.② C.③　　　　D.④ 6.如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是(　　) A.线段AB的长度　B.线段AB C.线段CD的长度　D.线段CD 7.在矩形中，、相交于点O，若，则的长为( ). A.4 B.6 C.8 D.10 8.如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则( ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，，，对角线和交于点O，过点O作垂直于，交于点E，则的长为( ) A.3 B.4 C.5 D. 10.如图,四边形ABCD是长方形,把沿AC翻折到,与BC交于点E,若,,则BE的长是( ) A. B. C. D.1 （二）填空题 11．已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 　 　cm2． 12．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，若AB＝2，则DE的长为 　 　． 13．如图，点E、F均在菱形ABCD的对角线BD上，且四边形AECF为矩形，若AE＝2，EF＝BD，则AB的长度为 　 　． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　 　． 16．如图，矩形ABCD中，AC＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 　 　． 17．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR＝5，EF＝6.5，则BC的长为 　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，CE平分∠BCD，点M是AB边的中点，过点M做MN∥CE交BC于点N，连接EM，若EM恰好平分∠AEC，且，则AE的长是 　 　． 19．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E是BC边上一点，ED平分∠AEC，F为AE的中点，连接DF，则DF的长为 　 　． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． （三）解答题 21.如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且. (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离 22.如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F. (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长. 23.如图,在四边形中,,,,,点E,F分别是,的中点,连接,. (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数. 24.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD 理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点． ∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABCD． （1）请补全以上证明过程． （2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明． 25.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 26.矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接. (1)如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； (2)当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值. 五．提分特训 （一）选择题 1. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ） A. AO=OC B. AC=BD C. AC⊥BD D. BD平分∠ABC 4. 如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（　　） A. AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B. AC＝BD，∠B＝∠C＝90° C. AB＝CD，∠B＝∠C＝90° D. AB＝CD，AC＝BD 5. 如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 55° 8.如图,在矩形中,对角线相交于点O,,,则的长是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 9.如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 10.如图，矩形的对角线，相交于点O，且，，点E为上一点，，连接，则的长为( ) A. B. C.或 D.6 （二）填空题 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是 　 　． 12．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝4，则CD的值为 　 　． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点B、F，连接CE，则△DCE的面积为 　 　． 14．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC，垂足为E，且平分∠CBD，则BE的长为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是边AB的中点，若∠A＝25°，则∠DCE＝　 　°． 16．如图，矩形纸片ABCD，CD＝1，点E在AB上，若点B关于CE的对称点B'落在AD上时，∠B'CE＝22.5°，则BE+BC的值为 　 　． 17．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若∠ADF＝2∠DAC，BE＝3，CD＝，则线段AC的长为 　 　． 18．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为BC的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边AD上，记折痕为MN，则折痕MN的长为　 　． 19．在矩形ABCD中，BC＝4，E为AD的中点，点F在射线AB上，BF＝3，过点E作EG⊥CF于点G，EF平分∠AEG，则AB的长为 　 　． 20．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连接AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为 　 　． （三）解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）． （1）求CE的长； （2）写出点E的坐标． 22．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数． （2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度． 24.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求BF的长； （3）求折痕AF长． 25．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 26. 【问题背景】：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF． 小华同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程． 证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADP中，Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），……请完成剩余的证明过程． 【变式探究1】：如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，且AD＝2DF，AB＝2AD，请探究BE与EC的数量关系，并说明理由． 【变式探究2】：如图3，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，∠EFC＝45°，请直接写出EF、BE、DF三条线段之间的数量关系：　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $