2025-2026学年苏科版八年级数学下册期中提分特训3《平行四边形》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训3 《平行四边形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、平行四边形的定义 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形ABCD记作 “ ________ ” ，读作 “ 平行四边形ABCD ” 。 二、平行四边形的性质 1.边的性质：平行四边形的两组对边分别________且________。 2.角的性质：平行四边形的两组对角分别________，邻角________。 3.对角线的性质：平行四边形的对角线互相________。 4.对称性：平行四边形是________对称图形，对称中心是________的交点。 5.周长：平行四边形的周长等于一组邻边长度和的________倍。 三、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 2.边的判定定理1：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 3.边的判定定理2：一组对边________且________的四边形是平行四边形。 4.角的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形。 5.对角线的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形。 四、平行线间的距离以及面积计算 1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫做这两条平行线之间的距离。 2.平行线间的距离处处________。 3.平行四边形的面积= × ，用字母表示为S=________。 4.同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积________。 ) ( 【答案】 一、平行四边形的定义 1.平行 2. ▱ ABCD 二、平行四边形的性质 1.平行；相等 2.相等；互补 3.平分 4.中心；对角线 5.2 三、平行四边形的判定 1.平行 2.相等 3.平行；相等 4.相等 5.平分 四、平行线间的距离以及面积计算 1.垂线段长度 2.相等 3.底；对应底边上的高；ah 4.相等 )三．考向分析+应对策略 ( 考向1：平行四边形的定义 1.判断给定四边形是否为平行四边形，区分平行四边形与一般四边形、梯形的差异，考查对定义的精准理解。 2.利用 “ 两组对边分别平行 ” 的定义，进行简单的角度推导、线段平行关系判定，为后续性质与判定学习铺垫。 3.以选择题、填空题为主，偶尔出现在几何证明题的第一步条件推导。 4.易错点： （1）混淆定义核心：误将 “ 一组对边平行 ” 当作平行四边形判定依据，忽略 “ 两组对边分别平行 ” 的关键条件。 （2）无法结合定义挖掘隐含平行条件，解题时遗漏线段平行关系。 【应对策略】 （1）牢记定义本质：熟练背诵两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，标注核心关键词 “ 两组 ”“ 分别平行 ” ，通过对比梯形（一组对边平行）强化记忆。 （2）符号语言转化：掌握定义的符号表达，若在四边形ABCD中，AB ∥ CD，AD ∥ BC，则四边形ABCD是平行四边形，培养几何语言转化能力。 （3）多做概念判断题，梳理易混淆概念，夯实定义基础，避免概念性失分。 考向2：行四边形的性质 1.边的性质：考查对边平行且相等，用于计算边长、周长，推导线段等量关系。 2.角的性质：考查对角相等、邻角互补，用于角度计算、角的等量代换。 3.对角线性质：考查对角线互相平分，用于线段长度计算、全等三角形证明，是高频考点。 4.综合应用：结合三角形、平行线知识，在解答题中进行边长、角度、周长的综合求解，常与图形折叠、平移结合命题。 5.易错点 （1）性质记忆不全，解题时遗漏 “ 对角线互相平分 ”“ 邻角互补 ” 等关键性质。 （2）混淆平行四边形与矩形、菱形的特殊性质，误用性质解题。 （3）计算周长时，忽略 “ 对边相等 ” ，重复计算边长。 【应对策略】 （1）分类梳理记忆：按边、角、对角线、对称性分类整理性质，构建知识框架： 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分； 对称性：中心对称图形。 （2）题型专项突破：针对性练习性质计算题，学会从题干中提取边、角、对角线条件，快速匹配对应性质求解。 （3）规范解题步骤：解答题中每一步推理标注性质依据，养成 “ 条件 → 性质 → 结论 ” 的严谨推理习惯，避免逻辑漏洞。 （4）易混性质区分：明确平行四边形是基础图形，其性质不包含直角、邻边相等等特殊条件，与特殊四边形性质严格区分。 考向3：平行四边形的判定 ) ( 1.判定定理考查：逐一考查五大判定方法，包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分，以证明题为主。 2.判定方法选择：根据题干已知条件，灵活选用最优判定定理，简化证明过程。 3.综合证明题：结合三角形全等、平行线性质，证明四边形是平行四边形，再反向应用性质求解线段、角度问题，是几何解答题必考题型。 4.易错点 （1）判定定理混淆，错用 “ 一组对边平行，另一组对边相等 ” 判定平行四边形，该条件可能构成等腰梯形。 （2）证明过程逻辑不严谨，缺少关键条件推导，直接得出判定结论。 （3）忽略题干隐含条件，无法有效结合已知条件匹配判定定理。 【应对策略】 （1）熟记判定定理：整理判定定理口诀，方便记忆： “ 两组平行、两组相等、一组平行且相等、对角相等、对角线平分，均可判定平行四边形 ” 。 （2）掌握判定技巧：根据已知条件优选方法，已知一组对边平行，证平行或相等；已知对角线，证互相平分；已知角，证对角相等或邻角互补。 （3）强化证明训练：模仿教材例题规范书写证明步骤，保证每一步推理有理有据，多做综合证明题，提升逻辑推理能力。 （4）易错点规避：重点牢记 “ 一组对边平行且相等 ” 是有效判定， “ 一组对边平行，另一组对边相等 ” 不能判定，针对性练习错题，强化认知。 考向4：平行线间的距离以及面积计算 1.平行线间的距离：考查概念理解，明确平行线间距离处处相等，用于判断等高图形、求解高的长度。 2.面积计算：核心考查平行四边形面积公式\boldsymbol{S=底 × 高}，题型包括直接计算面积、逆求底或高、等积变形、图形拼接面积求解。 3.综合应用：结合动点问题、图形分割，求解面积最值、阴影部分面积，考查知识灵活应用能力。 4.易错点： （1）混淆 “ 高 ” 的概念，找错对应底边的高，导致面积计算错误。 （2）忽略平行线间距离相等的性质，无法解决等积变形问题。 （3）复杂图形中，无法拆分图形，找准平行四边形的底和高。 【应对策略】 （1）吃透核心概念：理解平行线间的距离是两条平行线间垂线段的长度，且处处相等，这是等积变形的核心依据。 （2）牢记面积公式：熟练掌握S=ah（a为底，h为对应底边上的高），明确高与底必须对应，解题时先找准底边，再找对应垂线段高。 （3）掌握等积技巧：利用 “ 平行线间距离相等 ” ，同底等高的平行四边形面积相等，快速解决面积转化问题。 （4）复杂图形拆解：遇到组合图形，先拆分出平行四边形，单独确定底和高，再进行面积计算，逐步求解。 【备考策略】 1.夯实基础：熟练背诵定义、性质、判定定理，理清知识脉络，做到概念无混淆、定理无遗漏。 2.题型专项训练：分考点刷题，重点突破性质计算、判定证明、面积求解三大题型，总结解题思路与方法。 3.错题复盘总结：整理易错题型、经典考题，标注错误原因，定期复盘，避免重复犯错。 4.规范答题习惯：几何题书写工整，推理过程严谨，计算步骤清晰，确保基础题不丢分、综合题少扣分。 5.综合能力提升：多做平行四边形与三角形、平行线结合的综合题，锻炼知识迁移能力，适配考试综合性命题趋势。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．如图，的对角线交于点，已知，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8，BD=12，AC=6，∴BC=AD=8，∴△OBC的周长为：OB+OC+BC=6+3+8=17，故答案为：C. 2．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝55°，那么∠B的度数是（　　） A．55° B．45° C．125° D．145° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠A=180°，∵∠A=55°，∴∠B=180°-∠A=125°．故答案为：C． 3．平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】A 【解析】A、平行四边形对角线互相平分但不一定垂直，故符合题意；B、平行四边形对边平行且相等，故不符合题意；C、平行四边形对角线互相平分，故不符合题意；D、平行四边形对角相等，故不符合题意；故答案为：A． 4．如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（　　） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【解析】如图∵▱ABCD∴AD∥CB，AB∥CD∵EF∥AD，HN∥AB∴AD∥CB∥EF，HN∥AB∥CD∴四边形AHGE、AHBN、EGNB、HDFG、HDNC、AEFD、BEFC、GFCN、ABCD是平行四边形。一共由9个故答案为：B 5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.故答案为：C. 6．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　） A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE 【答案】D 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD=BC，∴∠H=∠HBG，∵∠HBG=∠HBA， ∴∠H=∠HBA，∴AH=AB，同理可证BG=AB，∴AH=BG，∵AD=BC，∴DH=CG，故C不符合题意， ∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，∴OH=OB，故A不符合题意，∵DF∥AB，∴∠DFH=∠ABH，∵∠H=∠ABH，∴∠H=∠DFH，∴DF=DH，同理可证EC=CG，∵DH=CG，∴DF=CE，故B不符合题意， 无法证明AE=AB，故答案为：D． 7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ADE=∠ABC=90°，在△MBD和△EDA中，，∴△MBD≌△EDA，∴MD=AE，DE=MB，∵DE//MB，∴四边形DMBE是平行四边形，∴MD=BE，∵AC＝18，BC＝14，∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．故答案为：C． 8.已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B　 【解析】由题图可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,故选B. 9.如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为(　　) A．30 B．25 C．22.5 D．50 【答案】B 【解析】过P作PG⊥AB于G，∵S平行四边形ABCD＝AB×PG＝100，S△ABP＝AB×PG＝50，∴S△ADP+S△BCP=100−50＝50，∵E、F分别是线段PA、PB的中点，∴△ADE的面积为△ADP面积的一半，△BCF的面积为△BCP面积的一半，∴图中阴影部分的总面积=（S△ADP+S△BCP）=×50=25.故答案为：B. 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，∴BO=AC3=2，∵A，C3，两点纵坐标相等，∴C3O=BC3=，同理可得出AO=AB= ，进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形；故此选项错误．故选D． （二）填空题 11.如图，▱ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝　　度． 【答案】25 【解析】∵▱ABCD∴AD∥BC∴∠B＝180°﹣∠A＝65°又∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣65°＝25°．故答案为25． 12.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】　12 【解析】　连接AC(图略),设BC=x,则CD=10-x,易知S△ABC=S△ACD,∴2x=3(10-x),解得x=6, ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AE=6×2=12. 13.如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  【答案】　BE=DF(答案不唯一) 【解析】　可以添加BE=DF(答案不唯一).∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C, AB=CD,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,在△AEG和△CFH中, ∴△AEG≌△CFH(ASA). 14.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  【答案】　7 cm或17 cm 【解析】　分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12-5=7(cm).②当EF不在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF的距离为7 cm或17 cm. 15．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________； 【答案】 【解析】如图，延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．∵M为BC的中点，∴BM=CM．在△ABM和△ECM中， ， ∴△ABM≌△ECM（AAS），∴AB=CD=CE，AM=EM=4，∵N为边DC的中点，∴NE=3NC=AB，即AB=NE，∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，∴∠AEH=30°， ∴AH=AE=1，∴EH= = ，∴NH=AN-AH=2-1=1，∴EN==2，∴AB=×2=；故答案为． 16. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）． 【答案】BE=DF 【解析】如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，∴可增加BE＝DF， 故答案为：BE＝DF（答案不唯一）． 17．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__________________________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 18.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),要使四边形ABCD成为平行四边形,则点D的坐标为　　　　.  【答案】(0,3)　 【解析】:∵点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),∴OA=2,OB=3,OC=2,∴OA=OC,当OD=OB=3时,四边形ABCD成为平行四边形,∴点D的坐标为(0,3). 19.如图,在▱ABCD中,两条对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有　　　　个.  【答案】 4　 【解析】:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形;根据SAS可分别证明△AHD≌△CFB,△AFB≌△CHD,可得AH=CF,AF=CH,∴四边形AHCF是平行四边形;同理可得四边形BGDE是平行四边形,∴以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH,四边形ABCD,四边形AHCF,四边形BGDE,共有4个. 20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  【答案】　2或4 【解析】　在△ABC中,∠BAC=90°,∴BC==8 cm,当点F在C的左侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BC-BF=(8-3t)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,∴t=8-3t,解得t=2;当点F在C的右侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BF- BC=(3t-8)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,∴t=3t-8,解得t=4.综上可得,当t=2或4时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.故答案为2或4. （三）解答题 21．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠AFD，∵AD＝DF， ∴∠DAE＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，∵点E为BC中点，∴BE＝EC=AD=2，∵AD＝DF＝4，∴CD＝AB＝2，∵∠B＝60°，∴BC边的高是， ∴▱ABCD的面积＝4． 22．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴AF∥EC，∵EA⊥AC，FC⊥AC，∴EA∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴EC＝AF，∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，∴在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示：∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∵AG⊥EC，∴AG=EC=AF，∵∠B＝30°，∴AG=AB，∴AF=AB，∴AB＝AF． 23．如图四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由． 解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF ∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中， ∴△ABE≌△FCE． （2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF， ∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG． 24．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点． 如图：当点与重合时，________； 如图，当点与与均不重合时，________； 如图，当点在（或）的延长线时，________． 拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 解:（1）设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h，∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积，； （2）与（1）同理可得； （3）与（1）同理可得； 拓展推广：根据（1）的结论，，， ∴阴影部分的面积； 实践应用：根据前面信息，，， ， ∴三角形区域的面积． 25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF. (2)成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. (3)①直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与AD,BC相交,则当EF⊥BC时,EF最短. ∵平行四边形ABCD的面积为20,BC=10, ∴S平行四边形ABCD=BC·EF=10EF=20,∴EF=2. ②直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与DC、BA所在直线相交,则当EF⊥AB时,EF最短,同①的方法,得出EF长度的最小值为=.∵>2,∴直线EF在绕点O旋转的过程中,当EF⊥BC时,EF最短,EF长度的最小值为2. 26.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC,交CA的延长线于点M,连接BM. (1)求证:△BAD≌△CAE. (2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数. (3)求证:四边形MBDE是平行四边形. 解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠BAC=180°-2∠ABC.由题意知AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠DAE=180°-2∠ADE.∵∠ADE=∠ABC,∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∴△BAD≌△CAE(SAS). (2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°.∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE=30°.∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°.∵EM∥BC,∴∠MEC+∠ECB=180°.∴∠MEC=180°-60°=120°. (3)证明:∵△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACB,∴∠ACB=∠ACE.∵EM∥BC,∴∠EMC=∠ACB,∴∠ACE=∠EMC,∴CE=EM,∴BD=EM.又∵EM∥BD,∴四边形MBDE是平行四边形. 五．提分特训 （一）选择题 1.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 【答案】B　 【解析】如图,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H.∵∠CAB=30°,∴CH=1/2AC=1/2×10 =5(cm),∴S▱ABCD=AB·CH=6×5=30(cm2).故选B. 2.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 【答案】 C　 【解析】当直线c在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4-1=3 cm;当直线c不在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4+1=5 cm.综上所述,a与c的距离为5 cm或3 cm.故选C. 3. 以长为5cm， 4cm， 7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分别以4cm，5cm为边，7cm为对角线；或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．故选C． 4. 在▱ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形是（ ） A. 四个内角平分线围成的四边形 B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【解析】∵▱ABCD的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，∴选项A正确；∵过▱ABCD四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，∴选项B正确；∵以▱ABCD各边中点为顶点的四边形是平行四边形，∴选项C正确；∵以▱ABCD一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，∴选项D不正确．故选D． 5. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】如图所示：第四个顶点不可能在第三象限．故选C． 6．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm 【答案】D 【解析】如图所示：①当点E在相等AD上时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE：ED＝3：2，设AE＝AB＝3k，DE＝2k，∵平行四边形ABCD的周长为16cm，∴AB+AD＝8，∴3k+5k＝8，解得k＝1，∴AB＝3cm．②当点E在AD的延长线上时， 同理可得AB＝AE＝3k，DE＝2k，∵AB+AD＝8，∴3k+k＝8，∴k＝2，∴AB＝6cm，综上所述，AB的长为3cm或6cm． 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为（　D　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【解析】如图，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝2，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵CE2+DE2＝42+22＝20，CD2＝（2）2＝20，∴CE2+DE2＝CD2，∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝4， 8．如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长CO交AB于E，过点C作CF⊥AD于F，∵，，∴四边形ABCD为平行四边形，∵OC⊥CD，∴CE⊥AB，∵△AOB为含45°三角板，∴AO=BO， ∴AE=BE=OE=，∵∠ODC=30°，∴OD=2OC，在Rt△COD中，即，解得OC=2∴CE=OE+OC=2+，∴S平行四边形ABCD=AB·CE=AD·CF， ∴ 9．如图，在平行四边形中，，点为平行四边形内一点且，若，则的长为　　 A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取，的中点，，连接，，，则，在平行四边形中，，，，的中点为，，，，，，，，过点作交于点，， ，，，，，，为等腰直角三角形，． 10.如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到△，交于点，连接，若，，，则的长是　　 A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形，，，，，将沿翻折至△，，，，， ，，，，，， ． （二）填空题 11.如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE＝60°，AE＝2，AC+BD＝12，那么△BOC的周长等于___． 【答案】10 【解析】∵AE⊥BD于点E，∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝2∴AD＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝4，∵AC+BD＝12，∴BO+CO＝6，∴△BOC的周长为， 12.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  【答案】　112.5 【解析】　根据翻折可知∠B'AC=∠BAC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠BAC =∠DCA,∴∠BAC=∠DCA=∠B'AC,∵∠1=∠B'AC+∠DCA,∴∠1=2∠BAC=45°,∴∠BAC=22.5°,∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-22.5°-45°=112.5°. 13.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,线段EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为　　　　.  【答案】　16 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,在△DOE和△BOF中,∴△DOE≌△BOF(ASA),∴DE=BF,OE=OF=2,∴EF=4, ∵平行四边形ABCD的周长为24,∴AB+AD=12,∴四边形ABFE的周长=EF+AE+AB+BF=EF+AE+AB+DE=EF+AB+AD=4+12=16. 14.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为　　　　.  【答案】　10 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥AC,∴AE=CE, ∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=5.∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=10. 15. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 【答案】23 【解析】一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AQFO、ABMI、AFGI共6个;一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个；还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN、AQSN，共11个；6+6+11=23个． 16. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：_________使四边形ABCD是平行四边形 【答案】AB=BF 【解析】∵CD∥AF，∴∠CDE=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵∠CED=∠BEF，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴BF=CD，∵当AB=BF时，则AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案是：AB=BF． 17．在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是________． 【答案】 4　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD.又∵BC＝AD＝6，BE＝2，∴CE＝CD＝4. 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 【答案】 30° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠D＝80°.∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°.∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.故答案为30°. 19.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  【答案】90°或180°或270° 【解析】连结AC,取BC的中点E,连结AE,如图所示,则BE=CE=1/2BC,∵BC=2AB,∴BE=AB, 又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE. ∴∠EAC=∠ECA=1/2∠AEB=30°,∴∠BAC=90°,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=90°. 易知∠CPD<90°.分三种情况讨论.①如图,当点P在线段AC上时,∠PCD=90°,此时α的度数为90°.②如图,当点P在CA的延长线上时,∠PCD=90°,此时α的度数为360°-90° =270°.③如图,当P在BA的延长线上时,∠PDC=90°,α的度数为180°.综上所述,α的度数为90°或180°或270°. 20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是________ 【答案】或 【解析】：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． （三）解答题 21.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE. (1)求证:AE=CF; (2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC. 证明　(1)∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EC=BC,AF=AD,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠ADC,∴BE=DF,在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF. （2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵AE=2BE,BC=2BE,∴AE=AD, ∴∠ADE=∠AED,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,∴∠AED=∠CED,∴ED平分∠AEC. 22．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF. (1)求证：△AEC≌△BFD. (2)判断四边形DECF的形状，并证明． 解：(1)证明∵AD＝BC，∴AD＋DC＝BC＋DC，∴AC＝BD，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B， 在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD(SAS). (2)四边形DECF是平行四边形．∵△AEC≌△BFD，∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，∴CE∥DF， ∴四边形DECF是平行四边形． 23.如图分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明)． (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时，连接GF，EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 解：(1)GF⊥EF，GF＝EF. (2)(1)中的结论仍成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°.∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，∴∠EAF＋∠FDC ＝45°.∵∠CDF＋∠GDF＝45°，∴∠EAF＝∠GDF，∴△EAF≌△GDF(SAS)，∴EF＝GF，∠EFA＝∠GFD，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝∠DFA＝90°，∴GF⊥EF. 24.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,将△ABC沿AC所在直线折叠,得到△AB'C,B'C与AD交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形. (1)求证:∠EAC=∠ECA; (2)求阴影部分的面积; (3)连接B'D,证明:四边形ACDB'为平行四边形. 解：(1)证明:根据折叠的性质,得∠BCA=∠B'CA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠EAC=∠BCA,∴∠EAC=∠ECA. (2)过点E作EF⊥AC于F(图略),∵∠EAC=∠ECA,∴AE=EC,∴AF=FC,∵△CDE是等边三角形,四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=CE=3,∠DEC=60°,∵∠DEC=∠EAC+∠ECA,∠EAC=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴在Rt△EFC中,EF=EC=,∴CF==,∴AC=2CF=3,∴阴影部分的面积为AC·EF=×3×=. (3)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,由(2)可知,∠ECD=60°,∠ACE= 30°,∴∠ACD=90°,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=90°,由折叠可知∠B'AC=∠BAC=90°, AB=A'B,∴B、A、B'三点在同一条直线上,A'B=CD,∴AB'∥CD,∴四边形ACDB'为平行四边形. 25.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 解:(1)在Rt△AED中,∠AED=90°,∠DAE=30°,DE=,∴AD=2,∴AE=3, ∵AE=AB,∴AB=3.∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=6+4. (2)证明:如图,延长FA至H,使AH=DE,连接BH,∵AB∥CD,AE⊥DC,∴∠AED=∠EAB=90°, ∴∠HAB=90°,∵DE=AH,AE=AB,∴△HAB≌△DEA(SAS),∴HB=AD=BC,∠3=∠4.∵AD∥BC,BM平分∠ABC,∴∠1=∠MBC=∠2,∵∠5=∠1+∠4,∠HBF=∠2+∠3,∴∠5=∠HBF,∴HB=HF,∴HF=BC,∴AF+DE=BC. (3)补全图形如图,延长DC至M,使CM=CB,连接BM,作直线MN,过P作PH⊥直线MN于点H,交EM于Q,∵∠DAE=30°,∠AED=90°,∴∠D=60°,∴∠DCB=120°,∠BCM=60°.∴△BCM是等边三角形,∴BC=BM,∠CBM=60°,∵△BGN为等边三角形,∴BG=BN,∠GBN=60°,∴∠GBN=∠CBM,∴∠GBC=∠NBM,∴△BMN≌△BCG(SAS),∴∠BMN=∠BCG=120°,∴点N在直线MN上运动. ∴当点N与点H重合时,PN取得最小值,最小值为线段PH的长.∵∠D'A'E=∠A'EP,∴A'P=PE, 由旋转可知∠D'A'E=∠DAE=30°,∠A'D'E=∠D=60°,A'D'=AD=2,∴∠D'A'E=∠A'EP=30°,∴∠D'PE=60°,∴△PED'为等边三角形,∴PE=PD',∴PE=,∵∠BMC=60°,∴∠EMN=60°,∴∠MQH=∠PQE=30°,∴PQ=2PE=2,∴EQ=3,∵EC=3,CM=CB=2∴EM=3+,∴QM=.在Rt△QMH中,∠MQH=30°,∴MH=,∴QH=,∴PH=PQ+QH=2+,∴PN的最小值为2+ 26．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式； （2）当t=　 　时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝4，AM＝BM＝4，由题意得：CQ＝2t，∴BQ＝BC−CQ＝16−2t，∴S＝BQ×AM＝（16−2t）×4＝−4t＋32，即S＝−4t＋32（0＜t≤6）； （2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，∵AD∥BC，∴梯形PQCD的面积＝（PD＋CQ）×AM＝（6−t＋2t）×4＝12+2t，∵△BPQ的面积＝四边形PQCD的面积相等，∴−4t＋32=12+2t，解得：t＝，即t＝时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；故答案为：； （3）∵AD∥BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ， ∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，分两种情况：①当Q运动到E和B之间，则得：2t−8＝6−t，解得：t＝，②当Q运动到E和C之间，则得：8−2t＝6−t，解得：t＝2，综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训3 《平行四边形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、平行四边形的定义 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形ABCD记作 “ ________ ” ，读作 “ 平行四边形ABCD ” 。 二、平行四边形的性质 1.边的性质：平行四边形的两组对边分别________且________。 2.角的性质：平行四边形的两组对角分别________，邻角________。 3.对角线的性质：平行四边形的对角线互相________。 4.对称性：平行四边形是________对称图形，对称中心是________的交点。 5.周长：平行四边形的周长等于一组邻边长度和的________倍。 三、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 2.边的判定定理1：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 3.边的判定定理2：一组对边________且________的四边形是平行四边形。 4.角的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形。 5.对角线的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形。 四、平行线间的距离以及面积计算 1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫做这两条平行线之间的距离。 2.平行线间的距离处处________。 3.平行四边形的面积= × ，用字母表示为S=________。 4.同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积________。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向1：平行四边形的定义 1.判断给定四边形是否为平行四边形，区分平行四边形与一般四边形、梯形的差异，考查对定义的精准理解。 2.利用 “ 两组对边分别平行 ” 的定义，进行简单的角度推导、线段平行关系判定，为后续性质与判定学习铺垫。 3.以选择题、填空题为主，偶尔出现在几何证明题的第一步条件推导。 4.易错点： （1）混淆定义核心：误将 “ 一组对边平行 ” 当作平行四边形判定依据，忽略 “ 两组对边分别平行 ” 的关键条件。 （2）无法结合定义挖掘隐含平行条件，解题时遗漏线段平行关系。 【应对策略】 （1）牢记定义本质：熟练背诵两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，标注核心关键词 “ 两组 ”“ 分别平行 ” ，通过对比梯形（一组对边平行）强化记忆。 （2）符号语言转化：掌握定义的符号表达，若在四边形ABCD中，AB ∥ CD，AD ∥ BC，则四边形ABCD是平行四边形，培养几何语言转化能力。 （3）多做概念判断题，梳理易混淆概念，夯实定义基础，避免概念性失分。 考向2：行四边形的性质 1.边的性质：考查对边平行且相等，用于计算边长、周长，推导线段等量关系。 2.角的性质：考查对角相等、邻角互补，用于角度计算、角的等量代换。 3.对角线性质：考查对角线互相平分，用于线段长度计算、全等三角形证明，是高频考点。 4.综合应用：结合三角形、平行线知识，在解答题中进行边长、角度、周长的综合求解，常与图形折叠、平移结合命题。 5.易错点 （1）性质记忆不全，解题时遗漏 “ 对角线互相平分 ”“ 邻角互补 ” 等关键性质。 （2）混淆平行四边形与矩形、菱形的特殊性质，误用性质解题。 （3）计算周长时，忽略 “ 对边相等 ” ，重复计算边长。 【应对策略】 （1）分类梳理记忆：按边、角、对角线、对称性分类整理性质，构建知识框架： 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分； 对称性：中心对称图形。 （2）题型专项突破：针对性练习性质计算题，学会从题干中提取边、角、对角线条件，快速匹配对应性质求解。 （3）规范解题步骤：解答题中每一步推理标注性质依据，养成 “ 条件 → 性质 → 结论 ” 的严谨推理习惯，避免逻辑漏洞。 （4）易混性质区分：明确平行四边形是基础图形，其性质不包含直角、邻边相等等特殊条件，与特殊四边形性质严格区分。 考向3：平行四边形的判定 1.判定定理考查：逐一考查五大判定方法，包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分，以证明题为主。 2.判定方法选择：根据题干已知条件，灵活选用最优判定定理，简化证明过程。 3.综合证明题：结合三角形全等、平行线性质，证明四边形是平行四边形，再反向应用性质求解线段、角度问题，是几何解答题必考题型。 4.易错点 （1）判定定理混淆，错用 “ 一组对边平行，另一组对边相等 ” 判定平行四边形，该条件可能构成等腰梯形。 （2）证明过程逻辑不严谨，缺少关键条件推导，直接得出判定结论。 （3）忽略题干隐含条件，无法有效结合已知条件匹配判定定理。 ) ( 【应对策略】 （1）熟记判定定理：整理判定定理口诀，方便记忆： “ 两组平行、两组相等、一组平行且相等、对角相等、对角线平分，均可判定平行四边形 ” 。 （2）掌握判定技巧：根据已知条件优选方法，已知一组对边平行，证平行或相等；已知对角线，证互相平分；已知角，证对角相等或邻角互补。 （3）强化证明训练：模仿教材例题规范书写证明步骤，保证每一步推理有理有据，多做综合证明题，提升逻辑推理能力。 （4）易错点规避：重点牢记 “ 一组对边平行且相等 ” 是有效判定， “ 一组对边平行，另一组对边相等 ” 不能判定，针对性练习错题，强化认知。 考向4：平行线间的距离以及面积计算 1.平行线间的距离：考查概念理解，明确平行线间距离处处相等，用于判断等高图形、求解高的长度。 2.面积计算：核心考查平行四边形面积公式\boldsymbol{S=底 × 高}，题型包括直接计算面积、逆求底或高、等积变形、图形拼接面积求解。 3.综合应用：结合动点问题、图形分割，求解面积最值、阴影部分面积，考查知识灵活应用能力。 4.易错点： （1）混淆 “ 高 ” 的概念，找错对应底边的高，导致面积计算错误。 （2）忽略平行线间距离相等的性质，无法解决等积变形问题。 （3）复杂图形中，无法拆分图形，找准平行四边形的底和高。 【应对策略】 （1）吃透核心概念：理解平行线间的距离是两条平行线间垂线段的长度，且处处相等，这是等积变形的核心依据。 （2）牢记面积公式：熟练掌握S=ah（a为底，h为对应底边上的高），明确高与底必须对应，解题时先找准底边，再找对应垂线段高。 （3）掌握等积技巧：利用 “ 平行线间距离相等 ” ，同底等高的平行四边形面积相等，快速解决面积转化问题。 （4）复杂图形拆解：遇到组合图形，先拆分出平行四边形，单独确定底和高，再进行面积计算，逐步求解。 【备考策略】 1.夯实基础：熟练背诵定义、性质、判定定理，理清知识脉络，做到概念无混淆、定理无遗漏。 2.题型专项训练：分考点刷题，重点突破性质计算、判定证明、面积求解三大题型，总结解题思路与方法。 3.错题复盘总结：整理易错题型、经典考题，标注错误原因，定期复盘，避免重复犯错。 4.规范答题习惯：几何题书写工整，推理过程严谨，计算步骤清晰，确保基础题不丢分、综合题少扣分。 5.综合能力提升：多做平行四边形与三角形、平行线结合的综合题，锻炼知识迁移能力，适配考试综合性命题趋势。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．如图，的对角线交于点，已知，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝55°，那么∠B的度数是（　　） A．55° B．45° C．125° D．145° 3．平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 4．如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（　　） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 6．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　） A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE 7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（　　） A．16 B．24 C．32 D．40 8.已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 9.如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为(　　) A．30 B．25 C．22.5 D．50 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） （二）填空题 11.如图，▱ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝　　度． 12.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  13.如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  14.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  15．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________； 16. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）． 17．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__________________________． 18.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),要使四边形ABCD成为平行四边形,则点D的坐标为　　　　.  19.如图,在▱ABCD中,两条对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有　　　　个.  20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  （三）解答题 21．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积． 22．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 23．如图四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由． 24．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点． 如图：当点与重合时，________； 如图，当点与与均不重合时，________； 如图，当点在（或）的延长线时，________． 拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 26.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC,交CA的延长线于点M,连接BM. (1)求证:△BAD≌△CAE. (2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数. (3)求证:四边形MBDE是平行四边形. 五．提分特训 （一）选择题 1.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 2.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 3. 以长为5cm， 4cm， 7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在▱ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形是（ ） A. 四个内角平分线围成的四边形 B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 5. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 8．如图，把含，角的两块直角三角板放置在同一平面内，若，，当时，与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，，点为平行四边形内一点且，若，则的长为　　 A．3 B． C． D． 10.如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到△，交于点，连接，若，，，则的长是　　 A．1 B． C． D． （二）填空题 11.如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE＝60°，AE＝2，AC+BD＝12，那么△BOC的周长等于___． 12.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  13.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,线段EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为　　　　.  14.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为　　　　.  15. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 16. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：_________使四边形ABCD是平行四边形 17．在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是________． 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 19.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是________ （三）解答题 21.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE. (1)求证:AE=CF; (2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC. 22．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF. (1)求证：△AEC≌△BFD. (2)判断四边形DECF的形状，并证明． 23.如图分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明)． (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时，连接GF，EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 24.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,将△ABC沿AC所在直线折叠,得到△AB'C,B'C与AD交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形. (1)求证:∠EAC=∠ECA; (2)求阴影部分的面积; (3)连接B'D,证明:四边形ACDB'为平行四边形. 25.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 26．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式； （2）当t=　 　时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $