精品解析：陕西榆林市定边县2026年九年级第一次模拟训练数学试卷

定边县2026年九年级第一次模拟训练 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 2 B. C. D. 5 2. 竹编是以竹材为原料编织器物的传统手工艺，是国家级非物质文化遗产之一．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列竹编物品形状最为接近的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 3 6. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（ ） A. 图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B. 该二次函数的最小值为 C. 图象与轴有一个交点 D. 若点，在该函数图象上，则 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在0，，，，中，无理数有________个． 10. 如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 11. 创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有________把工具需要放进箱子． 12. 如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 13. 如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接AC．若，，则k的值为________． 14. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：． 20. 随着2026年第31个世界读书日的临近，实验中学开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．同学们可以从以下四个主题“A．好书推荐、B．科普读书会、C．阅读马拉松、D．AI数字阅读互动”中任意选择一个参加． （1）若小颖在这4个主题中随机选择一个参加，则选中“B．科普读书会”的概率是________； （2）九年级的小贤和小艺也报名参加了该读书活动，请用画树状图或列表的方法，求他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 21. “山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着丰富的自然景观．张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦．张琪突发奇想，想要测量波浪谷一段岩壁的高度（），于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A的仰角，张琪沿坡面倾角（）为的坡面CD向上行进到达点D，此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为，已知，，点C，E，B在同一水平地面上．请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度．（结果保留整数；参考数据：，，，） 22. 为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． （1）当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） （2）若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 23. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级学生开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级的参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，且成绩均是整数，用表示）进行整理，分为、、、四个等级，其中分及以上为优秀． 【信息整理】信息： 等级 成绩 信息：八年级名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生成绩不完整的条形统计图如下：（其中在组中的数据是：，，） 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 / 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全图中的条形统计图，表中________，________； （2）求八年级这名学生的平均成绩； （3）若参加此次竞赛的八年级学生有人，九年级学生有人，估计竞赛成绩为优秀的学生有多少人？ 24. 如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 26. 完成下列问题 （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 （2）如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元，郁金香的种植成本为元，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定边县2026年九年级第一次模拟训练 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】． 2. 竹编是以竹材为原料编织器物的传统手工艺，是国家级非物质文化遗产之一．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列竹编物品形状最为接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解． 【详解】解：根据面动成体可以得出，旋转一周所得的几何体与的形状最为接近． 3. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：，， ， ． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算系数乘积，再根据同底数幂的乘法法则计算字母部分，即可得到结果． 【详解】解： ． 5. 如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】因为E、F、G分别是、、的中点，所以可利用三角形中位线定理，分别求出和的长度．因为，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵是中点，是中点， ∴ ， 又∵是中点， ∴ ， ∵， ∴ ． 6. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在正比例函数的图象上，可得，再结合且，进而求出的值． 【详解】解：点是正比例函数图象上的点， 将代入解析式得， ， 移项整理得 ， 将代入， 得， ， ，两边同时除以得 ． 7. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（ ） A. 图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B. 该二次函数的最小值为 C. 图象与轴有一个交点 D. 若点，在该函数图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式，先由对称轴为求出参数的值，确定函数解析式；再分别分析函数与轴、轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， ， 令，， 图象与轴的交点在轴正半轴上，错误； 函数开口向上，当时，，错误； ，， 图象与轴没有交点，错误； 开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大， 对称轴为： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ， ，正确． 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在0，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【解析】 【分析】先化简题目中的已知数，再根据无理数的定义判断得到无理数的个数． 【详解】解： 0是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有2个． 10. 如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图． 由题意得， ， ． 11. 创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有________把工具需要放进箱子． 【答案】40 【解析】 【分析】利用工具总数不变建立等量关系，设箱子数量为未知数，列一元一次方程求解箱子数量后，再计算工具总数即可． 【详解】解：设箱子共有个， 根据工具总数不变，列方程得：， 解得：， 则工具总数为（把）． 12. 如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接AC．若，，则k的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形面积的计算，解题的关键是利用同高三角形的面积比等于底的比；先连接，由得与等高，底之比为，从而，再由，得，最后由反比例函数的几何意义，得． 【详解】解：连接， ， 与等高，， ， ， ， ， 点在的图象上，轴， ， ， 由图知， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，求得．再利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵点E是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵M是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴的长为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，并将其解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 数轴略． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤，求解即可，注意一定要验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的根． 18. 如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： ． 19. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而推出，再结合已知条件，利用判定，进而得到． 【详解】略 20. 随着2026年第31个世界读书日的临近，实验中学开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．同学们可以从以下四个主题“A．好书推荐、B．科普读书会、C．阅读马拉松、D．AI数字阅读互动”中任意选择一个参加． （1）若小颖在这4个主题中随机选择一个参加，则选中“B．科普读书会”的概率是________； （2）九年级的小贤和小艺也报名参加了该读书活动，请用画树状图或列表的方法，求他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，共有16种等可能的结果，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们随机选择选到同一主题读书活动的情况有4种， 他们随机选择选到同一主题读书活动的概率． 21. “山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着丰富的自然景观．张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦．张琪突发奇想，想要测量波浪谷一段岩壁的高度（），于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A的仰角，张琪沿坡面倾角（）为的坡面CD向上行进到达点D，此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为，已知，，点C，E，B在同一水平地面上．请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度．（结果保留整数；参考数据：，，，） 【答案】82米 【解析】 【分析】过点D作于点H．可得四边形是矩形，设，则，结合，可得，然后在中，列出比例式求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 如图，过点D作于点H． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即，解得． 故这段岩壁的高度约为． 22. 为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． （1）当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） （2）若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，涉及用待定系数法求一次函数表达式、一次函数的函数值计算，熟练运用一次函数的相关公式与方法是解答本题的关键． （1）根据题意设出一次函数的一般形式，再将已知的两组数据代入，通过解二元一次方程组求出、的值，进而确定函数表达式； （2）将题目给定的数据量代入（1）中求出的函数表达式，计算对应的函数值，得到训练时间． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入， 得． 该AI模型的训练时间为分钟． 23. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级学生开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级的参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分，且成绩均是整数，用表示）进行整理，分为、、、四个等级，其中分及以上为优秀． 【信息整理】信息： 等级 成绩 信息：八年级名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生成绩不完整的条形统计图如下：（其中在组中的数据是：，，） 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 / 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全图中的条形统计图，表中________，________； （2）求八年级这名学生的平均成绩； （3）若参加此次竞赛的八年级学生有人，九年级学生有人，估计竞赛成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析，， （2）平均成绩为分 （3）估计竞赛成绩为优秀的学生有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数以及用样本估计总体的知识，熟练掌握相关统计量的定义与计算方法，读懂统计图并从中提取有效信息是解答本题的关键． （1）根据众数的定义，找出八年级成绩中出现次数最多的数确定的值；结合九年级的条形统计图和组数据，先补全条形统计图，再根据中位数的定义计算出九年级成绩的中位数，确定的值； （2）根据平均数的计算公式，将八年级名学生的成绩求和后除以人数，计算出平均成绩； （3）先分别计算出八、九年级样本中优秀学生的比例，再结合各年级的总人数，用样本估计总体的方法估算出两个年级的优秀学生总数． 【小问1详解】 解：如图，八年级中分数为的学生最多，故，九年级中分数在中间的为，故； 【小问2详解】 解：（分）， 答：八年级这名学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计竞赛成绩为优秀的学生有人． 24. 如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出．根据切线的性质可得出，结合，可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理得出，则，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为r，且， 则，． 在中，，， ∴， 解得：， ∴，，． 由（1）知， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 25. 在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 【答案】（1） （2）活动区域在水平方向上的最大宽度为 【解析】 【分析】（1）根据题意确定，，再将点代入，进行计算即可； （2）当时，得，解得，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，点A为抛物线的顶点，且距离地面， ，, 设该抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的函数表达式为， 当时，得， 解得，， ， 活动区域在水平方向上的最大宽度为． 26. 完成下列问题 （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 （2）如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元，郁金香的种植成本为元，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 【答案】（1） （2）最低成本为元 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，解直角三角形，求得，根据得出的最小值，即可求解； （2）先求得，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接，得点在以点为圆心，半径为的上运动，根据得出，设种植太阳花和郁金香所需成本为，则，连接，过点作，得出，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，解直角三角形求得，根据得出的最小值，进而求得，代入即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接，过点作，垂足为． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴的最小值为； 【小问2详解】 ∵，且， ∴． 如图2，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接， ∴， ∴． ∵， ∴点在以点为圆心，半径为的上运动， ∴． ∵， ∴． 设种植太阳花和郁金香所需成本为， 则． ∵，， ∴． 如图2，连接，过点作 ∵，，， ∴， ∴重合， ∴， ∴． 如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∴（元）， ∴最低成本为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $