专题10.4 分式的乘除（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题10.4 分式的乘除 教学目标 1.掌握分式的乘除运算法则‌：理解并能准确表述。 2.类比迁移，发展数学思维‌：通过回顾分数的乘除运算，类比得出分式的运算法则，体会“从数到式”的抽象过程，强化类比、化归思想。 3.熟练进行分式乘除运算‌：能对分子、分母为单项式或多项式的分式进行乘除运算，掌握“先因式分解 → 再约分 → 最后相乘”的基本步骤，结果化为最简分式或整式。 4.解决实际问题‌：能运用分式乘除解决与代数式、实际情境相关的简单问题，如代数恒等变形、速率比值等，提升应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）分式乘除运算法则的掌握与应用‌：要求学生能口述法则、正确书写运算过程，并在计算中规范使用。 （2）“先分解、再约分、后相乘”的运算策略‌：强调因式分解在简化运算中的关键作用，避免盲目展开导致复杂化。 2.难点 （1）分子或分母为多项式的分式运算‌：学生在面对多项式时，因式分解不熟练或约分时机不当，易导致计算错误或过程冗长。 （2）除法转化为乘法的灵活运用‌：部分学生在处理除法时忘记“颠倒除式”，或颠倒后未正确处理符号与括号，造成结果错误。 （3）运算顺序与符号处理‌：在多步混合运算中，学生易混淆乘除优先级，或在约分时忽略整体括号，导致符号或系数错误。 知识点01 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；即：。 （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：。 （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方；即：为正整数， 。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·苏科·校考期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 分式的混合运算 1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 分式混合运算注意事项：①最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式； ②分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。 3）分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 分式化简求值时需注意事项： ①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”； ②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算：(1)；(2)． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)；(2)． 题型01 分式乘法 1．（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 2．（25-26八年级下·江苏·月考）计算：__________． 3．（25-26八年级上·北京·期末）计算： 4．（25-26八年级下·成都·月考）计算：(1)．(2)． 题型02 分式除法 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）化简：______． 3．（25-26八年级下·广东·期中）计算：______． 4．（25-26八年级下·江苏·月考）化简下列分式．(1)；(2)． 题型03 分式乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算：(1)(1)；(2)． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2) 3．（25-26八年级下·江苏·周测）化简：(1)．(2)． 4．（25-26八年级上·河南·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 题型04 分式乘方 1．（25-26七年级下·广东·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东·期中）计算： （）（   ），括号内依次填：______、______、______； （）（   ）．括号内依次填：_______、_______、_______． 3．（25-26八年级下·成都·期中）计算： (1)____________；(2)________________________． 4．（25-26八年级下·成都·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 题型05 含乘方的分式乘除混合运算 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算(1)；(2) 2．（25-26八年级下·成都·专项训练）计算：（1）．（2）． 3.（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：（1）．（2）． 4．（25-26八年级下·成都·期中）计算：(1)；(2)； (3)；(4)； (5)． 题型06 分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简：(1) (2) 2．（25-26八年级下·江苏泰州·专题练习）化简：(1)； (2)； 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2)． 4．（25-26八年级上·山东泰安·月考）化简： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)；(7)； (8)；(9) 题型07 分式化简求值 1．（2026·陕西西安·一模）化简：． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简：，然后从的范围内选一个合适的整数代入求值． 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 4.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）先化简，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 题型08 分式混合运算中的错解问题 1.（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）；(2)写出完整的解答过程． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）分式：化简过程如下，请认真阅读并完成任务． ．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 ．．．．．．．．．．．． 第三步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 任务一：填空 (1)以上化简步骤中，，第_____步是通分；(2)第_____步开始出现错误： 任务二：(3)写出正确的化简过程． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第 步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 题型09 分式混合运算的实际应用 1．（25-26八年级上·广东·期中）一块麦田有，甲收割机单独收割完这块麦田需，让乙收割机来收割这块麦田，结果比甲收割机多用收割完．这两台收割机共同收割完这块地需要______h． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·月考）甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 3．（25-26八年级上·重庆·期末）【提出问题】（1）已知，试比较，的大小； 【解决问题】根据某地相关规定，民用住宅居室的窗户面积必须小于该室内地面面积，采光标准是：窗户面积和地面面积的比不小于，显然，这个比值越大住宅的采光情况越好．（2）如图，小琼家主卧原来的窗户的面积为，为了增加采光，决定将其进行改造，使其面积增加，求改造后，采光情况为原来的多少倍（3）若小琼家窗户增加的同时，将主卧墙体改造，使地面的面积也增加，则采光情况会变好吗 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又，，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ．(2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？(3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 专题10 分式最值（新定义与阅读材料） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式；(2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 4．（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得，． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）；(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 5．（2026·河南商丘·模拟预测）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·成都·期中）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 7．（25-26八年级下·江苏·期中）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 8．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 9．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 10．（24-25八年级上·湖南益阳·月考）计算：_________． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）计算：_________． 12．（24-25八年级下·湖南衡阳·月考）某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是______． 13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式_____；②若，则交换对称式的最小值为_____． 14．（2026·陕西汉中·二模）化简：． 15．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 16．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算：(1)；(2)． 17．（2026·河南周口·一模）先化简，再求值：，其中． 18．（2026·河北沧州·模拟预测）下面的分式化简题呈现了小高的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为9”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？②小颖的说法全面吗？ 19．（2025九年级下·广东广州·专题练习）先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 20．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题：(1)求证：； (2)若，则的最小值为_____．若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____．的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 分式的乘除 教学目标 1.掌握分式的乘除运算法则‌：理解并能准确表述。 2.类比迁移，发展数学思维‌：通过回顾分数的乘除运算，类比得出分式的运算法则，体会“从数到式”的抽象过程，强化类比、化归思想。 3.熟练进行分式乘除运算‌：能对分子、分母为单项式或多项式的分式进行乘除运算，掌握“先因式分解 → 再约分 → 最后相乘”的基本步骤，结果化为最简分式或整式。 4.解决实际问题‌：能运用分式乘除解决与代数式、实际情境相关的简单问题，如代数恒等变形、速率比值等，提升应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）分式乘除运算法则的掌握与应用‌：要求学生能口述法则、正确书写运算过程，并在计算中规范使用。 （2）“先分解、再约分、后相乘”的运算策略‌：强调因式分解在简化运算中的关键作用，避免盲目展开导致复杂化。 2.难点 （1）分子或分母为多项式的分式运算‌：学生在面对多项式时，因式分解不熟练或约分时机不当，易导致计算错误或过程冗长。 （2）除法转化为乘法的灵活运用‌：部分学生在处理除法时忘记“颠倒除式”，或颠倒后未正确处理符号与括号，造成结果错误。 （3）运算顺序与符号处理‌：在多步混合运算中，学生易混淆乘除优先级，或在约分时忽略整体括号，导致符号或系数错误。 知识点01 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；即：。 （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：。 （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方；即：为正整数， 。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·苏科·校考期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，∴ ， 约去公因式 得 ，故选：C． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，∴化简结果为，故答案为：A． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意；故选：C． 知识点02 分式的混合运算 1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 分式混合运算注意事项：①最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式； ②分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。 3）分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 分式化简求值时需注意事项： ①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”； ②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = = = = ∴ 化简结果为，对应选项A．故选：A． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 【答案】 【详解】解：＝÷·  ．故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型01 分式乘法 1．（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·江苏·月考）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·北京·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26八年级下·成都·月考）计算：(1)．(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型02 分式除法 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【答案】 【详解】解：． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）化简：______． 【答案】 【详解】解：原式． 3．（25-26八年级下·广东·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：原式，故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏·月考）化简下列分式．(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型03 分式乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算：(1)(1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·江苏·周测）化简：(1)．(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ； 4．（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 题型04 分式乘方 1．（25-26七年级下·广东·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意．故选：D． 2．（25-26八年级下·广东·期中）计算： （）（   ），括号内依次填：______、______、______； （）（   ）．括号内依次填：_______、_______、_______． 【答案】 【详解】解：（），故答案为：、、； （），故答案为：、、． 3．（25-26八年级下·成都·期中）计算： (1)____________；(2)________________________． 【答案】(1)，，(2)，，， 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（25-26八年级下·成都·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：．故答案为：． （5）解：原式．故答案为：． 题型05 含乘方的分式乘除混合运算 1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算(1)；(2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ； 2．（25-26八年级下·成都·专项训练）计算：（1）．（2）． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3.（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：（1）．（2）． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解：． （2）解： ． 4．（25-26八年级下·成都·期中）计算：(1)；(2)； (3)；(4)； (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解：原式 ； （4）解： ； （5）解： ． 题型06 分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（25-26八年级上·山东泰安·月考）化简： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)；(7)； (8)；(9) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． 题型07 分式化简求值 1．（2026·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简：，然后从的范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；． 【详解】解： ， ，，，， ，且为整数，的合适取值为2或3， 当时，原式；当时，原式． 3．（25-26八年级下·四川内江·月考）化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】(1)，时，原式(2)，时，原式 【详解】（1）解：原式 根据分母不为0得到且；∴时，原式； （2）解：原式 ∵当和1时，会使分式分母，原式没有意义 当时，会使原式的除式，原式无意义 ∴从中选取一个整数，只能选，则原式 4.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）先化简，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，值为3（答案不唯一，x可取，0，1） 【详解】解： ，且，中x可以取得整数为， 当时，原式． 题型08 分式混合运算中的错解问题 1.（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）；(2)写出完整的解答过程． 【答案】(1)①(2) 【详解】（1）解：∵分式混合运算需先算括号内，再算括号外的除法， ∴①算式是正确的，②算式是错误的；故答案为：①； （2）解： ． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）分式：化简过程如下，请认真阅读并完成任务． ．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 ．．．．．．．．．．．． 第三步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 任务一：填空 (1)以上化简步骤中，，第_____步是通分；(2)第_____步开始出现错误： 任务二：(3)写出正确的化简过程． 【答案】(1)一(2)二(3)化简过程见详解 【详解】（1）解： 第一步，括号里的分式进行通分，故答案为：一． （2）解：， ∴第二步，分式加减法错误，故答案为：二． （3）解：． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下： 解：原式① ② ③ 这位同学的错误出现在第 步．请你写出这道题的正确解答过程，并从，1，三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】②，过程见解析， 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， ， ∵， ，∴，1，∴a取． 当时，原式． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某同学在化简时，出现错误，错误的化简过程如下．这位同学的错误出现在第______步．请你写出这道题的正确解答过程，并从三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式① ② ③ 【答案】②； 【详解】解：这位同学的错误出现在第②步， 原式， ∵，，∴，∴取，则原式． 题型09 分式混合运算的实际应用 1．（25-26八年级上·广东·期中）一块麦田有，甲收割机单独收割完这块麦田需，让乙收割机来收割这块麦田，结果比甲收割机多用收割完．这两台收割机共同收割完这块地需要______h． 【答案】 【详解】解：根据工作效率工作总量工作时间，可得甲的工作效率为． 乙收割这块麦田比甲多用，即乙需要，所以乙的工作效率为． ∴甲、乙工作效率之和为：． ∴可得共同收割完需要的时间为： ．故答案为：． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·月考）甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 【答案】这样的航行过程中，轮船的平均速度是 【详解】解：根据题意得 答：这样的航行过程中，轮船的平均速度是． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）【提出问题】（1）已知，试比较，的大小； 【解决问题】根据某地相关规定，民用住宅居室的窗户面积必须小于该室内地面面积，采光标准是：窗户面积和地面面积的比不小于，显然，这个比值越大住宅的采光情况越好．（2）如图，小琼家主卧原来的窗户的面积为，为了增加采光，决定将其进行改造，使其面积增加，求改造后，采光情况为原来的多少倍（3）若小琼家窗户增加的同时，将主卧墙体改造，使地面的面积也增加，则采光情况会变好吗 【答案】（1）；（2）；（3）会变好 【详解】解：（1）， ，，，，． （2）设主卧的地面面积为，则，答：改造后，采光情况为原来的倍 （3）设改造前主卧的地面面积为， 则， 根据题意可知：，，，， 所以，，所以．答：采光情况会变好． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又，，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ．(2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？(3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)8，4(2)(3) 【详解】（1）解：（1）由题意，设，且，由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8．故答案为：8，4； （2）解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏， ．当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． （3）由题意，设，△与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ，．．． 又，当时，即时取等号，． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 专题10 分式最值（新定义与阅读材料） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵，∴，∴，∴，∴当时，分式取得最小值3． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵，∴，∴，∴， ∴当时，分式取得最小值3． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式；(2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1)(2)(3)当时，分式的最大值是5 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数，∴为整数，∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或，∴； （3）解：，∴当取最小值时，分式有最大值． ∵，∴，∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 4．（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得，． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）；(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真(2)(3)最大为1 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ，解得，. （3）解：考虑，求其最小值， ∵，，当时，最小为1；最大为1． 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【详解】解：∵ 将“”代入□：原式== 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证：若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”：∴“□”处的运算符号是÷，故选D 5．（2026·河南商丘·模拟预测）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设□中的式子为，∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 6．（25-26八年级下·成都·期中）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【详解】解：∵，∴，即， ∴，∴． 7．（25-26八年级下·江苏·期中）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【详解】解：设工作总量为1，∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为，∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 9．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 【答案】 【详解】解：． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·月考）计算：_________． 【答案】 【详解】解：；故答案为． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）计算：_________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为 ． 12．（24-25八年级下·湖南衡阳·月考）某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是______． 【答案】每秒米 【详解】解：设单程的路程为，上坡需要的时间为，下坡需要的时间为， ∴总时间为，∴上下坡的平均速度为．故答案为：每秒米． 13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式_____；②若，则交换对称式的最小值为_____． 【答案】 【详解】①∵，， ∴，∴，， ∵ ∵，，∴原式，故答案为； ② ∵∴原式 ；故答案为． 14．（2026·陕西汉中·二模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式     ． 15．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（2026·河南周口·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【详解】解：原式． 当时，原式． 18．（2026·河北沧州·模拟预测）下面的分式化简题呈现了小高的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为9”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1)(2)①见解析；②小颖的说法不全面 【详解】（1）解： ， ． 即被遮挡部分的代数式为． （2）解：①，，，∴小颖认为“原算式的值不可能为9”． ②小颖的说法不全面 理由如下：且，且，∴原式的值不可能为9，10，∴小颖的说法不全面． 19．（2025九年级下·广东广州·专题练习）先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 【答案】小华的解法不对，她是从第③步开始出错的，见解析 【详解】解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的． 原式， 当时，原式． 20．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题：(1)求证：； (2)若，则的最小值为_____．若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____．的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析；(2)，；(3)，；(4)． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴； （2）解：由题意，∵，∴，故答案为：； 由题意，∵， 又，∴，∴的最大值为，故答案为：； （3）解：由题意得，，∴的最小值为，故答案为：； 由题意得，，∴的最小值为，故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵，∴，∴，∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $