专题10.3 分式的加减（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题10.3 分式的加减 教学目标 1.掌握分式加减运算法则‌：理解并能运用“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”和“异分母分式相加减，先通分，化为同分母后再运算”的法则进行计算。 2.类比分数，迁移思维‌：通过回顾分数的加减运算，类比得出分式的加减规律，进一步发展类比思想与化归思想。 3.熟练进行分式运算‌：能对简单分式进行加减运算，结果化为最简分式或整式，提升代数运算的准确性与规范性。 4.解决实际问题‌：能将分式加减运用于简单的实际情境中（如速度、时间、工程问题），增强数学建模意识。 教学重难点 1.重点 （1）分式加减法的运算法则及其应用‌：重点掌握同分母与异分母分式加减的基本步骤，尤其是通分过程中的最简公分母确定。 （2）运算的规范性与结果化简‌：强调分子为多项式时需加括号、去括号时注意符号变化，以及最终结果必须约分为最简形式。 2.难点 （1）异分母分式的通分与符号处理‌：当分母为多项式时，学生在因式分解、找最简公分母、通分变形等环节容易出错，尤其涉及符号变化时更易混淆。 （2）多项式与分式混合运算‌：将整式视为分母为1的分式进行通分，部分学生缺乏整体意识，导致通分错误。 （3）复杂分式运算中的逻辑顺序‌：在多步运算中，学生易忽略“先约分再通分”的优化策略，盲目通分导致计算繁琐。 ‌ 知识点01 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即：。 （2）异分母分式加减法法则：先通分，再加减。 即：。 注意：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。 【即学即练】 1．（2026·江西吉安·一模）计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2025·山西忻州·三模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：故选：D． 4．（25-26八年级上·广西桂林·期末）若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ ，∴，故的值为3．故选：A． 5．（24-25八年级下·成都·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解：． 题型01 同分母分式加减法 1．（2026·河南新乡·一模）化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（2026·广西南宁·一模）计算的结果等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知：，∴． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）计算 的结果是____． 【答案】1 【详解】解：． 4．（2026·广东深圳·一模）计算：________． 【答案】3 【详解】解：；∵，∴原式． 题型02 异分母分式加减法 1．（2026·河南洛阳·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 ． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 题型03 整式与分式相加减 1．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原式=，∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加，∴分子计算：， ∴原式．故选：C． 2．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式故答案为：A． 3．（2025·山西·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 4．（2026·湖北十堰·一模）计算的结果是__________． 【答案】3 【详解】解：． 题型04 已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【答案】1 【详解】解：右边通分得：；与左边比较分子得： 展开左边得：∴ 比较系数得：解得：∴.故答案为：1. 2．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）若，则__________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∵，即， ∴．即， 则有，解得，综上，的值为．故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则_______． 【答案】2 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边，∴分子需相等，∴， 展开左边：，比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 【答案】2 【详解】解： ，， ∵，∴，∴， 由得：，解得：，将代入①得：， ∴，所以．故答案为：． 题型05 分式加减混合运算 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．（25-26八年级上·广东·期中）计算： (1)．(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06 分式加减的运用-错题订正 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）小明同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)化简过程中第_____步出现错误，出现错误的原因是_____． (2)请你书写正确的化简过程及结果． 【答案】(1)三；去括号时，第二项没有变号(2)见解析， 【详解】（1）解：错误出现在第三步，去括号时，第二项没有变号； 故答案为：三；去括号时，第二项没有变号； （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【答案】(1)二，； (2)． 【详解】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)①(2)见解析 【详解】（1）原式，故选①， （2）原式． 题型07 分式的整体求值问题 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】解：由，通分得，所以． 则．故答案为：． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴ ，即 ，∴， ∴，故答案为：． 3．（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：，， ． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值；(2)已知，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由知，∴，即，∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，，∴， ∵，∴． 题型08 分式加减的运用-材料阅读 1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题：【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式：①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1，∴是真分式．故答案为：真； （2）①； ② （3）， ∵与x均为整数，∴或，∴或或或． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题：(1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)真分式(2)(3)0或6或或 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1，∴分式是真分式；故答案为：真； （2）解：； （3）解：， ∵为整数，分式的值为整数，∴，解得：，，，， 则所有符合条件的值为0，，，． 3．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 【答案】(1)(2)(3)27 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：， ∵，∴，∴，∴； （3）解：， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴，∴，∴， 而， ∵，∴（，∴当时，最小值是27． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ，的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，(1)已知，求的值；(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值； (3)问题解决：已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ，． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得，． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 题型09 分式加减的实际应用 1．（25-26八年级上·北京通州·期中）甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是__分米；这个盒子的表面积是___平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形，盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 2．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 3．（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：. 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元，总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）．乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克，平均价格为（元/千克）． ，∵，，，∴，， ∴，即，∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算．故答案为：甲． 1．（2026·河北石家庄·一模）若与“（   ）”内的算式的和为，则“（    ）”内的算式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设括号内的算式为，由题意得， ． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 3．（22-23八年级上·山东泰安·月考）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式，故选：． 4．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为．故选：D． 5．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵，∴，∴，即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高，故选：B． 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是_________ （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为_________． 【答案】 真分式 【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式； ．故答案为：真分式；． 7．（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ， ∴，解得，∴．故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）；（2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【详解】解：（1）由题意得，；， ∴， 故答案为：； （2）∵，∴， ∴当时，，，即，则乙先到．故答案为：乙． 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 【答案】 【详解】． 10．（2026·湖北十堰·一模）计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 11．（25-26九年级下·广东江门·开学考试）化简的结果是______． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 【答案】2 【详解】解：对等式右边通分，得，已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将，代入第二个方程，得，，解得． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 【答案】(1)A(2)不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母(3) 【详解】（1）解∶由于A步中，第二个分式的符号有误，因此从A步开始就出现了错误．故答案为∶A； （2）解：从到不正确．分式的分母被直接丢掉，分式加减运算过程中不能去掉分母，应当保留分母．因此从到不正确．故答案为∶ 不正确；分式加减运算过程中不能去掉分母． （3）解：故答案为：． 15．（25-26八年级下·成都·期中）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（24-25八年级下·江苏·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 17．（25-26八年级上·河北沧州·月考）嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 【答案】(1)，(2)有道理，理由见解析 【详解】（1）解：是大于5的正整数， 嘉嘉的牌中最小，最大，淇淇的牌最大，最小， 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是，淇淇组成的分式中值最大的分式是；故答案为：，； （2）解：淇淇说的有道理，理由如下： 是大于5的正整数，，，，所以淇淇说的有道理． 18．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：①∵，∴； ②∵，∴， ∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，，，； （3）解：，理由如下：，， ，． 19．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算：(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1)(2)(3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ，解得，故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：，则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 20．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否(2)2或8(3)或 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确，故答案为：是； ②，②错误，故答案为：否； （2）解：，∵该分式的值为整数，∴的值可为，， 又∵a为正整数，∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数，∴设，则，且a为整数，， ∴∴或， 解得或（舍去）或或（舍去），∴或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 分式的加减 教学目标 1.掌握分式加减运算法则‌：理解并能运用“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”和“异分母分式相加减，先通分，化为同分母后再运算”的法则进行计算。 2.类比分数，迁移思维‌：通过回顾分数的加减运算，类比得出分式的加减规律，进一步发展类比思想与化归思想。 3.熟练进行分式运算‌：能对简单分式进行加减运算，结果化为最简分式或整式，提升代数运算的准确性与规范性。 4.解决实际问题‌：能将分式加减运用于简单的实际情境中（如速度、时间、工程问题），增强数学建模意识。 教学重难点 1.重点 （1）分式加减法的运算法则及其应用‌：重点掌握同分母与异分母分式加减的基本步骤，尤其是通分过程中的最简公分母确定。 （2）运算的规范性与结果化简‌：强调分子为多项式时需加括号、去括号时注意符号变化，以及最终结果必须约分为最简形式。 2.难点 （1）异分母分式的通分与符号处理‌：当分母为多项式时，学生在因式分解、找最简公分母、通分变形等环节容易出错，尤其涉及符号变化时更易混淆。 （2）多项式与分式混合运算‌：将整式视为分母为1的分式进行通分，部分学生缺乏整体意识，导致通分错误。 （3）复杂分式运算中的逻辑顺序‌：在多步运算中，学生易忽略“先约分再通分”的优化策略，盲目通分导致计算繁琐。 ‌ 知识点01 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即：。 （2）异分母分式加减法法则：先通分，再加减。 即：。 注意：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。 【即学即练】 1．（2026·江西吉安·一模）计算的结果为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·山西忻州·三模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西桂林·期末）若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 5．（24-25八年级下·成都·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型01 同分母分式加减法 1．（2026·河南新乡·一模）化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）计算的结果等于（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）计算 的结果是____． 4．（2026·广东深圳·一模）计算：________． 题型02 异分母分式加减法 1．（2026·河南洛阳·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：______． 题型03 整式与分式相加减 1．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北十堰·一模）计算的结果是__________． 题型04 已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）若，则__________． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）A，B为常数，如果，则_______． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 题型05 分式加减混合运算 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简：(1)(2) 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算：(1)(2) 3．（25-26八年级上·广东·期中）计算： (1)．(2)． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型06 分式加减的运用-错题订正1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）小明同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)化简过程中第_____步出现错误，出现错误的原因是_____． (2)请你书写正确的化简过程及结果． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 题型07 分式的整体求值问题 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则______． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，则的值为______． 3．（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值；(2)已知，求的值． 题型08 分式加减的运用-材料阅读 1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题：【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式：①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题：(1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 3．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ，的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，(1)已知，求的值；(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值； (3)问题解决：已知：，，，求代数式的值． 题型09 分式加减的实际应用 1．（25-26八年级上·北京通州·期中）甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是__分米；这个盒子的表面积是__平方分米．（用含有的式子表示） 2．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 3．（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式_____合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 1．（2026·河北石家庄·一模）若与“（   ）”内的算式的和为，则“（    ）”内的算式是（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东泰安·月考）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是_________ （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为_________． 7．（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 8．（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）；（2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 10．（2026·湖北十堰·一模）计算的结果是________． 11．（25-26九年级下·广东江门·开学考试）化简的结果是______． 12．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：(1)；(2)． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）阅读下列计算过程，并回答所提出的问题． (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？答：_____． (2)从到是否正确？答：_____；若不正确，错误的原因是___________． (3)正确答案是________________． 15．（25-26八年级下·成都·期中）计算：(1)；(2)． 16．（24-25八年级下·江苏·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 17．（25-26八年级上·河北沧州·月考）嘉嘉和淇淇一起做游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．嘉嘉的牌分别是，，，淇淇的牌分别是，，．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． 嘉嘉： 洪洪： (1)嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　　　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　　　； (2)淇淇思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者．”淇淇说的有道理吗?请你通过计算加以说明．（提示：利用作差法比较大小） 18．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 19．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算：(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？(3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 20．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $