(六)空间向量与立体几何综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册 (六)空间向量与立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若直线1的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为n= (一4,0，一8)，则 A.l∥a B.l⊥a C.ICa D.l与a斜交 2.若两平行平面α，3分别经过坐标原点O和点A(1,2,2),且两平面的一个法向量为 n=(一1,1,0)，则两平面间的距离是 A司 B号 C.1 D.2 3.已知空间直角坐标系中，A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),则下列哪个点在平面 ABC内 A(22 B.(2,0,2) C.(1,2,0) D.(2,2,2)》 4.四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE= xAB十yAD+xAP,则x-y- A.2 B.1 c. D.- 5.青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器， 还是一件十分重要的礼器.图①为河南出土的战国青铜器一方豆，豆盘以上是长方体 容器和正四棱台的斗形盖，图②是与主体结构相似的几何体，其中AB=4,MV=BF =2,FN=,点K为BC上一点，且C-},点Z为PQ的中点，则异面直线KZ与 FN所成角的余弦值为 M 0 A.539 B.239 N 39 13 c.53 26 D.23 13 图① 图② 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题· 6.在四棱锥P一ABCD中，AD∥BC,E,N分别为PA,CD的中点，经过E,B,C三点的 平面交PN于点F,M为AD上一点，且PM⊥平面ABCD,△MCD为等边三角形， CD=6,∠PDM=45°，则经过F,M,C,D四点的球的表面积为 A.32π B.48π C.64π D.96π 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.若{a,b,c}是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是 A.{a,2b,3c} B.{a+2b,2b+3c,3a-9c} C.(a+b-+c,b+c,c D.a+b,b+c;c+a 8.设0x,Oy,0:是空间中两两所成的角均为0(0e(0,)的三条数轴，e,e,c分别 是与x,y,之轴正方向同向的单位向量，若OP=ae1十e2十e3(x,y,之∈R),则把有序 数对(x,y,z)。叫作向量OP在坐标系O一xy之中的坐标，则下列结论正确的是 A.若向量a=(-1,3,-7),b=(3,-2,4)0,则a十b=(2,1,3)。 B.若向量a=(2,6,-3),b=(3,-1,0),则a·b=0 C.若向量OA=(1,0,0),OB=(0,1,0)号，OC=(0,0,1),则二面角O-AB-C的 余弦值为号 D.若向量a=(x,0),b=(12,0),则当且仅当zy=12时，0=否 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.平面a,3的一个法向量分别为m=(a,1,一2)，n=(1,一2，b),请在①a∥B,②a⊥3中 选择一个填在横线上，并写出答案，若选 ,则a一2b= 10.在棱长为1的正方体ABCD-A1BCD1中，以D为原点，DA,DC,DD分别为x 轴，y轴，之轴正方向建立空间直角坐标系，若直线AC上的点P到直线BC1的距离 最短，则P点坐标为 高二同步周测卷六 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，已知在四棱柱ABCD一A,B,CD1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA1⊥ 底面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,E是B,C1的中点，F是 DD1的中点. (1)求证：D1E∥平面CB1F; (2)求点A到平面CB1F的距离 A D 12.(本小题满分15分) 已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量，OA=a一2b十c,OB=pa十b十gc, OC=2a+b-2c. (1)若A,B,C三点共线，求，q的值； (2)若O,A,B,C四点共面，求6p十10g的值. 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,将△DAC沿AC翻折 至△PAC,使得平面PAC⊥平面BAC (1)求证：平面PAC⊥平面PBC: (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (3)若点Q在棱AB上（不包含端点），且平面PCQ与平面BCQ所成角的余弦值为 百求9的值。 B 4< B 高二同步周测卷六 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 知识点 题型 分 值 (主题内容) e ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 判断线面关系 易 0.80 2 选择题 5 求两平行平面间的 距离 分 0.72 3 选择题 5 利用坐标法判断点在 易 0.70 面内 选择题 由向量的线性表示 4 0.55 求参 分 5 选择题 5 求异面直线所成的角 分 0.45 利用空间向量求球的 6 选择题 表面积 你 0.28 7 选择题 6 基的概念 易 0.75 8 选择题 6 空间向量的新定义题 中 0.45 9 填空题 与空间向量有关的开 易0.71 放题 10 填空题 由点到直线的距离求 / / 点的坐标 L L 0.45 利用空间向量证明线 11 解答题 13 面平行，求点到平面的 / / / 易 0.75 距离 由三点共线，四点共面 12 解答题 15 / 中 0.60 求参 证明面面垂直，求线面 13 解答题 20 0.40 角及二面角 ·73· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由已知可得n=一4a,所以a∥n,所以⊥ 角的余弦值为丽故选A a.故选B. M 2.B【解析】依题意，平行平面a,3间的距离即为点O 到平面g的距离，而OA=(1,2,2),所以平行平面a,3 间的距离d=n·Oi 1 1 y n √-1)+1+0 故选B, B K C 2 6.C【解析】取PD的中点G,连接EG,GC,BE,因为 3.A【解析】由题意可得A言=(-2,2,0)，AC E为PA的中点，所以EG∥AD,又AD∥BC,所以 (一2,0,2)，设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)， EG∥BC,所以平面EBCG为过E,B,C三点的平面， n·AB=0 CG与PN的交点即为点F.因为G为PD的中点，N 则 -2x+2y=0 n·A花=0即 -2x+22=0令1=1，则n 为CD的中点，所以点F为△PCD的重心，且PF 1110设P(分，71小则A=(-3,31): 号PN.因为PML平面ABCD,以点M为坐标原点， 所以a…亦=一子×1+子×1十1X1=0,所以点 MD,MP所在直线分别为y,x轴正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系， (分，21)在平面ABC内，放A正确：设Q(2,0, 2),则AQ=(0,0,2),所以n·AQ=2,所以点 (2,0,2)不在平面ABC内，故B错误；设M(1,2,0), 则AM=(-1,2,0),所以n·AM=1,所以点 (1,2,0)不在平面ABC内，故C错误；设N(2,2,2), 则AN=(0,2,2),所以n·A下=4，所以点 (2,2,2)不在平面ABC内，故D错误.故选A. 4.D【解析】由E是棱PC的中点，得A正=？(A泸斗 则C(35.0).D0.60,P(006)N(2, ò=号市+多+ò)=多市+号店+ 号o）M000)由P时=P.得F(5,32) 设经过F,M,C,D四点的球的球心为O(x,y,x),则 OM-OC OM=OD.即 -放选D OM-OF 5.A【解析】以B为原点，BC,BA,BF分别为x,y, x2+y+z2=(x-33)2+(y-3)2+x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，在正四 x2+y2+22=x2+(y-6)2+2 解 棱台EFGH一MNPQ中，点N到平面EFGH的距 x2+y2+2=(x-5)2+(y-3)2+(x-2) 离为√(W3)-(22-√2)2=1，则K(3,0,0),F(0, [x=V3 0,2),N(1,1,3),Z(3,2,3),K2=(0,2,3),F=(1, 得y=3,故球O的半径为|OM=√3+9+4= x=一2 11),因此1s〈K之，F)1=应·F应 4,因此经过F,M,C,D四点的球的表面积为 KZ FN 4πOM2=4π×16=64x.故选C. 10+2+31_539 ,所以异面直线KZ与FN所成 √13X√5 39 ·74· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 二、选择题 三、填空题 7.ACD【解析】对于A,因为{a,b,c}是空间向量的一 9.① 组基，则{a,2b,3c}可以构成空间向量的一组基，故 一号（或巴2）【解析】若选①：由a/8得m A正确：对于B,因为a+2b=号×[3(2b+3c)十 22 ∥n:显然a≠0,6≠0，则只= ,解得a= (3a-9c)],则{a十2b,2b+3c,3a-9c}不能构成空间 名64a一2h=-号若选②：由aLR得m 1 向量的一组基，故B错误；对于C,显然不存在实数λ， “使得a+b+c=(b十c)+c成立，则 n,则m·n=0,则a-2-2b=0,解得a一2b=2. {a十b十c,b十c,c能构成空间向量的一组基，故C 10.(兮，号0）【解标】如图， 正确；对于D,设a十b=x(b十c)十y(c十a)=a十b 2 x=1 D 十(x+y)c,其中x,y∈R,则y=1,无解，则 x+y=0 {a十b,b+c,c十a}能构成空间向量的一组基，故D 正确.故选ACD. 8.BC【解析】对于A,若向量a=(-1,3,-7)。= B -e1+3e2-7ea,向量b=(3,-2,4)。=3e1-2e2+ 由题得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), 4ea,则a十b=2e1+e2-3es=(2,1,-3),故A错误； 对于B,若向量a=(2,6,-3)号，向量b=(3,-1, C(0,1,0),C(0,1,1),DA=(1,0,0),AC= 0)号，此时在空间直角坐标系中a·b=2×3十6X (-1,1,0),设AP=入AC,A∈R,则DP=DA+AAC (-1)=0,故B正确：对于C,若向量OA=(1,0, =(1,0,0)+入(-1,1,0)=(1-1，A,0),即 0)号，0=(0,1,0)，0元=(0,0,1)，则三棱锥 P(1-A,A,0),BP=(-x,A-1,0),BC O一ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，取AB （一1,01)，B前在BC上的投影长为B驴·BC- 的中点H,连接OH,HC, BC 则点P到直线BC的距离为 √1-（》 (-)2十(-1)2- 2 B V-+1-√层)+后，当A= 时，点P到直线BC,的距离最短，所以点P的坐标 4 在等边△OAB,△ABC中，易知OH⊥AB,HC⊥AB, 为（分号0） OH=HC=,则∠OHC即为二面角O-AB-C的 四、解答题 11.解：(1)由AA1⊥底面ABCD,AD⊥AB,得AB,AD, 平面角，在△OHC中，由余弦定理得cos∠OHC= AA,两两垂直， OH+Hc-Oc是+ 3,所以二面角 则以A为坐标原点，AB,AD,AA分别为c,y,轴 2OH·HC 2× 正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， O-AB一C的余弦值为了，枚C正确：对于D,若向量 A a=(x,y,0)g=xe1+5e2,b=(1,2,0)。=e1+2e2,当 B xy=1:2时，y=2x,则a=(x,y,0)g=e1+2ze2= x(e+2e:)=b,此时a∥b,显然0=吾不成立，故D 错误.故选BC. D B ·75· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 可得A0.00),B(2.0,2),E(号72小 根据对称性可得BF=1, FB 1 F(0,1,1),C(1,1,0),D(0,1,2), (3分) 所以cos∠ABC-BC=z·可得∠ABC=60. 则c=(1,-1,2).C=(-1.0,10.D=-(号， 所以AC=BC+AB2-2BC·ABcos∠ABC=12, 即AC=23, -30 所以AC+BC=AB,即AC⊥BC, (3分) 设平面CBF的法向量为m=(x,y,), 因为平面PAC⊥平面BAC,平面PAC∩平面BAC =AC,BCC平面BAC, (CB·m=x-y十2x=0 则市m=一x十0 所以BC⊥平面PAC, 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. 令x=1,可得y=3,之=1，即m=(1,3,1),(6分) (5分) 因为D,它·m=0,可得D,E⊥m, (2)取AC的中点O,AB的中点E,连接OE, 又D,Ed平面CB1F, 易知OP⊥平面ABC,OE⊥AC, 所以DE∥平面CB,F. (8分) 以O为坐标原点，OC,OE,OP分别为x,y,之轴正方 (2)因为AB=(2,0,2), 向，建立空间直角坐标系，如图， 平面CBF的一个法向量为m=(1,3,1), 所以点A到平面CBF的距离d=AB,m m 4=4☐ T11 (13分) 12.解：(1)由题可得AB=OB-OA=a+b+0 (a-2b+c)=(p-1)a+3b+(g-1)c, AC=OC-OA=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+3b 则A(-√3,0,0)，B(5,2,0),C(√5,0,0)，P(0, -3c, 0,1), 因为A,B,C三点共线， 所以BC=(0,-2,0),PC=(5,0,-1),P 所以存在实数m,使得A言=mA心， (-3,0,-1), (7分) 所以(p-1)a+3b+(q-1)c=m(a十3b-3c), (4分) 设平面PBC的法向量为n1=(x1,y,之)， p-1=m, m=1, 则n·式=0 1-2y=0 即3=3m, 解得p=2, a·-0则g=0 (q-1=-3m, q=-2, 所以p,q的值分别为2，一2. (7分) 令xm1=1,得y=0,1=√5，则n1=(（1,0W3), (2)因为O,A,B,C四点共面 设直线PA与平面PBC所成角为0， 所以存在A∈R,使得O=xOi+O心， 即a十b十g0=入(a-2b+c)+r(2a+b-2c)= 所以sin0=cos(n,Pi1=,|m·PA=2V3 1m·PA 2×2 (入+2)a+(-2x)b+(A-2)e, p=入十2u, 2 于是有1=一2入， (12分) q=1-2, 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为S. 2 所以6p+10q=6(入+2μ)+10（入-24）=16x-84 =16-8(1+2λ)=-8， (12分) 即6p十10q的值为一8. (15分) (3)设AQ=λAB=入(2√3,2,0)，1∈(0,1)， 13.解：(1)在等腰梯形ABCD中，过C作CF⊥AB,交 易知平面BCQ的一个法向量为n=(0,0,1), AB于点F,如图所示， 因为PC=(5,0,-1),C=CA+A0=(-23, 0,0)+(2√31,2x,0)=(2√31-23,2λ，0)， 设平面PCQ的法向量为n2=(x2,y2,), n2·CQ=0m「(23λ-23)x2+2xy=0 ·P花-0则5=0 则 ·76 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 令4=1，得=5+5，=3， λ 解得X=专a=-1舍)： 则m=（1.51+5ws） 1×√1+3(2)+3 (18分) 所以衣-号成.即8号 (20分) 因为平面CQ与平面Q所成角的余弦值为9， 所以9=oaa1=:动 ·77·