(十)概率、统计综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (十)概率、统计综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X~N(100,o2),且P(X≥130)=0.15，则P(70<X<100)= A.0.15 B.0.35 C.0.70 D.0.79 2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为y= 2x十a,样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)处的随机误差为 A.1.5 B.-1.5 C.0.5 D.-0.5 3.已知随机变量X~B(3,D)(0<<1),且P(X=2)+4P(X=3)=日，若Y=2X+1, 则E(Y)= A.1 B.3 C.4 D.6 4.用模型y=aer拟合一组数(x;,y:)(i=1,2,…,2025),若x1十x2十…十x2o25 2025,yy2…y225=e20250,设之=lny,经变换后得到的回归直线方程为之=bx十6，则 ak= A.20250 B.6e C.4e D.2025 5.某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表、学生代表和教 职工代表组成，人数比为1：2：2，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只 能投一票且必须投一票)，投票结果显示家长代表和学生代表中均有号的人投给1号 菜品，教职工代表中有的人投给2号菜品，若从给1号菜品投票的人中任选1人， 则此人是学生代表的概率为 A是 B员 c 号 6.“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史 上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义.为弘扬中国优秀传统文化， 某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中 庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且每人选取的书均不相同，比赛 时有以下两种方案：方案一，这4位同学从这4本书中有放回地随机抽取1本并选择 其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为X;方案二，这4位同学从这4本书 中不放回地随机抽取1本并选择其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为 Y,则 A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E (X)>E(Y),D(X)<D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) D.E (X)=E(Y),D(X<D(Y) 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了探究在某次数学测试中成绩优秀是否与性别有关，小华进行了深入的调查，并绘 制了如表所示的2X2列联表： 男生 女生 合计 成绩优秀 27 70 成绩不优秀 58 110 合计 a b 180 经计算得x2≈1.315（注：P(x≥2.706）≈0.1)，则下列结论正确的是 A.m=43 B.b=79 C.至少有90%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” D.没有90%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” 8.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分， 先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每球交 换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局 11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球. 假设甲发球时甲得分的概率为号，乙发球时甲得分的概率为号，各球的比赛结果相互 独立，且各局的比赛结果也相互独立，则下列说法正确的是 A若每局比赛甲获胜的概率均为号，则该场比赛甲以3：2获胜的概率为盟 B.若某局比赛甲先发球，则该局比赛打完前4个球甲得3分的概率为号 C.若某局比赛甲先发球，双方比分为88，则该局比赛甲以1：9获胜的概率为号 D.若某局比赛日前比分为10：10，则该局比赛甲获胜的概率为？ 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，其供货占比分别为2日·名且良品率 分别为0.96,0.90,0.96，则该部件的总体良品率为 高二同步周测卷十 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页) 10.在陈塘关，哪吒发现仙童的仙术成绩x(类似数学成绩)、法定操控成绩y(类似物理 成绩)、灵符绘制成绩之（类似化学成绩）两两成正相关关系.哪吒随机抽取了55名仙 童并统计了其三项成绩，若仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为日，法定操控成 绩y和灵符绘制成绩x的相关系数为三，则仙术成绩x和灵符绘制成绩的相关系数的 ∑(x,-x)(y-y) 最大值为 附：r ∑(x,-x)2∑(-) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 对于春节联欢晚会上表演的机器人团体舞蹈节目，某机构随机抽取了100名观众进 行问卷调查，得到了如下数据 喜欢机器人团体舞蹈节目 不喜欢机器人团体舞蹈节目 男性 40 10 女性 20 30 (1)能否至少有99.9%的把握认为性别与是否喜欢机器人团体舞蹈节目有关？ (2)从这100名观众中任选1名，记事件A为“选到的观众是男性”，事件B为“选到 的观众喜欢机器人团体舞蹈节目”，比较P(BA)和P(BA)的大小，并解释其 意义 附：X n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,n=a+b十c+d. P(X2≥) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 To 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12.(本小题满分15分) 某新能源汽车配件公司从2018年至2024年的利润情况如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y(单位：亿元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中数据，可以认为变量y与x线性相关 (1)计算y与x的相关系数，并判断y与x的线性相关程度；（结果精确到0.01） (2)求出y关于x的回归直线方程，并预测该新能源汽车配件公司2026年的利润； (3)把利润不超过4.5亿元的年份叫做“试销年”，从2020年至2024年这5年中任 选3年，X表示选到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 参考数据： ∑(x,-)(-y)=14,∑(-y)2=7.08,∑(x-)2=28, √/28×7.08≈14.08 参考公式：对于一组数据(u,w1),(u2,2),…,(un,on),相关系数r= ∑(u,-u)(,-o) ;回归直线v=十α的斜率和截距的最小二乘估计 (u,-)2 u)(5-) 公式分别为3= i= a=v-Bu. (u:-u)2 13.(本小题满分20分) 人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为AI,是新一轮科技革命和产业变革的 重要驱动力量.近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市 场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的 顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分Z(单位：分)制作了 如下的频数分布表： 分组（单位：分） [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A,B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比 为2，B品牌中A1手机占比为，且A,B品牌手机的数量之比是2：1.现从该手机 店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环 节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，每位 顾客拍中一、二等奖的概率分别为子，，其余情况不获得奖金：②每位顾客允许连 续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI 手机的顾客所获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从该手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意 度评分Z近似地服从正态分布N(μ，o),其中μ近似为样本平均数x,o近似为样本 的标准差s,且求得s≈14.31.现将满意度评分超过84.81分的定义为顾客对A】手 机“非常满意”，若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了A】手机，记这些顾客中 对AI手机“非常满意”的人数为Y,事件“Y=”的概率为P(Y=k),求使P(Y=) 取最大值时k的值（每组数据以区间的中点值为代表） 附：若随机变量Z~N(μ，o),则P(u-o≤Z≤十o)≈0.6827，P(-2o≤Z≤μ十 2o)≈0.9545，P(4-3o≤Z≤+3o)≈0.9973. 高二同步周测卷十 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（十） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由正态分布求概率 易 0.80 2 选择题 5 求样本的随机误差 易 0.72 二顶分布与期望性质 选择题 5 中 0.55 的综合 4 选择题 5 非线性回归方程 中 0.50 条件概率与全概率公 5 选择题 5 / / / 中 0.45 式综合 6 选择题 与期望、方差有关的数 学文化题 的 0.35 7 选择题 6 对独立性检验的理解 L 务 0.69 8 选择题 6 概率综合 中 0.45 9 填空题 5 全概率公式 易 0.75 10 填空题 5 与相关系数有关的最 值问题 」 难 0.28 11 解答题 13 独立性检验与条件概 分 0.65 率的综合 12 解答题 15 线性回归与超几何分 布的综合 L 分 0.55 全概率公式、二项分 13 解答题 20 布、正态分布的综合 L 分 0.35 叁考答案及解析 一、选择题 选B. 1.B【解析】由X~N(100,2),得=100，故P(70< 2.A【解析】依题意得6.5=2×3十a,则a=0.5,所以 X<100)=0.5-P(X≥130)=0.5-0.15=0.35.故经验回归方程为y=2x十0.5，当x=2.5时，y=2× ·91· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 2.5+0.5=5.5,所以样本点(2.5,7)处的随机误差为 7-5.5=1.5.故选A. (兮)广×号-品故A正确：对于B,打完前4个球 3.C【解析】因为X~B(3,p)(0<p<1),且P(X=2) 甲得3分的情况为甲发两球甲得2分，乙发两球甲得 +4pX=3)=日，所以Cp1-)+4CB=名， 1分或甲发2球甲得1分，乙发两球甲得2分，则概率 为（号）'xCx×+Cx号×号×（合）°= 即B+3p=名，因为fD)=p+30在(0,1D上单 3 号，故B错误：对于C,比分为8：8后由甲发球，甲以 调递增，且f(合)=冬，所以p=是，则E(X)=3p 11:9获胜的情况为4次发球，前3球甲胜2球，第4 =号，所以E(Y)=E(2X+1)=2EX0+1=2X号 球甲胜，则概率为（号）广××号十C×号×号× +1=4.故选C. 1n=10 (号)》广-号，故C正确：对于D,设打成10：10后再打 4.C【解析】由题可得x=1,&=2025 代入乏=ix+6,得i=4,所以之=lny=lna+bx 2个球时甲的得分为X,则P(X=0)=立×子×号 =4x十6，则k=4,a=e,所以ak=4e,故选C. 5.B【解析】根据人数比例设家长代表，学生代表和教 ××号-日(X=1)=×(×+号 2 职工代表的人数分别为m,2m,2m(m>0),则家长代 ×号）+×(3×日+号x号)=3PX=2 表中投给1号的人数为织，学生代表中投给1号的 之×号×号十之×合×号=子：设该局比赛甲获 人数为智，教职工代表中投给1号的人数为子×2m 胜为事件B,则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)= =受，所以投给1号的总人数为智+智+婴 P(B),P(B|X=2)=1,由全概率公式得P(B)= 3 P(X=0)P(B|X=0)十P(X=1)P(B|X=1)十 Am 受，放所求概率为温-品故送B 3 PX=2)P(BX=2)=言×0+号PB)+合，解得 2 P(B)=号，故D错误，故选AC 6.D【解析】由题可知方案一中这4位同学抽到自己 三、填空题 准备的书的概率均为子，则X~B(4,十)∴E(X)= 9.0.95 【解析】由题意可得该部件的总体良品率为弓 4X=1,D(X)=4×子×(1-)=是.方案= ×0.96+6×0.90+号×0.96=0.95. 中Y的可能取值为0,1,2,4，则P(Y=0) S++=名=是，PY=1)-9=号 10.15+77 24 【解析】设X=(x1,x2,…,x),Y=(y, A A3 y2,…yn),Z=(x1,22,…,之n),记X=(x1-x,x2 P(Y=2)= 先-p=)=京= 1 x,…x-x),Y'=(y-y,y2-y,…yw-y),Z'= (之1一，2一，…，一之)，由相关系数公式r= EY)=0X音+1X+2X+4×=1 DY)=0-1)×毫+1-1)×号+(2-1D2× 知r=cos(X', 六+(4-1)2X7=1,E(X)=E(Y),D(X)< ∑(y- Y),设X与Y'的夹角为a,Y与Z的夹角为B,因为 D(Y).故选D 二、选择题 仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为号，法 7.ABD【解析】由2X2列联表得m=70一27=43， n=110-58=52,则b=27+n=79,故AB正确；因为 定操控成绩y和灵符绘制成绩：的相关系数为， x2≈1.315<2.706，所以没有90%的把握认为“数学 成绩优秀与性别有关”，故C错误，D正确.故 所以osa=吾，c0sB=是，由这两个夹角都是锐 选ABD. 角，得a<B,所以X与Z'的夹角的范围为[g-a,a十 8.AC【解析】对于A,甲以3：2获胜的情况为前4局 ],则X与Z'夹角的余弦值的最大值为cos(B-a) 甲胜2局，第5局甲胜，则概率为C×(号)广× ·92· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 24 ,所以仙术成绩x和灵符绘 P(X-1)=CC=3 C5, 制成绩x的相关系数的最大值为5+√匝 PX-2)智-品 (12分) 24 四、解答题 所以X的分布列为： 11.解：(1)提出统计假设H:性别与是否喜欢机器人团 0 1 体舞蹈节目无 经计算得x= 100×(40×30-10×20)2= 5 50×50×60×40 3飞 P 1 16.667, (4分) 由于16.667>10.828， 则E(X)=0X +1× +2× 32 10 10 或E(X)= 所以至少有99.9%的把握认为性别与是否喜欢机 器人团体舞蹈节目有关 (6分) 2×3=6) 5 (15分) (2)依题意得P(B1A)=nAB)=40=4、 5 n(A)50=5,(8分) 13.解：(1)记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件C, P(Bla)--器台 “抽取到的手机是B品牌手机”为事件C2,“抽取到 (10分) 的手机是AI手机”为事件D, 则P(B|A)>P(B|A). (11分) 则P(C)=子，PC)=合，P(D1G)= 1 意义：这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节 目的概率比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的概 P(DC)=年： 3 率大 (或这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节目 所以P(D)=P(C)P(D|C)+P(C2)P(DIC2) 的人数比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的人数多.) 号×+片×是-品 (4分) (13分) (2)X的可能取值为0,300,600,900,1200， 12.解：(1)由题得r= PX=0)=(1--2）广= (x-x)(y:-y) P(X=300=c×(1-)×=， P(X=60)=2×3+C×十×(1--2） 14 14 ≈0.99， /28×7.08 14.08 3 所以变量y与x的线性相关性较强。 8 (3分) ∑(z-x)(yy) PX=90)=C×号= (2)由题得3= 14 =0.5, P(X=1200)=41 1 11 28 4=16 (9分) (x:-元)2 所以X的分布列为 (5分) 又=7×1+2++6+7)=4. X 0 300 600 900 1200 =7×(2.9+3.3+…+5.2+5.9)=4.3, 3 16 4 8 4 16 所以a=y-B7=4.3-0.5×4=2.3, 则E(X)=0× 1 所以y关于x的回归直线方程为y=0.5x十2.3， +300× 1 +600× +900× 16 4 P (7分) 1 当x=9时，y=0.5×9+2.3=6.8, +1200X16=60. (12分) 即预测该新能源汽车配件公司2026年的利润为 (3)样本平均数x=45×0.1十55×0.15+65×0.2 6.8亿元. (9分) +75×0.3十85×0.15+95×0.1=70.5，(13分) (3)由题意知2020年至2024年这5年中的“试销 随机选1名顾客，该顾客对A1手机“非常满意”的概 年”有2个， 率为P(Z>84.81)=P(Z>u十o) 所以X~H(5,2,3), 1 则P(X=0-号=品 =2[1-P(-0≤Z≤+o)]≈0.15865， 则Y~B(10000,0.15865), (15分) ·93· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 记n=10000,p=0.15865, 即(n十1)p-1≤k≤(n+1)p, (18分) 则P(Y=k)=Cp(1-p)=(k=0,1,2,…, 即10001p-1≤k≤10001p, 10000). 即1585.7≤k≤1586.7，所以k=1586, 24》- 所以当k=1586时，P(Y=k)取得最大值.(20分) 信品 1-p n-kk十1 ·94·