(三)导数综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (三)导数综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设x∈R,则“x一sinx<0”是“x<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数f(x)=2x3一3ax2+3x十6在(1,3)内存在极值点，则实数a的取值范围为 C.（-∞，2 D.[6+∞ 「19 B.函数f(x)=c2工P的大致图象为 A B. 4.若函数f(x) 3x+a.x2-a+4,x>0 在R上单调，则实数a的取值范围为 ax十cosx, x≤0 A.[1,3) B.(1,3] C.[1,3] D.(1,3) 5.若e+1+x+2>y+1+lny,则 A.x+1>In y B.x+1<In y C.x2<y D.x2>y 6.若曲线f(x)=(k<0)与g(x)=e恰有2条公切线，则= A.-1 B.、1 e C.-1 D.-1 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知函数f(x)=2x3十2x一1，则 A.f(x)存在极值点 B.f(x)有一个零点 C.点(0，一1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为2x一y一1=0 8.已知可导函数f(x)(x≠0)的导函数为f(x)=x(lnx十x2一1)，则 A.f(x)有2个极值点x=士1 B.f(x)有3个零点 C.f(x)只可能在x=1或x=一1处取得最小值 D.对Hx∈(-1,0)U(1,十∞)，f(x)>0恒成立 班级 姓名 分数 题号 1 2 5 6 7 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若函数f(x)=2.x2一lnx在其定义域的一个子区间(k一1，k+2)上不单调，则实数 的取值范围为 10.某校高二年级学生到工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型.某学生准备做一个 体积为54π的圆柱形模型，当该模型的表面积最小时，其底面半径为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2x3一6x2-18x十3. (1)求f(x)的极值； (2)若3x∈[一2,4]，使得f(x)<a一1，求实数a的取值范围. 高二同步周测卷三 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e2x+(2-2a)e-2a.x-a. (1)判断f(x)的单调性； (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围. 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 若函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),使得f(x1)=f(x2)= fb)-fa),则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中，a为f(.x)在[a,b]上 b-a 的中值点 (1)判断函数f(x)=x3一3x2+1是否是[一1,3]上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数f(x)=号2-xlnx一ax,存在m>n>0,使得f(m)=f(n),且f(x） 是[n,m]上的“双中值函数”，x1,x2是f(x)在[，m]上的中值点. (1)求实数a的取值范围； (ⅱ)证明：x1十x2>2. 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷三 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）】高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 利用导数研究函数的 1 选择题 5 单调性与充要性的 多 0.80 综合 2 选择题 5 由函数存在极值求参 易 0.72 3 选择题 5 函数图象的识别 √ L 中 0.65 由分段函数的单调性 4 选择题 5 中 0.55 求参 5 选择题 5 构造函数比较大小 / 中 0.45 6 选择题 5 由曲线的公切线求参 难 0.28 7 选择题 6 利用导数研究三次 0.65 函数 分 8 利用导数研究绝对值 选择题 6 函数 染 0.28 9 填空题 5 由函数不单调求参 中 0.68 10 利用导数研究立体几 填空题 5 / / / 中 0.35 何中的最值问题 11 解答题 13 函数的极值，不等式有 中 解问题 0.60 15 判断含参函数的单调 12 解答题 性，研究函数的零点 农 0.50 13 解答题 20 与导数有关的新定 0.28 义题 ·57· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 n≠0，由f(x)=- 1.C【解析】令f(x)=x-sinx,则f(x)=1-cosx 冬，得了()=-片，则 ≥0，故f(x)在R上单调递增，又f(0)=0,所以当 f(x)=x一sinx<0时，x<0,所以“x-sinx<0”是 n ,消去n得-4k=(1-m)em, “x<0”的充要条件.故选C. k=ne"+(1-m)e" 2.B【解析】依题意得f(x)=6x2-6ax+3在 依题意知直线y=一4k与函数h(m)=(1一m)em的 1,3)内存在变号零点，令f(x)=0,得a=x十2元， 1 图象有两个不同的交点.由h(m)=(1一m)em,得 则直线y=a与曲线y=x十 在Q,3)内有交点又 h'(m)=-2(1-m)em+(1-m)2e”=em(m-1)(m十 1),令h(m)>0,得m<-1或m>1;令h(m)0, y=1十六在(1,3)上单调递增，所以号<a<号故 得-1<m<1,所以h(m)在(-∞，-1)，(1，十∞)上 单调递增，在（一1,1）上单调递减，则h()极水值= 选B. 3.D【解析】：f(x)=e(2卫，定义域为{x≠1， h(1)=0,h(m)大蓝=k(-1)=是，且h(m)≥0恒 x-1 成立，又当m→-∞时，h(m)→0；当m→十∞时， ∴.f(x)=[e(2x-1)+2e](x-1)-c(2x-1) h(m)十o,所以要使直线y=一4k与h(m)= (x-1)2 23,令f(x)>0,得x<0或>号：令 (1一m)e“的图象有两个不同的交点，则一4h=4 e (x-1)2 解得及=一是，故选B f(x)<0,得0<x<1或1<x<号，所以f(x)在 二、选择题 (-∞，0)，（号，十∞）上单调递增，在(0,1）， 7.BCD【解析】由题得f(x)=6x2十2>0，所以f(x) 在R上单调递增，故(x)不存在极值点，故A错误； (1,号)上单调递减，故排除A,C,当x<0时，2x-1 f(一1)=-5<0，f(1)=3>0,又f(x)在R上单调 递增，所以f(x)有一个零点，故B正确；因为f(一x) <0,x-1<0,e>0,所以f(x)>0,故排除B.故 十f(x)=一2，f(0)=-1,所以点(0，-1)是曲线 选D. y=f(x)的对称中心，故C正确；因为f(x)=6x2十 4.C【解析】当x>0时，f(x)=号x十ar-a十4，则 2,所以f(0)=2,又f(0)=-1,所以曲线y=f(x) 在点(0，f(0))处的切线方程为y十1=2x,即2x-y f(x)=x2十2ax,因为f(x)在R上单调，且x→十o∞ -1=0,故D正确.故选BCD. 时，f'(x)→十∞，所以f(x)单调递增，所以 8.ACD【解析】易知f(x)=x(ln|x|+x2-1)为 (x)=x2十2ax≥0在(0，十oo)上恒成立，则a≥0， 奇函数，令h(x)=lnx|十x2-1,x≠0，当x>0时， 此时f)=子r+ar-a十4在(0，十o)上单调递 h(x)=lnx十x2-1,则h(x)=1+2x>0,故 增，则当x≤0时，f(x)=ax十cosx单调递增，则 h(x)在(0，十∞)上单调递增，又h(1)=0,所以 f(x)=a-sinx≥0，所以a≥1，又f(x)在R上单 h(x)在(0，十∞)上存在唯一零点，则f(x)在 调递增，所以一a十4≥1，解得a≤3，所以实数a的取 (0,十∞)上存在唯一零点x=1,所以当x∈ 值范围为[1,3].故选C. (0,1)时，f(x)<0:当x∈(1，十∞)时，f'(x)> 5,A【解析】构造函数f(x)=lnx十x十1，x>0,则 0,故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 f(x)=1+1>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递 递增，同理可得f(x)在(-∞，一1)上单调递减，在 (一1,0)上单调递增，易知f(x)的定义域为 增，又e+1+x+2>y+1+lny,即f(e+1)>f(y), (一∞，0)U(0,十∞)，所以f(x)存在2个极值点 所以e+l>y,则x十1>lny.故选A. 一1,1，故AC正确；因为f(x)为奇函数，所以 6.B【解析】设曲线g(x)=e上的切点为(m,em),由 f(x)有2个零点-1,1，且当x∈(-1,0)时， g'(x)=e,得g(m)=em,则切线方程为y-em f(x)>0,故B错误，D正确.故选ACD. em(x-m),即y=emx十(1-m)em,设切线y=emx十 三、填空题 (1-m)c与曲线f(x)=冬(k<0)切于点(，年），g.[1,名) 【解析】因为f(x)=2x2一lnx,x∈ ·58· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· (0,+o),所以f(x)=4x-1=4旦1，令f(x) (2)由(1)可知当a≤0时，f(x)在R上单调递增， x 则f(x)至多有一个零点，不符合题意， >0,得x>:令f()<0,得0<x<故f()在 所以a>0, (8分) 由(1)可知当a>0时，f(x)在(-o∞，lna)上单调 (0,)上单调递减，在（分，十∞）上单调递增，因为 递减，在(lna,十∞)上单调递增， f(x)在子区间(k-1,k十2)上不单调，所以0≤k-1 又当x趋向十∞时，f(x)趋向十∞：当x趋向一∞ <宁<十2，解得1<<号，故实数k的取值范围 时，f(x)趋向十o, 若f(x)有两个零点， 为[1，) f(x)m=f(In a)=a2+(2-2a)a-2aln a-a 0, 10.3【解析】设该圆柱形模型的底面半径为r 即1-a-2lna<0. (12分) (r>0),高为h(h>0),则该模型的体积V=πr2h 令g(a)=1-a-2lna,a>0, =54x,则h=4,所以该模型的表面积S=2xh十 则g(a)=-1-2<0, a 54+2=108+2x.令fr)= 则g(a)在(0，十∞)上单调递减，且g(1)=1-1 2元r2=2πr· -21n1=0, 108m+2xr2,r>0,则f(r)=4rr- 108r= 则当0<a<1时，g(a)>0: 2 当a>1时，g(a)<0, 4r(r一27)，当r∈(0,3)时，∫(r)<0,f()单调 所以实数a的取值范围为(1，十∞). (15分) r2 13.解：(1)由题得f(x)=3x2-6x,f(3)=1, 递减：当r∈(3，十o∞)时，子(r)>0,f(r)单调递 f(-1)=-3, 增，所以f(r)在，=3处取得极小值，也是最小值，即 当该模型的底面半径为3时，该模型的表面积最小. 所以f3)二f1D=1, (2分) 3-(-1) 四、解答题 11.解：(1)由题得f(x)=6x2-12x-18= 令f(e)=32-6r=1,得4=1-2， 6(x+1)(x-3), 则当x∈(-∞，-1)时，f(x)>0,f(x)单调 1+23 3 递增； 当x∈(-1,3)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 显然-1<=1-2<，=1+2<3，符合“双 3 3 当x∈(3，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 中值函数”的定义， (4分) 所以f(x)=x3-3x十1是[-1,3]上的“双中值函 所以f(x)的极大值为f(-1)=-2-6十18+3 数” (5分) =13,极小值为f(3)=54-54-54十3=-51. (6分) (2)(1)因为f(m)=f(m),所以fm）-fm=0, n-2 (2)若3x∈[-2,4]，使得f(x)<a-1, 因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”， 则f(x)i<a一1. (8分) 所以f(x1)=f(x2)=0. (7分) 由(1)可知f(x)在[一2，-1]上单调递增，在 由题得f(x)=x-lnx-a-1, (一1,3)上单调递减，在[3,4]上单调递增， 令g(x)=x-lnx-a-1, 又f(-2)=-16-24+36+3=-1,f(3)= 51,所以f(x)im=一51. 则()=1-会， x 所以a-1>-51,解得a>-50, 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)即f'(x)单调 所以实数a的取值范围为(-50，十∞). (13分) 递减： 12.解：(1)由题得f(x)=2e2r+(2-2a)e-2a= 当x∈(1，十∞)时，g(x)>0,g(x)即f'(x)单 (2e十2)(e-a), (2分) 调递增， 若a≤0，则f(x)>0,f(x)单调递增： (3分) 所以f(x)mn=f(1)=一a. (10分) 若a>0,则当x∈(na,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单 因为f(x1)=f(x2)=0,且x趋向0时， 调递增； f(x)趋向十∞，x趋向十∞时，f(x)趋向十∞， 当x∈(-o∞，lna)时，f(x)<0,f(x)单调递减. 所以一a0,则a>0, (5分) 所以实数a的取值范围为(0，十∞) (12分) 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； (ⅱ)结合(1)不妨设0<x1<1<x2, 当a>0时，f(x)在(-oo,lna)上单调递减，在 因为f(x)=x-lnx-a-1, (lna,十oo)上单调递增. (6分) 所以f(x1)=x1-lnx1-a-1=0,f(x2)=x2- ·59· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 lnx2-a-1=0, 所以h'(x)<0, 即x1-lnx1=a十1，x2-lnxg=a十1. (13分) 则h(x)在(0,1)上单调递减， (16分) 要证x1十x2>2,可证x十x2>a十2， 所以h(x)>h(1)=0, 即证x2>a十2-=1-lnx1. (14分) 所以f(x)>f(1-lnx). (17分) h(x)=f(x)-f(1-In x)=x-1+In(1- 因为0<x1<1,所以f(x1)>f(1-lnx1), In x),0<x<1, 因为f(x1)=f(x2)=0, 则h'(x)=1-x1-nx)' 1 所以f(x2)>f(1-lnx1), 因为0<x1<1,所以1-lnx1>1, 令(x)=x(1-lnx),0<x<1, 由(1)可知f(x)在(1，十o∞)上单调递增， 则g'(x)=-lnx>0, 所以x2>1-lnx1, 所以9(x)在(0,1)上单调递增， 所以x十x2>2得证. 所以0<(x)<g(1)=1, ·60·