(九)计数原理、概率、统计综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(苏教版)  

高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（九） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 由正态分布求概率 易 0.80 2 选择题 5 求样本的随机误差 易 0.72 古典概型与计数原理 3 选择题 5 易 0.70 的综合 二项分布与期望性质 选择题 5 0.55 的综合 的 选择题 5 排列组合 / K 0.45 与期望、方差有关的数 6 选择题 分 0.35 学文化题 7 选择题 6 对独立性检验的理解 父 0.69 8 选择题 6 概率与数列的综合 中 0.45 9 填空题 5 二项式定理 中 0.65 10 填空题 与相关系数有关的最 √ / 难0.28 值问题 11 解答题 13 独立性检验与条件概 率的综合 / 分 0.65 12 解答题 15 线性回归与超几何分 为 0.55 布的综合 13 解答题 20 全概率公式、二项分 中 0.35 布、正态分布的综合 ·83· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 二、选择题 1.B【解析】由X~N(100,2),得u=100,故P(70< 7.ABD【解析】由2×2列联表得m=70-27=43, X<100)=0.5-P(X≥130)=0.5-0.15=0.35.故 n=110-58=52,则b=27+n=79,故AB正确：提出 选B. 假设H:数学成绩优秀与性别无关，因为x≈1.315 2.C【解析】依题意得6.5=2×3+a,则a=0.5,所以 <2.706,且当H。成立时，x≥1.315的概率超过 线性回归方程为y=2x十0.5，当x=2.5时，y=2× 0.1,所以没有90%的把握认为“数学成绩优秀与性 2.5+0.5=5.5,所以样本点(2.5,7)处的随机误差为 别有关”，故C错误，D正确.故选ABD. 7-5.5=1.5.故选C. 8.AD【解析】当n=1时，a1十a2=1,则a2=4,,an+ 3.A【解析】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒 a+1=(-1)+1(n∈N*),.a+1十am+2=(-1)+2, 子放1个小球的放法共有A种，恰好有2个小球与 ∴.an+2-an=(-1)+2-(-1)+1=-2X(-1)+1, 盒子的编号相同的放法有C种，所以恰好有2个小 当n为奇数时，a+2一an=一2，∴.数列{an}的奇数项 球与盒子的输号相同的板率为P-景-员-子：故 构成的数列是首项为一3，公差为一2的等差数列：当 n为偶数时，an+2一an=2,.数列{an}的偶数项构成 选A. 的数列是首项为4，公差为2的等差数列，.a1o= 4.C【解析】因为X~B(3,p)(0<p<1),且P(X=2) a2十4×2=12，故A正确：S12=(a1十a3十…十a11)十 +4P(X=3)=名所以Cp1-p)+4Cp=尽 (a,十a:+…+a2)=-3X6+6X5×(-2》十4X6 2 即p+3p=令，因为fD)=D+3p在(0,1D上单 12 46X5X2三6，故B错误，P,=花=m201D 调递增，且f(2)=了，所以p=,则E(X)=3力 =号，所以E(Y)=E2X+1)=2EX)+1=2× 3 2n-1 ?寸之方版C当e时 +1=4.故选C. T,=P,PP…P。=1·.3 。…。 1 135 2n-1<i 5.D【解析】因为首位数字不能为0，所以从2025， 2 3 n！ 100,2,2,5这5个数中任选一个排在首位，有5种排 立·1·2m”22.m-12”,又 法，剩余5个数进行全排列，有A种排法，又两个2 交换位置所得的十一位数相同，且2,0,2,5排列成的 I=P=1-2T≤2，故D正确.故选AD. 2025与2025相同，所以用2025,100,2,0,2,5组成 三、填空题 的不同的十一位数的个数为冷-3=297，：连D 9.一380【解析】(x一2)的展开式中含x3的项为 C%x3(-2)3=-160x3,含x的项为Cx(-2)2= 6.D【解析】由题可知方案一中这4位同学抽到自己 60x,所以在(2.x-1)(.x一2)6的展开式中，x的系数 准备的书的概率均为，则X~B(4,寻）∴E(X 为-160×2-60=一380. 4x是-1，D(X)=4××(1-)=子.方案 10.15+7 24 【解析】设X=(x,x2,…,xn),Y=（y1, 中Y的可能取值为0,1,2,4，则P(Y=0)= y2,…yn),Z=(,2,…,n),记X=(x1一x,x2 A 24=8,P(Y-1)=C4C= C+C2(1+A)9_3 x,…,xn-x),Y'=（M-y,-y,…,y。-y),Z= A 3 (一之，一，…，之m一)，由相关系数公式P= P(Y=2)= 是=P=4)=太= 1 1 2-(- EY)=0×含+1X号+2×号+4×4= 知r=cos<X', ∑(y,-y) DY)=0-1)×令+1-10×3+(2-10× Y),设X与Y的夹角为a,Y'与Z的夹角为B,因为 +(4-1)2×7=1.E(X)=E(Y),D(X)< 仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为，法 D(Y).故选D. 定操控成绩y和灵符绘制成绩：的相关系数为。， ·84 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 所以cosa=吾c0s月=是，由这两个夹角都是锁 6.8亿元 (9分) (3)由题意知2020年至2024年这5年中的“试销 角，得a<B,所以X与Z'的夹角的范围为[g-a,a十 年”有2个， B],则X'与Z'夹角的余弦值的最大值为cos(3一a) 所以X的可能取值为0,1,2， =cos acos B+sin asin B=- 36 则P(X=0)8- √一品=15+亚，所以仙术成锁x和灵符绘 P(X=1)=CC-3 24 C%5' 制成绩：的相关系数的最大值为15十√☑ P(X=2)= CC3 (12分) 24 C3=10 四、解答题 所以X的概率分布为： 11.解：(1)提出假设H:性别与是否喜欢机器人团体舞 X 0 蹈节目无关。 1 3 经计算得x= 100×(40×30-10×20)2=50」 50×50×60×40 3 10 10 16.667>10.828, (4分) 则E(X)=0x+1×号+2×- 3 6 因为当H成立时，x≥10.828的概率约为0.001， (15分) 所以有99.9%的把握认为性别与是否喜欢机器人 13.解：(1)记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件C, 团体舞蹈节目有关。 (6分) “抽取到的手机是B品牌手机”为事件C:,“抽取到 (2)依题意得P(BA)=”CAB)=0=4 (A)50=5,(8分) 的手机是AI手机”为事件D, P(B|A)=m(AB)-202 则PC)=号P(C)=3PDC) n(A)505, (10分) 则P(B|A)>P(B|A). (11分) P(DIC)- 意义：这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节 所以P(D)=P(C)P(DC)+P(C2)P(DIC2) 目的概率比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的概 ×+×-品 = (4分) 率大 (或这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节目 (2)X的可能取值为0,300,600,900,1200， 的人数比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的人数多.) (13分) pX=o)=(1-}= 12.解：(1)由题得r= PX=30)=g×(1--)x3-, p(X=60)=×+Cx×(1--号】 V- N (y-y) 14 14 p(X=90)=C×X号= ,11 ≈14.08 ≈0.99. √28×7.08 所以变量y与x的线性相关性较强. (3分) P(X=1200)=4×4 1 1 =16 (9分) ∑(x-x)(y-) 所以X的概率分布为 (2)由题得3= 14 =0.5, 28 X 0 300 600 900 1200 - 3 (5分) 16 4 8 4 16 又x=7×(1+2+…+6+7)=4, 则E(X)=0×6 +300× +600× 8 +900× 4 y=7×(2.9+3.3+…十5.2+5.9)=4.3 +1200×6=600. (12分) 所以a=y-=4.3-0.5×4=2.3, (3)样本平均数x=45×0.1十55×0.15+65×0.2 所以y关于x的线性回归方程为y=0.5.x十2.3， +75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,(13分) (7分) 随机选1名顾客，该顾客对AI手机“非常满意”的概 当x=9时，y=0.5×9+2.3=6.8, 即预测该新能源汽车配件公司2026年的利润为 率为P(Z>8.81)=P(Zx+)=1-P( ·85· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 <Z<μ+a)]≈0.1585， 即(n十1)p-1≤k≤(n+1)p, (18分) 则YB(10000,0.1585), (15分) 即10001p-1≤k≤10001p, 记n=10000,p=0.1585, 即1584.1585≤k≤1585.1585，所以k=1585, 则P(Y=k)=Cp(1-p)(k=0,1,2,…, 所以当k=1585时，P(Y=k)取得最大值.(20分) 10000). 》82 得 希 ·86·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (九)计数原理、概率、统计综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X~N(100,o2),且P(X≥130)=0.15，则P(70<X<100)= A.0.15 B.0.35 C.0.70 D.0.79 2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为y= 2x十a,样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)处的随机误差为 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 3.现有编号均为1,2,3,4的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每 个盒子放1个小球，则侧恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为 A B司 3 C.128 D.3 4 4.已知随机变量X~B(3,p)(0<p<1),且P(X=2)+4P(X=3)= 8,若Y=2X+1, 则E(Y)= A.1 B.3 C.4 D.6 5.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明清皇宫及其收藏的基础上建立起 来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆.2025年北京故宫博 物院迎来建院100周年.用2025,100,2,0,2,5这6个数可以组成的不同的十一位数 的个数为 A.594 B.300 C.298 D.297 6.“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史 上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义.为弘扬中国优秀传统文化， 某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中 庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且每人选取的书均不相同，比赛 时有以下两种方案：方案一，这4位同学从这4本书中有放回地随机抽取1本并选择 其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为X;方案二，这4位同学从这4本书 中不放回地随机抽取1本并选择其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为 Y,则 A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(X)>E(Y)D(X)<D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 数学（苏教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了探究在某次数学测试中成绩优秀是否与性别有关，小华进行了深入的调查，并绘 制了如表所示的2X2列联表： 男生 女生 合计 成绩优秀 m 27 70 成绩不优秀 58 n 110 合计 0 b 180 经计算得x≈1.315（注：P(x≥2.706）≈0.1)，则下列结论正确的是 A.m=43 B.b=79 C.有90%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” D.没有90%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” 8.已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=-3,an十a+1=(-1)”+1(n∈N),从{an}的 前2n项中任取两项，这两项的和为奇数的概率为P2,,记数列{P2n}的前n项积为 Tm,则 A.a10=12 B.S12=-6 C.P D.T2” 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在(2x一1)(x一2)6的展开式中，x4的系数为 10.在陈塘关，哪吒发现仙童的仙术成绩x(类似数学成绩)、法定操控成绩y(类似物理 成绩)、灵符绘制成绩z(类似化学成绩)两两成正相关关系.哪吒随机抽取了55名仙 童并统计了其三项成绩，若仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为6，法定操控成 绩y和灵符绘制成绩<的相关系数为子，则仙术成绩x和灵符绘制成绩：的相关系数的 ∑(x-D)y- 最大值为 附：r 高二同步周测卷九 数学（苏教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 对于春节联欢晚会上表演的机器人团体舞蹈节目，某机构随机抽取了100名观众进 行问卷调查，得到了如下数据 喜欢机器人团体舞蹈节目 不喜欢机器人团体舞蹈节目 男性 40 10 女性 20 30 (1)能否有99.9%的把握认为性别与是否喜欢机器人团体舞蹈节目有关？ (2)从这100名观众中任选1名，记事件A为“选到的观众是男性”，事件B为“选到 的观众喜欢机器人团体舞蹈节目”，比较P(BA)和P(BA)的大小，并解释其 意义 n(ad-bc)2 附：x=a+b+a+c)6+d0n=a+b+c+d. P(x2≥xo) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 To 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12.(本小题满分15分) 某新能源汽车配件公司从2018年至2024年的利润情况如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y(单位：亿元)》 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中数据，可以认为变量y与x线性相关 (1)计算y与x的相关系数，并判断y与x的线性相关程度；（结果精确到0.01） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测该新能源汽车配件公司2026年的利润； (3)把利润不超过4.5亿元的年份叫做“试销年”，从2020年至2024年这5年中任 选3年，X表示选到“试销年”的个数，求X的概率分布和数学期望 参考数据 ∑(x-x)(y-=14,∑(y-2=7.08,(x-x)2=28, √28×7.08≈14.08. 数学（苏教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 参考公式：对于一组数据（u1,1),(u2,2),…,(m,vn),相关系数r= ∑(4-u)(w-) ;回归直线v=十α的斜率和截距的最小二乘估计 (u:-u) -u)(-w) 公式分别为3= a=v-Bu 13.(本小题满分20分) 人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为AI,是新一轮科技革命和产业变革的 重要驱动力量.近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市 场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的 顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分Z(单位：分)制作了 如下的频数分布表， 分组（单位：分） [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A,B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比 为)，B品牌中A1手机占比为，且A,B品牌手机的数量之比是2：1.现从该手机 店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环 节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，每位 顾客抽中一、二等奖的概率分别为子，？，其余情况不获得奖金：②每位顾客允许连 续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI 手机的顾客所获得的总奖金为X元，求X的概率分布和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从该手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意 度评分Z近似地服从正态分布N(,2),其中4近似为样本平均数x,6近似为样本 的标准差s,且求得s≈14.31.现将满意度评分超过84.81分的定义为顾客对AI手 机“非常满意”，若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机，记这些顾客中 对AI手机“非常满意”的人数为Y,事件“Y=”的概率为P(Y=k),求使P(Y=k) 取最大值时k的值.（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 附：若随机变量Z~N(u,62),则P(u一o<Z<H十o)≈0.683，P(u一2o<Z<H十2o) ≈0.954，P(μ-3o<Z<4+3o)≈0.997. 高二同步周测卷九 数学（苏教版）选择性必修第二册第4页（共4页）