(二)空间向量的应用- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(苏教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (二)空间向量的应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知平面α的一个法向量为m=(1,2,一2)，平面B的一个法向量为n=(一2，一4， k),若a∥B,则k= A.2 B.-4 C.4 D.-2 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是 A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) c(停-号-) 3 (停- 3 3.已知直线1的一个方向向量为a=(一1,0,1)，点A(1,2,一1)在1上，则点P(2,0,2) 到1的距离为 A.23 B.4 C.17 D.3√2 4.在正四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AA,=2AB=4,E,F分别为AB1,BC1的中点，点 G为上底面A1B,CD,的中心，则直线EG与DF所成角的余弦值为 A B号 c 5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵 指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角 形的三棱锥.如图，在堑堵ABC-A1B,C1中，∠ACB=90°，若AC=BC=1,AA1=2, 则直线B,C与平面ABB1A1所成角的余弦值为 A.30 B.v10 D.22 10 10 c言 3 6.如图，已知正方体ABCD一AB1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱 D F AA1,AD,的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若 A 直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 A.2 B.√5 C.2 D.√3 数学（苏教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是 A.两条不重合直线11,12的一个方向向量分别是a=(2,3,一1)，b=(一2，-3,1)，则 1∥12 B.直线1的一个方向向量为a=(1,一1,2)，平面α的一个法向量为u=(6,4,一1)， 则l⊥a C.两个不同的平面a,3的一个法向量分别是u=（2,2,-1),v=(一3,4,2)，则α⊥3 D.直线1的一个方向向量为a=(0,3,0),平面a的一个法向量为u=(0,一5,0)，则 l∥a 8.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方 形，PD⊥平面ABCD,PD=23,点E是棱PB上一点，则下 列说法正确的是 A.存在点E,使AE∥平面PCD D B.存在点E,使PBL平面ACE C.当平面PAE与平面ADE所成锐二面角最大时，P它= 碗 D.若点E为PB的中点，则点C到平面ADE的距离为√3 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知m=(侵k,3n=(一4,1,1)分别是平面a8的一个法向量，若a3,则= 10.已知在一个二面角的棱上有A,B两点，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面 内，并且都垂直于棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=√J38,则这个二面角的大小 为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AD= 2AB=4,M是棱PD的中点， (1)证明：平面PCD⊥平面ABM; (2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值. 高二同步周测卷二 数学（苏教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 如图，长方体ABCD一ABC1D,的底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB 已知菱形ABCD如图①所示，其中AB=4且∠CAB=60°，现沿AC进行翻折，使得 的中点，F为线段CA1的中点. (1)证明：EF∥平面ADDA1; 平面ABCL平面ACD,再过点B作BE⊥平面ABC,且BE=AB,所得图形如图 4 (2)求平面A,DC与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值. ②所示. (1)求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值； (2)已知点P满足AP=AAC(入∈R). (i)若BP∥平面ADE,求λ的值； (i)若BP与平面ADE所成角为0，求sin0的最大值 图0 图② 数学（苏教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷三 数学（苏教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由面面平行求参 易 0.80 2 选择题 5 求平面的法向量 易 0.72 选择题 利用空间向量求点到 直线的距离 易 0.70 4 选择题 5 求异面直线所成的角 √ 分 0.55 选择题 利用空间向量求线面 角（文化题） L 0.45 6 选择题 5 利用空间向量求点的 轨迹长度 / 中 0.30 7 选择题 6 利用空间向量判断位 置关系 / 易 0.75 8 选择题 6 空间向量的综合应用 难 0.28 9 填空题 5 由两平面垂直求参 易 0.71 10 填空题 由向量法求二面角 分 0.45 11 解答题 13 利用空间向量证明面 L 中 0.60 面垂直，求线面角 利用空间向量证明线 12 解答题 15 面平行，求两平面所成 0.45 的角 利用空间向量求面面 13 解答题 20 角的余弦值，由线面平 行求参，求线面角的正 L / / / 快 0.25 弦值的最值 季考答案及解析 一、选择题 k)=λ(1,2，一2)，.入=一2，k=4.故选C. 1.C【解析】：a∥β，∴.m∥n,设n=m,即(-2，-4,2.C【解析】设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), ·57· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1), 中 个厂m0-V个高=3巴，因此直线BC与平 ,则x=y=之，对比各选项，可 知C符合.故选C 面ABA所成角的余孩值为3巴故选A 3.A【解析】由题得PA=(-1,2,-3),所以|cos(a, 6.B【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD的方向分 pi按瑞 11+0-31_ 别为x,y,:轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 -,所以sin(a, 7 标系，则B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D(0,0, 2),设点P(a,b,0),则BE=(0,-2,1),EF= (-1,0,1),DP=(a,b,-2).设平面BEF的法向 1PA=√-1)+22+(-3)7=√1+4+9=√14， /m·BE=-2y十x=0 量为m=(x,y,x),由 则点P到直线l的距离为|PA|·sin(a,PA)=√I4 m·E京=一x+之=0，取 2,可得x=2,y=-1,所以m=(2,1,2).由题意可知， ×型=25.故选A. D1P∥平面BEF,则D1P·m=2a十b-4=0,令b= 7 0,可得a=2,令b=2,可得a=1,所以点P的轨迹为 4.D【解析】以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为 线段，且交AD于点A(2,0,0),交BC于点M(1,2, x,y,之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， O),所以点P的轨迹长度为AM=√AB+BM= D /22+1=√5.故选B. G A B E 则D(0,0,0),E(2,1,2),F(1,2,2),G(1,1,4), EG=(-1,0,2),DF=(1,2,2),于是cos<EC,DF》 二、选择题 E1D示V后X3=号，故直线BG与DF所成 EG.DF 7.AC【解析】对于A,由a=(2,3,-1),b=（-2, -3,1),得a=-b,所以a∥b,所以l4∥l,故A正 角的余孩值为故运D 确；对于B,假设a∥u,则存在唯一的实数入，使得a 1=6λ w,即(1，-1,2)=(6以，4入，-入)，所以-1=4λ，无 5.A【解析】以C为原点，CA,CB,CC的方向分别为 2=-1 x,y,之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 解，所以a,u不共线，所以l,a不垂直，故B错误：对 ZA 于C,因为4·v=一6十8一2=0，所以4⊥v,所以a B,故C正确：对于D,因为a·u=一15，所以a,u不垂 直，所以l,a不平行，故D错误.故选AC, 8.ABD【解析】对于A,当点E位于点B时，此时AE ∥CD,AE丈平面PCD,CDC平面PCD,故AE∥平 面PCD,A正确：对于B,以D为原点，DA,DC,DP的 方向分别为x,y,x轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则B(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0) CB1=(0,1,2),BA=(1,-1,0),BB1=(0,0,2), 设平面ABB1A的法向量为n=(x,y,x),则 D 盛-0取-1想a-1o0设直线 BC与平面ABB1A所成角为6，则sinB= :a万X2=六·所以0 ICB·m= 则P(0,0,25),A(2,0,0),D(0,0,0),C(0,2,0), ·58· 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· B(2,2,0),Pi=(2,2,-25),A花=(-2,2,0)， 四、解答题 由于PB·AC=-4+4=0,故PB⊥AC,设PE 11.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为 矩形，所以AB,AD,AP两两垂直， aPB,0≤a≤1，则E(2a,2a,25-2√5a),则AE 故以A为坐标原点，以AB,AD,AP的方向分别为x (2a-2,2a,2√3-25a),要使PB⊥平面ACE,则 轴，y轴，之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 PB.AE=2(2a-2)+4a-2W3(23-2√5a）=0, 标系， 24 解得a=号，故存在点E,当P它=Pi时，P店1A心， 结合PB⊥AC,AE∩AC=A,AE,ACC平面ACE,故 PB⊥平面ACE,B正确；对于C,DE (2a,2a,23-2W5a),DA=(2,0,0),PA= (2,0,-25),AE=(2a-2,2a,2√5-25a),设平 面ADE的法向量为u=(x1y刘)，则 Di.u=2a.+2ay+(2W5-25a)=0,令1= 因为AP=4,AD=4,AB=2, DA·u=2x1=0 所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0), a,则u=(0,√3a-√5，a),设平面PAE的法向量为 P(0,0,4),M(0,2,2), v=（x2,y2,2),故 AB=(2,0,0),AM=(0,2,2),P元=(2,4，-4) AE·v=(2a-2)x2十2ay2+(2√5-2√3a)z2=0 PD=(0,4,-4), (3分) lPA.v=2x2-25x2=0 设平面ABM的法向量为n=(x,y,z), 令=1，则v=(,0,1),设平面PAE与平面ADE 则高 :2x=0 所成锐二面角为0，则cos9=|cos<,v)|= 故2y+22=0' u·v 取y=1,则n=(0,1,-1), (5分) Tu·vT2√3(a-1)'+a 2√/4a2-6a+3 设平面PCD的法向量为m=(a,b,c), 1 2 D武m=0,故2a十6二c=0. 23(-)+ ,显然a= 4 则p市·m=0人 14b-4c=0 取b=1,则m=(0,1,1), (7分) 时，cos0并不是最小值，即此时平面PAE与平面 因为m·n=1-1=0,所以平面PCD⊥平面ABM. ADE所成锐二面角不是最大，故C错误；对于D,点 (8分) E为PB中点时，E(1,1,√3)，故DE=(1,1,W5), (2)由(1)知平面ABM的一个法向量为n=(0,1, DA=(2,0,0),DC=(0,2,0),设平面ADE的法向 -1). PC=(2,4,-4), 量为m=(x,y,z),则 D范，m=x十y十5=0，令 设直线PC与平面ABM所成的角为B, DA·m=2.x=0 则sin0=lcos<PC,n> y=√3，则m=(0,√3，-1)，则点C到平面ADE的 |2×0+4×1+(-4)×(-1) 22 距离为DCm-2-5,故D正确：故选ABD. w/2+42+(-4)F×√/02+12+(-1) 3 m 2 三、填空题 所以直线PC与平面ABM所成角的正弦值为2y区 31 9.一1【解析】因为a⊥B,所以m⊥n,故m·n= (13分) (号，k,3）·(-4,1,1)=-2+k+3=0,解得k= 12.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x, -1. y,之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 10.60°【解析】如图，设AC,BD》=8(0°≤0≤180)， 则二面角的大小为0，由题知CA⊥AB,AB⊥BD, AC·AB=BD·AB=0,<CA,BD)=180°-，故 ICD=(CA+AB+BD)*=ICA+ABI+ |BD|+2|CA||BD|cos(180°-0)，故（√38） =3*+5+4+2X3X4X(-c0s0,故0s0=2, E 0=60°.因此所求二面角的大小为60°。 B 则E(2,1,0),C(0,2,0),A(2,0,4), 又F为线段CA1的中点，所以F(1,1,2), 所以EF=(-1,0,2), 又平面ADD1A的一个法向量为n=(0,1,0), (3分) ·59· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 所以E市.n=0,即E⊥n, 217 又EF工平面ADDA,所以EF∥平面ADDA1. 17 (6分) 即平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 (2)由(1)可得D(0,0,0),A(2,0,0), 2√17 所以DC=(0,2,0),DA1=(2,0,4),AC=(-2,2, 17 (8分) 0), (2)(1)因为A言=(25,2,0)，AC=(0,4,0), 设平面ADC的法向量为m=(x,y,x), 1DC·m=2y=0 AD=(0,2,25),AE=(23,23) 则品：m=2x十4：=0 所以AP=AAC=(0,4a,0),BP=AP-AB= 取x=-1,得x=2,y=0,则m=(2,0,-1). (-25,4-2,0), (9分) (10分) 设平面ADE的法向量为m=(x,y,之)， 连接AC,由底面ABCD为正方形，可知AC⊥BD, 所以m·AD=2y+23=0 又AC⊥DD,BD∩DD1=D,BD,DD,C平 m·AE=2V3x+2y+5:=0 面BDD1B, 令x=1,得y=-25,2=2, 所以AC⊥平面BDD1B, 所以m=(1,-2√3,2)， (11分) 即AC=(一2,2,0)为平面BDD1B:的一个法向量， 设平面ADC与平面BDD1B:所成锐二面角为9， 因为BP∥平面ADE,所以BP⊥m, 则cos9=cos(AC,m>1=LAC·m 即BP·m=-2√5-23(4λ-2)=0， 4 |AC·|m√8X5 解得X=子 (13分) -0 (i)设P(0,t,0),t∈R,则B驴=(-25，t,0), 5 所以平面ADC与平面BDDB所成锐二面角的 由(1)知m=(1,-2√5,2)为平面ADE的一个法 向量， 余弦值为 (15分) sin 0=I cos(m,BP)=23 t+123 13.解：(1)取AC中点O,连接OB,OD, √/17×w/12+t√17 由题图①可知，△ACD,△ABC是正三角形， X+1 所以OD⊥AC,OB⊥AC, √12+ 又因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面 设t十1=m,其中=(m-1)2, ABC=AC,ODC平面ACD, 所以OD⊥平面ABC, 则sin9=23 √/17√mn2-2m+13 以O为坐标原点，OB,OC,OD的方向分别为x,y,x 当m=0时，sin0=0; 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 当m>0时，sin0=2至 25 17 2+13 /17 /1 √13_/13_22I 1217 17 1 背1=，即=12时，等号成立： 当m<0时，sin9=2至 17 W/1+2 13 则A(0,-2,0),B(2√3,0,0)，C(0,2,0),D(0,0, 2√5)，E(23,0W3), (3分) =23 V17 此时sinB无最 因为Ci=(0,-2,23),C龙=(23，-2W5), (m+)+ 设平面CDE的法向量为n=(x,,x1), 大值。 所以n·C面=-2+25=0 n·CE=23x1-2y十3=0 综上，s如的最大值为俨 令x1=1,得y=23,=2,所以n=(1,25,2), (5分) 由题知，平面ABC的一个法向量为I=(0,0,1), (6分) 设平面CDE与平面ABC所成锐二面角为a, 则。112示 2 ·60·