6.3.2 第2课时 空间向量与垂直关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量与垂直关系，系统涵盖线线、线面、面面垂直的向量证明及探索性问题，通过复习向量运算导入，以典例为支架衔接平面向量与空间几何知识，构建完整知识脉络。 其亮点在于以向量法为核心，通过坐标法、基向量法等通性通法培养数学思维，结合跟踪训练与随堂检测强化数学语言表达，如用向量数量积证明线线垂直，助力学生掌握逻辑推理能力，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第2课时　空间向量与垂直关系 1 典例研析 01 课时作业 02 目录 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜直线和直线垂直 【例1】　（链接教科书第32页例3）证明：如果平面内的一条直线和这个 平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.（三垂线 定理的逆定理） 已知：PO⊥α，PA是平面α的一条斜线，a⊂α，a⊥PA. 求证：a⊥OA. （如图） 证明：∵PO⊥α，a⊂α，∴PO⊥a.不妨设直线a的方向向量为a，又 a⊥PA，∴ ·a＝0， ·a＝0. 而 ＝ － ，∴ ·a＝ ·a－ ·a＝0－0＝0.∴a⊥OA. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用向量法证明线线垂直 （1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两条直线方 向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证 明两条直线的方向向量互相垂直； （2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合 图形，将两条直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证 明两条直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相 垂直. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC； 证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0， 0），C（0，1，0），E ，B1（1，1，1）. ＝（－1，－1，1）， ＝（－1，1，0）， ∴ · ＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0， ∴ ⊥ ，∴BD1⊥AC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明： ＝（－1，－1，1）， ＝（ ， ，1）， ∴ · ＝（－1）× ＋（－1）× ＋1×1＝0， ∴ ⊥ ，∴BD1⊥EB1. （2）BD1⊥EB1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜直线和平面垂直 【例2】　（链接教科书第34页例6）如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A（2a，0，0），C（0，2a，0），B1（2a，2a，2a），E（2a，2a，a），F（a，a，2a）. ∴ ＝（a，a，2a）－（2a，2a，a）＝（－a，－a，a）， ＝（2a，2a，2a）－（2a，0，0）＝（0，2a，2a）， ＝（0，2a，0）－（2a，0，0）＝（－2a，2a，0）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∵ · ＝（－a，－a，a）·（0，2a，2a）＝（－a）×0＋（－a） ×2a＋a×2a＝0， · ＝（－a，－a，a）·（－2a，2a，0）＝2a2－2a2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用向量法证明线面垂直 （1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝ AB，E是PC的中点.求证：PD⊥平面ABE. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，建立 如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0， 0），D ， ∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形， ∴C ，E . ∴ ＝（1，0，0）， ＝ ， ∴设平面ABE的一个法向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 则 即 令y＝2，则z＝－ ，∴n＝（0，2，－ ）. ∵ ＝ ，显然 ＝ n， ∴ ∥n，∴ ⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜平面和平面垂直 【例3】　（1）证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一 个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β. 求证：α⊥β. 证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. ∵l⊥α，∴u是平面α的法向量. ∵l⊂β，而n是平面β的法向量，∴u⊥n. ∴α⊥β. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且 AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1， 1，0），S（0，0，1），E（ ， ， ）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 16 法一　连接AC，交BD于点O，连接OE， 则点O的坐标为（ ， ，0）， 易知 ＝（0，0，1）， ＝（0，0， ），∴ ＝ ， 又OE与AS无公共点，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　设平面BDE的一个法向量为n1＝（x，y，z）. 易知 ＝（－1，1，0）， ＝（－ ， ， ）， 由 得 即 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∵n1·n2＝0， ∴平面BDE⊥平面ABCD. 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）. ∵AS⊥平面ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝ ＝（0，0，1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明面面垂直的两种方法 （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去 证明； （2）向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB ＝ PD. 证明：平面PQC⊥平面DCQ. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，以{ ， ， }为正交基底建立空间直角 坐标系D-xyz. 设正方形ABCD的边长为1， 则D（0，0，0），Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）， 则 ＝（1，1，0）， ＝（0，0，1）， ＝（1，－1，0）， ∴ · ＝0， · ＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ， 又PQ⊂平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜立体几何中的探索性问题 【例4】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点. （1）求证：A1E⊥BD； 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分 别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a， 0），C（0，a，0），D（0，0，0），A1（a，0， a），C1（0，a，a）. 设E（0，a，e）（0≤e≤a）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明： ＝（－a，a，e－a）， ＝（－a， －a，0）， ∵ · ＝a2－a2＋（e－a）·0＝0， ∴ ⊥ ，即A1E⊥BD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置. 解：设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝（x1， y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）. ∵ ＝（a，a，0）， ＝（a，0，a）， ＝ （0，a，e）， ∴n1· ＝0，n1· ＝0，n2· ＝0，n2· ＝0. ∴ 取x1＝x2＝1，得n1＝（1，－1，－1），n2＝ . 由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2. ∴2－ ＝0，即e＝ . ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进 行逻辑推理； （2）探索性问题的关键是设点： ①空间中的点可设为（x，y，z）； ②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为（x，y，0）； ③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为（0，0，z）；④直线 （线段）AB上的点P，可设为 ＝λ ，表示出点P的坐标，或直接 利用向量运算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为 45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝ AD ＝1. 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）. 假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E（0，y， z），则 ＝（0，y，z－1）， ＝（0，2，－1）. ∵ ∥ ，∴y（－1）－2（z－1）＝0.　① ∵ ＝（0，2，0）是平面PAB的法向量， ＝（－1，y－1，z）， 由CE∥平面PAB，可得 ⊥ ， ∴（－1，y－1，z）·（0，2，0）＝2（y－1）＝0. ∴y＝1，代入①式得z＝ ， ∴点E的坐标为（0，1， ），即点E是PD的中点， ∴存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知直线l1的一个方向向量为n1＝（3，－2，1），直线l2的一个方向向 量为n2＝（2，2，－2），则直线l1与l2的位置关系为（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 平行但不重合 D. 相交但不垂直 解析： 　因为n1·n2＝3×2＋（－2）×2＋1×（－2）＝0，所以n1⊥n2， 所以l1与l2的位置关系为垂直. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 若平面α，β的法向量分别为a＝（－1，2，4），b＝（x，－1，－ 2），且α⊥β，则x＝（　　） A. 10 B. －10 C. D. － 解析： 　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝（－ 1，2，4）·（x，－1，－2）＝0，解得x＝－10. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面 ABCD，且PD＝1.若E，F分别为PB，AD的中点，求证：EF⊥平面 PBC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，过点D作DG⊥PC，交PC于点G（图略）， 则E（ ， ， ），F（ ，0，0），G（0， ， ），B（1，1，0）， C（0，1，0）， ∴ ＝（0，－ ，－ ）， ＝（0， ， ）， ＝（－1，0，0）， ∴ · ＝0，DG⊥平面PBC， ∴ 为平面PBC的法向量， 又 ＝－ ，∴ ∥ ，∴EF⊥平面PBC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设直线l1，l2的方向向量分别为a＝（－2，2，1），b＝（3，－2， m），若l1⊥l2，则m＝（　　） A. －2 B. 2 C. 10 D. 6 解析： 　因为a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m＝0，解 得m＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正 方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设正方体的棱长为2a.对于A，M（0，2a，2a），N（2a， 0，2a），O（a，a，0），P（0，2a，a），则 ＝（2a，－2a， 0）， ＝（－a，a，a），则 · ＝－4a2，故A错误；对于B，M （0，2a，2a），N（2a，2a，0），O（a，a，0），P（0，0， a），则 ＝（2a，0，－2a）， ＝（－a，－a，a），则 · ＝－4a2，故B错误；对于C，M（2a，2a，2a），N（0，2a，0），O （a，a，0），P（0，0，a），则 ＝（－2a，0，－2a）， ＝ （－a，－a，a），则 · ＝0，即MN⊥OP，故C正确； 对于D，M（0，0，2a），N（0，2a，0），O（a，a，0），P（2a， a，2a），则 ＝（0，2a，－2a）， ＝（a，0，2a），则 · ＝－4a2，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知平面α与β的一个法向量分别是a＝（x，2，2），b＝（1，3， y），若α⊥β，且｜a｜＝2 ，则y＝（　　） A. －5 B. －1 C. 4或－4 D. －5或－1 解析： 　由｜a｜＝2 ，得x2＋4＋4＝24，解得x＝±4.∵α⊥β， ∴a⊥b，∴a·b＝x＋6＋2y＝0.当x＝4时，得y＝－5；当x＝－4时，得 y＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ， ＝ （x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z的值分别为 （　　） A. ，－ ，4 B. ，－ ，4 C. ，－2，4 D. 4， ，－15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵ ⊥ ，∴ · ＝3＋5－2z＝0，解得z＝4.∴ ＝ （3，1，4）.∵BP⊥平面ABC，∴ ⊥ ， ⊥ . ∴ 化为 解 得 ∴x＝ ，y＝－ ，z＝4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且 ＝（2， －1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）.则（　　） A. AP⊥AB B. AP⊥AD C. 是平面ABCD的一个法向量 D. ∥ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　 · ＝2×（－1）＋（－1）×2＋（－4）×（－1）＝－ 2－2＋4＝0，∴ ⊥ ，即AP⊥AB，故A正确； · ＝4×（－1） ＋2×2＋0＝0，∴ ⊥ ，即AP⊥AD，故B正确；∵AP⊥AB， AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，∴ 是平面ABCD的一 个法向量.又BD⊂平面ABCD，∴ ⊥ ，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是底面ABCD的中 心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线EM（　　） A. 和AC垂直 B. 和AA1垂直 C. 和MN垂直 D. 与AC，MN都不垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　以{ ， ， }为正交基底，建立空间直角坐标系（图 略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C （0，2a，0），E（a，a，0），N（0，a，2a）.∴ ＝（－a，－ a，a）， ＝（0，a，a）， ＝（－2a，2a，0）.∴ · ＝ 0， · ＝0，∴EM⊥AC，EM⊥MN. EM和AA1显然不垂直.故A、C 正确，B、D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知a＝（0，1，1），b＝（1，1，0），c＝（1，0，1）分别是平面 α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对. 解析：因为a·b＝（0，1，1）·（1，1，0）＝1≠0.a·c＝（0，1， 1）·（1，0，1）＝1≠0，b·c＝（1，1，0）·（1，0，1）＝1≠0，所以 a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知点A（0，0，0），B（1，1，1），C（1， ，1），D（ ，1， 1），E（1，1， ），则直线AB与平面CDE的位置关系是 ⁠. 解析：根据题意建立空间直角坐标系，如图所示.∵A（0， 0，0），B（1，1，1），C（1， ，1），D（ ，1， 1），E（1，1， ），∴ ＝（1，1，1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（ ，0，－ ），∴ · ＝0， · ＝ 0，∴AB⊥DC，AB⊥DE，又DC∩DE＝E，DC，DE⊂ 平面CDE，∴AB⊥平面CDE. 垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2， 1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝ ，则n的坐标为 ⁠ ⁠. （－2， 4，1）或（2，－4，－1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：据题意，得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，0，2）.设n＝ （x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴ 即 可得 ∵｜n｜＝ ，∴ ＝ ，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝ 2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°， 且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证 明：PQ⊥OA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x 轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）. 则A（1，0，0），C（0，0，1）， B . ∵P为AC的中点，∴P . ∴ ＝ ， 由已知，可得 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 又 ＝ ＋ ＝ ， ∴ ＝ － ＝ . ∵ · ＝0，∴ ⊥ ，即PQ⊥OA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 （　　） A. AC B. BD C. A1D D. A1A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体 的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1， 0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）， E ，∴ ＝ ， ＝（－1，1，0）， ＝（－1，－1，0）， ＝（－1，0，－1）， ＝（0，0，－1）.∵ · ＝ ×（－1）＋ ×（－1）＋1×0＝ 0.∴CE⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若 在BC上只有一个点Q，满足PQ⊥QD，则a的值等于 ⁠. 解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），C（1， a，0）.设Q（1，y，0），P（0，0，z），则 ＝（1， y，－z）， ＝（－1，a－y，0）.由 · ＝0，得－1 ＋y（a－y）＝0，即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a ＝2时，满足条件的点Q只有一个. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若 直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为 ⁠ ；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标 是 ⁠ ⁠. （－ ， ， 1） （4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即 可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：设M（x，y，z）.∵ ＝（1，－1，0）， ＝（2，1，－ 4）， ＝（x，y，z－1）， ＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题 意，得 ∴ ∴点M的坐标为（－ ， ， 1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n· ＝x1－y1＝0， n· ＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝ .∴n＝（1，1， ）. 设点N的坐标为（a，b，c），则 ＝（a，b，c－1）.由题知， ∥n，即 ＝ ＝ .∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别为线段AB，A1A的 中点，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求证：EF⊥平面B1CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系. 设A1A＝AC＝BC＝2， 则C（0，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），F （2，0，1）， 所以 ＝（1，－1，1）， ＝（0，2，2）， ＝ （－1，1，2）. 设平面B1CE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令z＝－1，则y＝1，x＝－1，即n＝（－1，1，－1）， 显然 ∥n，所以EF⊥平面B1CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD ＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：证明：由题意知，DA， DC，DP两两垂直. 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系，设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0）， C（0，a，0），E ， P（0，0，a），F ， ＝ ， ＝（0，a，0）， 因为 · ＝0，所以 ⊥ ， 从而得EF⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点 G坐标；若不存在，试说明理由. 解：存在.理由如下：假设存在满足条件的点G， 设G（x，0，z），则 ＝ ， 若使GF⊥平面PCB，则由 · ＝ ·（a，0，0）＝ a ＝0，得x＝ ； 由 · ＝ ·（0，－a，a）＝ ＋a ＝0，得 z＝0， 所以G点坐标为 ， 故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $