(一)空间向量及运算、空间向量的坐标表示- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(苏教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (一)空间向量及运算、空间向量的坐标表示 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，A1B-BC+A1A= A.DB B.DB C.A,C D.AC 2.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,b),若A,B,C三点共线， 则a十b的值为 A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=3MA,N 为BC中点，则MV= B.3 4a+ C.ga+zo-ze 1 D. a-ge 4.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马 P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1,异面直线PD与AC所成角的 余弦值为，则AD= A号 B是 C.2 D.3 5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°，∠BAA' =∠DAA'=60°，则AC的长为 A.12 D' B.√85 C.√6I D.√70 数学（苏教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.在三棱锥A-BCD中，BD=AC=√I3,BC=AD=√/10，AB=CD=√5，棱AB中点 为M,点N为棱CD上的动点，当AV·MN取最小值时，线段DN的长度为 A.√5 B语 c号 n号 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在空间直角坐标系中，已知点P(2,3,4),则下列叙述中正确的是 A.点P关于x轴的对称点是P1(2,一3，一4) B.点P关于yO2平面的对称点是P2(2,一3，一4) C.点P关于原点的对称点是P3(-2,-3,-4) D.点P关于y轴的对称点是P4(2,一3,4) 8.如图，在直四棱柱ABCD-AB,C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB= AA=2,P为CC1的中点，点Q满足DQ=λDC+DD1(A∈[0,1]，∈[0,1])，则下 列结论正确的是 A.若入十=1，则四面体ABPQ的体积为定值 D B.若AQ=√5，则点Q的轨迹为一段圆弧 C.若△ABQ的外心为O,则A1B·AO为定值2 D.若入=1且μ=2，则存在点E∈AB,使得AE+EQ的最小值 为W9+2√10 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知点A(3,6,1),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐 标为 10.在四面体ABCD中，点M,N分别为△BCD,△ABC的重心，过M作直线与棱BD, CD分别交于点E,F,记DB=入DE,DC=uDF,则入十= .若四面体 ABCD的体积为3，则四棱锥N一BCFE体积的最大值为.（本题第一空2 分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知向量a=(1,3,-2),b=(1,0,2),c=(,n,-4). (1)若a∥c,求b-c的值； (2)若b⊥c,c=9,求a·(b-c)值. 高二同步周测卷一 数学（苏教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD1中，E,F分别在棱BB,和DD,上，且 如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，CA=CB=1,∠BCA=90°，AA,=2,M,N分 BE=专BB,DF=子DD. 别是棱A1B1,A1A的中点. (1)求|BN+NM: (1)求证：A,E,C,F四点共面； (2)求cos<BN,CB)的值； (2)若EF=xAB十yAD+之AA1,求x十y十之的值. (3)求证：A1B⊥CM. D 数学（苏教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷一 数学（苏教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 空间向量的加减法 易 0.80 2 选择题 5 利用空间向量解决三 0.72 点共线问题 邻 3 选择题 5 用基底表示一个向量 易 0.70 由异面直线所成的角 4 选择题 5 中 0.55 求参 利用空间向量求线段 选择题 的长 分 0.45 由向量数量积的最值 6 选择题 名 0.30 求线段长 确定点关于坐标平面、 选择题 6 坐标轴、原点的对称点 名 0.65 的坐标 利用空间向量解决动 8 选择题 态几何问题 / / 必 0.40 填空题 由空间平行关系求点 L 多 0.71 的坐标 利用空间向量求体积 10 填空题 5 / 的最值 L 父 0.35 11 解答题 13 空间向量的坐标运算 多 0.75 向量的线性表示，证明 12 解答题 15 四点共面，由向量的线 中0.55 性表示求参 利用向量的坐标运算 13 解答题 20 证明线线垂直，求向量 V V 中 0.45 的夹角及模长 ·53· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 AA=|AB1·|AA|·cos60°=10，AD.AA 1.B【解析】由题意得A,B-BC+A,A=(AA+AB -BC-A1B-A1D=D1B.故选B. ·1·os60=号所以A 2.A【解析】由题得AB=(-1,-2,-3),BC=(-1, (AB+AD+AA)*=AB+AD+AA+ a-1,b-2),由于A,B,C三点共线，所以a-1=-2, 2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA=16+9+25 b-2=-3,解得a=-1,b=-1,故a+b=-2.故 +0+20+15=85,所以|AC|=√85.故选B. 选A. 6.D【解析】将三棱锥A一BCD补全为长方体，设长 3.B【解析】连接ON,:V是BC的中点，∴.O 'a2+6=13 20i+20元，：0成=3Mi.:0成=是0i, 方体的长，宽，高分别为a,b,c,则有6十c2=10,解 a2+c2=5 M时-0-0i=oi+d-goi=-是a a=2 得{b=3,以D为原点建立如图所示的空间直角坐 c=1 标系， M N 4.C【解析】由题意，以A为坐标原点，AB,AD,AP的 则A(3,0,1),C(0,2,1),B(3,2,0),D(0,0,0), 方向分别为x,y,之轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， M(3.1号)，设D=xDC,A∈[0,1]，则N(0,2x, A),故AN=(-3,2x,A-1),MN=（-3,2x-1,A 号)所以A衣·M=9+2以(2-1D+ D (以-1)（么-支）=5-子x+号，则当入=元时， 矿·矿取得最小值，此时DN=易DC=5故 选D. 设AD=a>0,因为PA=AB=1,所以A(0,0,0), 二、选择题 C(1,a,0),P(0,0,1),D(0,a,0),AC=(1,a,0), 7.AC【解析】点P关于x轴的对称点的坐标是(2， 一3，一4)，故A正确；点P关于yOz平面的对称点的 PD=(0,a,-1),设异面直线PD与AC所成角为 坐标是（一2,3,4），故B错误；点P关于原点的对称 0,则os0=|cos(AC,Pi1=AC·Pi 点的坐标是（一2，一3，一4），故C正确；点P关于y ACIPD 轴的对称点的坐标是（一2,3，一4），故D错误.故 a 选AC. √1+a×wWa2+1 号，解得a=2,即AD=2.放 8.ABD【解析】对于A,连接DC,因为入十μ=1，故点 选C. Q在线段DC上，因为AB∥DC,故DC∥平面 5.B【解析】由题意可得AC=A店+A市+A,由 ABP,所以Q到平面A1BP的距离为定值，又因为 ∠BAD=90°，则AB·AD=0,由∠BAA'=∠DAA S△A,即为定值，所以四面体ABPQ的体积为定值，A 正确：对于B,取AB中点R,连接DR,因为底面 =60°，|AB1=4,|AD1=3,|A1=5,则AB· ABCD是一个内角为60的菱形，所以DR⊥AB,以D ·54· 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 为原点，D求，DC,DD的方向分别为x,y,之轴正方向 是Di=合D+号D,所以Di=合D+台D, 建立如图所示的空间直角坐标系， 由于E,M,F三点共线，所以文+货=1A十u=3. 3 依题意，Vm=了S6m·h=,SaD·h=9, SRFE-SAND -SAFFD-SAND-- 合x DEX DFX sin∠EDF=-Sam-号X}×DBX×DCX sin∠EDF=Sam-X(}×DB X DCx 入以 故A1(W,-1,2),C(0,2,0),D(0,0,2), sin∠EDF）=Sam×Sam=（1-)5am u Q(0,2x,2),由AQ=5可得(2入+1)2+(24-2)2 由于NG= =2,故点Q的轨迹为以(0，一1,2)为圆心，W2为半 号AG,所以点N到平面BCFE的距离 径的圆落在正方形CDDC,内的部分，为一段圆弧， 是点A到平面BCD的距离的3，所以VN-xE B正确；对于C,如图， 1 D 1-1≤1- 入 =1--号当且仅当=公 2 D 号时等号成立，所以四棱锥N-BCFE体积的最 大值为多 取AB中点T,连接OT,所以OT⊥AB,故AB· A0=A序=4，C错误：对于D,由A=1,n二之， 可得点Q与点P重合，将△A1AB沿A1B翻折至与 △ABP在同一平面内，则AE+EQ的最小值即为线 段AP的长度. K(Q) 四、解答题 B 1.解：1市a/e,得平-子=二之解得m=2m=6, 由题可得AB=2√2，CP=C1P=1,A1C1=2√3，则 (2分) BP=√5，A1P=√13，所以AB十BP=AP,所以 所以c=(2,6,一4)， AB⊥BP,所以∠ABP=135°，则在△ABP中，由余 而b=(1,0,2),则b-c=(-1,-6,6), 弦定理得AP=√AB+BP2-2AB·BPcos135 所以|b-c=√(-1)2+(-6)+62=√/73.(5分) (2)由b⊥c,得1×m+0×n+2×(-4)=0,即m-8 √/9+2√I0,所以AE+EQ的最小值为 =0,解得m=8, √9+2√10，D正确.故选ABD. 由c=9,得√64十n十16=9，解得n=士1，(8分) 三、填空题 当m=8,n=1时，c=(8,1,-4),b-c=(-7,-1, 9.(1,4,1)【解析】设D(x,y,),因为ABCD是平行 6), 四边形，所以AD=BC,即(x-3,y-6,之-1)=(-2， 所以a·(b-c)=1×(-7)+3×(-1)+(-2)×6 -2,0),解得x=1,y=4,x=1,故顶点D的坐标为 =-22. (10分) (1,4,1). 当m=8,n=-1时，c=(8,-1,-4),b-c=(-7, 10.3号【解析】设G是BC的中点，所以A,N,G三 1,6), 所以a·(b-c)=1×(-7)+3×1+(-2)×6= 点共线，D,M,G三点共线，D心=号D成+D心，即 -16. (12分) 综上，a·(b-c)的值是-22或-16. (13分) ·55· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 12.解：(1)：AC=AB+AD+AA=AB+AD十 由题意得B(01.0),M(分，22小， 号A不+号AM=A店+号AM+ò+号Ad 所以成=（分，-，2）： AB+BB+AD+名DD,=(AB+B成+(AD+ D市)=AE+A 故1成+=B-V++4= 2 ∴A,E,C,F四点共面。 (8分) (7分) (2).EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE)= (2)依题意得N(1,0,1),B(0,1,0),C(0,0,0), B(0,1,2), A茄+号DD-A店-青B丽=-A店+A市+ 故BN=(1,-1,1),CB=(0,1,2), 专不. 则B.CB=0-1+2=1, |Bi|=√+1+I=5,|CB,|=√0+1+4 六x=-1y=1,= Γ3 =√5， 叶叶=3 (15分) 所以cos(B成，CB)=一 BN.CB. |BV||CB√3X5 13.解：(1)以C为坐标原点，CACB,CC的方向分别为 15 x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 15 (14分) 标系， (3)依题意得A(1,0,2),C(0,0,2), 故BA=1,-12).Ci=(分，20) 由于0应B或-方号+0=0 故CM⊥BA,即AB⊥C,M B ·56·