(一)空间向量及运算、空间向量的坐标表示-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考苏教版）

① 粒学（苏教服}选择性企修第二质第1夏「共4面引 蛋水金馨·究享题·离二同步因测花一 监学（苏较极引选择性必修第二研第2页{共4西引 12,(木小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD一A,BC,D,巾，面四边形ABCD是边长为1的正方 形，A4=2,∠AAD=∠A:AB=60',AN=2ND,点M为BD的中点，设AB-=m AD=b.AA.=e. (1)用a.nr表示MN: (2)求MN的长 数学（苏较版}选择性企修第二质第3夏「共4面1 衡水金幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 如图，在棱长为1的正方林ABD-AB,CD,中，点G在棱CD上，CG-CD, E,F,H分别为DD:,BD,CG的中点， (1)求证：EF1,C: 2)求FH的长： 《3)求EF与CG夹角的金弦值 离二同步丽测卷一 监学（苏较极引选择性必修第二研第1面{共4面引高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（一） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象 同数学运算⑩数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ②③④ 档次系数 1 选择题 5 空间向量的加减运算 易 0.80 2 选择题 5 中点坐标公式的应用 易 0.72 3 选择题 5 由两点问的距离公式 求参 易 0.70 由空间向量基本定理 选择题 求参 的 0.55 选择题 5 求两向量的夹角 中 0.45 选择题 5 利用坐标法求线段 的长 v 中 0.30 确定点关于坐标平面、 7 选择题 6 坐标轴、原点对称的点 易 0.72 的坐标 8 选择题 基底概念的理解 中 0.60 9 填空题 5 空间向量在另一向量 多 0.71 方向上的投影向量 填空题 利用空间向量求线段 10 长的最值 中 0.45 利用空间向量坐标运 11 解答题 算证明向量平行，求向 13 √ √ 中0.65 量之间的夹角及三角 形的面积 12 解答题 15 利用基底表示向量，求 线段的长 L √ 中0.55 利用向量的坐标运算 13 解答题 20 证明向量垂直，求线段 中 0.40 的长，求两向量夹角的 余弦值 ·55· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考管案及解析 一、选择题 1.D【解析】DA+CD-C第=Di+Bi=Di-Di BA故选D, 2.A【解析】由图可知B(1,0,-1),D(0,一1,0) 所以BD的中点坐标为（士，2，牛9），即 (分，-，-）人故选A 3.C 【解析】设点C的坐标为(0，y,:),则 W√(0-1)+(y-2)+(2-2)F= 设BB=m(m>0),CE=ACC(0≤A≤1)，则B(0,0, /(0-1)+(y+3)+(-1),即(y-2)°+(： 0),A'(1,0,m),E(0.1,Am),AE=(-1,1,Am 2)=(y十3)2十(-1)，即5y十十1=0，经检验知， m).BE=(0,1,m),所以AE.BE=(-1,1,Am 只有选项C满足，故选C m)·(0,1,m)=m入一m1十1=0，因为在棱CC 4.D【解析】因为EC=2PE,所以P庀=元，所以 上有唯一的一点E使得A'E⊥EB,所以mA一m入 十1=0在入∈[0,1]上有唯一的解，令f(入)=mλ D=A龙-AD=A市+庀-AD=A市+心-A市 m十1，因为(0)=f(1)=1,故要想在1∈[0,1] 上有唯一的解，只需△=m一4m=0,因为m>0,所 =A市+(AC-AP)-AD=子A市+AC-Ad 以m=2.故选B 二、选择题 =号A护+号AC-(AC+CD)=号A市-是Ad 7.ABD【解析】对于A,点E(-3,1,5)关于原点O 对称的点的坐标为(3，一1，一5)，故A正确：对于B, d=号A市-号AC+A亦=a-号b+号c又D成 点F(1,3,一4)关于y轴对称的点的坐标为 x=1 (一1,3,4)，故B正确：对于C,点P(-1,2,3)关于平 面Oy对称的点的坐标为（一1,2，一3），故C错误： 0十b十c,所以 y=一 3,则x-3y十3x=1十2十 对于D,点Q(一1,1,2)在平面Oz内的射影的坐标 3 为(0,1,2)，故D正确.故选ABD. 8.AD【解析】由c=(a十b)十(c-a-b),得向量c, 2=5.故选D, a十b,c一a一b共面，A正确：若存在不全为零的实数 5.C【解析】：AA⊥平面ABC,ABC平面ABC,AC x,y,z,使得xa十3b十c=0,则a,b,c共面，不能构成 C平面ABC,AA⊥AB,AA⊥AC.AC=AB= 基底，B错误：当d≠0时，有d⊥a,d⊥b,由已知得a, E,BC=2,∴AB+AC=BC,AB⊥AC,又BC= b,c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b,即不一定有d∥ 2AE=2,∴E为BC的中点，∴AE=号(Ai+AC). c,C错误：由(a十b+c)·(a一b十c)=0,得(a十c) b=0,即(a十c)2=b,则a十c=|b,D正确.故 .AC=AA =2,..A C=2.AE.AC= 选AD. 是(Ai+A心·(A花-AA)=专A衣=1， 三、填空题 a正a6-高高-aa达 .号 【解析】因为点A(1,1,1),B(2,3,1): C(3,1,3),所以AB=(1,2,0),AC=(2,0,2),则 ∈[0°，180门，.(AE,A,C)=60°.故选C. AB在AC方向上的投影向量的模长为|AB1cOs(AB, 6.B【解析】以B为坐标原点，BA,BC,BB的方向分 A0-Ai:A花=1X2+2X0+0X2-2区 别为x轴，y轴，：轴正方向，建立如图所示的空何直 ACI √2+0+2 222 角坐标系， 1.9 3 【解析】以D为原点，DA,D心，DD的方 ·56. 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 向分别为x轴，y轴，：轴正方向，建立如图所示的空 12.解：(1)连接AM,如图所示， 间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0, 1),B(1.1,1),C(0,1,0),又P,Q分别为DC,AD 的巾点，所以P(0,是，0).Q(分，02），则PQ √0-)+（合-0）+(0-=，曲点 P在DC上运动，点Q在侧面ADD,A:上运动，设 P(0,m,0),0≤m≤1，Q(n,0,t),0≤n≤1,0≤t≤1， 所以BQ=(m-1,-1,t-1),AD=(-1,0,1) 因为AM=A店+BM=AB+号BD=A店+ AP=(-1,m,0),因为BQLAD,B QLAP,所以 B10·AD=(m-1,-1,1-1)·(-1,0,1)=1-n (i-A)=号Ai+A亦=专(a+b), =0,故t=n,B0.AP=(n-1,-1,t-1)·(-1. (3分) m,0)=1-n-m=0,故m=1-,又P0=(n,-m, AN=号AD=号(AA+A)=号(b叶e ),故P01:=n+m+2=2m+(1-n) (5分) 3(n-子）广+号，故当m=子时，最小，此时 所以M=AN-A立=子(b+e)-是(a+b) m=1一=号满足条件，所以线段PQ的最小值 a+b+号c (7分) 为 (2)因为∠A1AD=∠AAB=60°，AA1=2,且底面 四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以|a|=1,|b=1,lc|=2,a·b=0,a·c=b· c=1×2×cos60°=1， (10分) B 由a)知=一合a+合b+号e, 所以1=（名a+名6+号）=1a+ D 六b+号e-吉ab-号a·c+号b:c= 四、解答题 ++×4-号+号-器 11.解：(1)由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 所以MN的长为厚 (15分) D(3,3,4) 得AB=(-2,-1,3),AD=(3,1,1), 13.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x 轴y轴：轴正方向建立如图所示的空间直角坐 所以b=AB+AD=(1,0,4). (3分) 标系， 因为a=(-2,0,一8)，所以a=-2b, 所以a∥b, (6分) D (2)由(1)知，Ai=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2). B 所以A=AC=√4，AB.AC=7. 所以cos0= AB.AC 1 1 ABI ACX厅=立： 又因为0≤≤，所以0=号 (10分) 所以S=合A1aCs如0=合×爪×爪× 则E(00,号）F(,0）,C(01,0),B1,1. B_1B 1) (2分) 2 2 (13分) ·57 E=(分，-）BC=(-10,-1 ∴G-√+(-)+(-1)=厘 ∴E球.Bc=令×(-1)+号×0+(-号)× 由1)知求=（分，7，一） (-1)=0, :Ei⊥BC (7分) =√)+（合）+(-)-， (2F(宁，20)H(o,,) :萨.GG=号×0+号×(-十)+(-号)× i=(是) (-10=g 1=√)广+（传）+（合）=. ·cos<Ei,CG)= EF.CG IE·1C 17 FH的长为 (13分) 即求与C谈角的余弦值为一 (20分) (3):G(0,,0),C(0,11) cG-(o,--1）