(五)一元线性回归模型、独立性检验- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(人教B版)  

高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ②③④ @ 档次系数 1 选择题 5 相关关系的判断 易 0.95 2 选择题 5 对独立性检验的理解 易 0.85 3 选择题 5 相关系数的比较 易 0.82 4 选择题 5 折线图与回归分析 易 0.80 5 选择题 5 列联表中的相关计算 / 分 0.65 非线性回归问题与对 6 选择题 / 务 0.40 数函数的综合 7 选择题 6 线性回归性质的综合 易 0.70 两个独立性检验间的 8 选择题 0.55 关系 L 书 9 填空题 5 求相关系数 易0.90 10 独立性检验与不等式 填空题 5 / 中 0.45 的综合 11 解答题 13 用频率估计概率，独立 L 易 性检验 0.72 12 解答题 15 线性回归 浓 0.45 13 解答题 20 非线性回归 0.35 考答案及解析 一、选择题 6.635,所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误 1.B【解析】ACD均为相关关系，B为函数关系，故 的概率不超过1%，即在犯错误的概率不超过1%的 选B. 前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确， 2.C【解析】若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判 D错误.故选C. 断他为男生的概率，故A错误；每100个数学成绩优 3.A【解析】由变量x与y相对应的一组数据为 秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已 (10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5), 知数据不能确定结论，故B错误；因为X≈6.816> 可得变量y与x正相关，所以r1>0.而由变量与v ·51· ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)， 三、填空题 (12.5,2),(13,1),可知变量v与u负相关，所以 9.一1【解析】·直线2x十y一1=0的斜率k=一2< r2<0,所以1与r2的大小关系是<0<r1.故 0,.这两个变量负相关，<0，又所有样本点都在 选A 直线2x十y-1=0上，.r=-1. 4.B【解析】对于A,城镇人口与年份呈现上升趋势， 10.66【解析】因为有95%的把握认为“支持增加中学 所以城镇人口与年份正相关，A正确：对于B,乡村人 生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以 口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的 160×[(70-m)(30-m)-(10+m)(50十m)]2 两侧，所以乡村人口与年份的相关系数r接近一1，B 80×80×120×40 错误；对于C,城镇人口与年份呈现上升趋势，且比较 ≥3.841，即(m-10)2≥28.8075，因为函数y= 均匀的分布在直线的两侧，所以城镇人口逐年增长率 (m-10)2在[10,20]上单调递增，且m∈N“, 大致相同，C正确：对于D,由选项B可预测乡村人口 (15-10)228.8075,(16-10)2>28.8075,所以 仍呈现下降趋势，D正确.故选B. 的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中 5.D【解析】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻 支持增加中学生体育锻炼时间政策的人数的最小值 人有25名，所以c=25,d=25,所以a=25一7=18，b= 为50+16=66」 25-6=19,e=a十6=18+6=24，f=7十b=7+19=26, 四、解答题 则c十e=49,e-f=24-26=-2,D错误.故选D. 11.解：(1)由列联表知，未服用药物M的动物有100 6.C【解析】令=1og:(i十1)，则=吉(og2十 只，其中患疾病N的有40只， 所以估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率 log:3+log:4+log:5 log:6)=5(4+log:5+ 为品= 2 (5分) 2log23),又y=9,由y=b·x十5，得b= (2)由题意可知x2= 200×(20×60-40×80)2 140×60×100×100 9-5 20. 40 行(4+log25+21og3 ≈4+2.3+3.2=19，则5- 2婴a.524 (9分) 智g:(计1D十5，下午4点时对应的是=7可得 又因为1-99.5%=0.5%， 而且查表可得P(x≥7.879)=0.005， (11分) y=智og8+5≈1.3故选C 所以有99.5%的把握认为药物M对预防疾病N有 效果。 (13分) 二、选择题 12.解：(1)由题表得=2计4+5+6十8=5,5 7.ABD【解析】对于A,由回归直线方程可知6=0.24 >0,所以y与x正相关，所以A正确；对于B,因为 3十4+4十4+5=4. (2分) 5 玉=号×1+2+3+4+5)=3=日×4.9+5.1 ∑xy,=2×3+4×4+5X4+6×4+8×5= +5.5+5.7+5.8)=5.4,所以5.4=0.24×3+a,得 a=4.68,所以B正确；对于C,由选项B可知回归直 106, 线方程为y=0.24x+4.68,若x=6,则y=0.24×6 十4.68=6.12，所以预测2025年3月的汽车销量约 所以(x4-x)2=5s2=20, 为6.12万辆，而不是不少于6.12万辆，所以C错误； 对于D因为5×75%=3.75，所以各月销量4.9， 5.1,5.5,5.7,5.8的第75百分位数为5.7，所以D正 +5x·y=】 确.故选ABD. -5五y-y+5币 8.AD【解析】对于甲，有X2= 500×(140×180-120×60) =∑，-5ay=6, 260×240×200×300 -≈43.269>6.635，对于 乙，有X2=50X14X18-12×6) ∑(y-)2=(3-4)2+(4-4)2+(4-4) -≈4.327<6.635， 26×24×20×30 十(4-4)2+(5-4)2=2， 在犯错误的概率不超过1%的前提下，甲可以认为该 6 校高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关 所以r= V20xV2=V0.9≈0.95， (5分) 联；在犯错误的概率不超过1%的前提下，乙不能认 因为0.95>0.75，所以y与x具有较强的线性相关 为该校高三年级学生的性别与身高是否低于 性。 (6分) 170cm有关联：甲、乙计算出的x值不同，在犯错误 6 的概率不超过1%的前提下，他们得出的结论也不 (2)由(1)得6=20=0.3,8=4-0.3×5=2.5， 同.故选AD. (8分) ·52· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 所以回归直线方程为y=0.3x十2.5. (10分) 则4个VR体验项目选取3个，或是从超级冰滑梯 当x=7时，y=0.3×7十2.5=4.6， 和雪花摩天轮中选1个，梦想大舞台等3个中选 即当A指标为7时，B指标的预测值为4.6. 2个， (12分) (3)该城市的交通管理部门需要进行治理， 则P(A)-七eC= C (11分) 理由如下： (3)方式①：设中奖次数为X,则X~B(3,0.3), 由题意得(x-3s,x十3s)=(-1,11), E(X)=0.9. (13分) 因为13>11，所以该城市的交通管理部门需要进行 方式②：设中奖次数为Y, 治理。 (15分) Y的可能取值为0,1,2,3， 13.解：(1)设t=lnx, 则P(Y=0)=0.8×0.7×0.6=0.336, P(Y=1)=0.2×0.8×0.7+0.8×0.3×0.8+0.8 (t-t)(y-y) tiy:-5ty ×0.7×0.4=0.528, 则6= ∑4-) P(Y=2)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.8×0.3+0.8 (t,-t)2 ×0.3×0.2=0.128, 968-5×2.56×76=-80, P(Y=3)=0.2×0.2×0.2=0.008, (3分) 0.06 .E(Y)=0×0.336+1×0.528+2×0.128+3× a=y-bt=280.8, (4分) 0.008=0.808, y=-80lnx+280.8, (5分) E(X)>E(Y), (19分) 令y≤40，则lnx≥3.01，x≥e.1≈20.3， 选方式①. (20分) .至少应开放21条滑道. (7分) (2)设事件A=“小红排队时间总和恰为120分钟”， ·53·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (五)一元线性回归模型、独立性检验 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列各关系不属于相关关系的是 A.农作物的亩产量与施肥量 B.圆台的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年龄与身高 2.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对 样本观测数据的分类统计结果，并计算得出x2≈6.816，经查阅P(x≥6.635)= 0.01,则下列判断正确的是 A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是1% B.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不超过1% D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关 3.变量x与y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变 量u与v相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表 示变量y与x之间的相关系数，r2表示变量v与u之间的相关系数，则 A.r2<0<r1 B.0<r2<r1 C.r2<r1<0 D.r=r2 4.如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图. 人口数（单位：万人） 100000 90000 80000 70000 60000◆- 50000 40000 30000 20000 10000 0 2015201620172018201920202021202220232024 。一城镇人口·-●-·乡村人口 根据该折线图，下列说法错误的是 A.城镇人口与年份呈现正相关 B.乡村人口与年份的相关系数r接近1 C.城镇人口逐年增长率大致相同 D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势 数学（人教B版）选择性必修第二册第1页（共8页）】 衡水金卷·先享题 5.某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示 (单位：人)： 每年体检 每年未体检 总计 老年人 a 7 年轻人 6 b d 总计 e 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是 A.a=18 B.b=19 C.c+e=49 D.e-f=2 6.3月30日，中华一家亲·2025海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福 建省第十二届“三月三”畲族文化周活动在福州启动.海峡两岸各民族同胞齐聚于此， 与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游 客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时 反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,y),其中i=1,2,3,4,5,y:为第i次入口 人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的回归方程y=log2(i十1)+5，已知y= 9,根据回归方程，可预测下午4点时入口游客的人流量为（参考数据：1og23≈1.6， log25≈2.3) A.9.6 B.11.0 C.11.3 D.12.0 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下表是某品牌新能源汽车2024年10月至2025年2月的月销售数据： 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 3 4 5 月销量y(万辆) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的回归直线方程为y=0.24x十，则下列结论正确的是 A.y与x正相关 B.a=4.68 C.2025年3月的月销量一定不少于6.12万辆 D.这5个月的月销量的第75百分位数为5.7 高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第二册第2页（共8页） 8.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170c的关联性，研究小组从该 校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列 联表（单位：人）： 低于170cm 不低于170cm 总计 女生 140 60 200 男生 120 180 300 总计 260 240 500 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的有 数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是 A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，甲可以认为该校高三年级学生的性别与身 高是否低于170cm有关联 B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，甲不能认为该校高三年级学生的性别与身 高是否低于170cm有关联 C.甲、乙计算出的x2值相同，在犯错误的概率不超过1%的前提下，他们得出的结论 也相同 D.甲、乙计算出的x值不同，在犯错误的概率不超过1%的前提下，他们得出的结论 也不同 n(ad-bc)? 附：X=(a+b+d(ac(6+0其中n=a+b+c+d. a=P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 数学（人教B版）选择性必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在一组样本数据(x1,y),(x2y2),…,(xn,yn)(n≥2，x1x2,…,xn不全相等)的散点 图中，若所有样本点(xy)(i=1,2,3,·,n)都在直线2x十y-1=0上，则这组样本 数据的相关系数”为 10.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引 发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否 与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数 据(10≤m≤20，m∈N*): 支持 不支持 男生 70-m 10+m 女生 50+1m 30-m 通过计算有95%的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间政策的人数的最小 值为 n(ad-bc)2 附：x=(a+b)d+)a+c)b+d0n=a+b+c+d. a=P(x≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第二册第4页（共8页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 为考察某种药物M对预防疾病V的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单 随机样本的数据，得到的数据如下表（单位：只）： 未患疾病N 患疾病N 未服用药物M 60 40 服用药物M 80 20 (1)估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率； (2)是否有99.5%的把握认为药物M对预防疾病N有效果？ 附临界值表及参考公式： a=P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n(ad-bc)2 x-(ab)(cfd)(are)(bd)abed. 数学（人教B版）选择性必修第二册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也 给城市的交通管理带来了一些困难.为掌握共享单车在某省的发展情况，某调查机 构从该省随机抽取了5个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y,数据如 下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标x 2 4 5 6 8 B指标y 3 4 4 (1)试求y与x间的相关系数r,并说明y与x是否具有较强的线性相关性（若 r≥0.75，则认为y与x具有较强的线性相关性，否则认为没有较强的线性相关性)； (2)建立y关于x的回归直线方程，并预测当A指标为7时，B指标的预测值； (3)若某城市的共享单车的A指标x在区间(x一3s,x十3s)的右侧，则认为该城市 共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直 至A指标x在区间(x一3s,x十3s)内.现已知该省某城市共享单车的A指标为13， 则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由 参考公式：回归直线方程y=bx十ā中，斜率和截距的最小二乘估计分别为b= ∑(-x(y-y) ,a=y一bx,相关系数r= ∑(x-x) 参考数据：s=, 日2x,-)2=2,m.3≈0.50.9≈0.95. 高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第二册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅 游.2024年底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次 邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项日，每年冬天 都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客 大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开 放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量x 11 12 13 14 15 平均等待时间y(分钟) 88 81 75 70 66 (1)通过回归分析，可以利用模型y=lnx十a对y与x的关系进行拟合.利用表中 数据，求出y关于x的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不 超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项日的平均排队时间为60分钟， 冰雪世界等4个VR体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3 个项目每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3 个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； 数学（人教B版）选择性必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题· (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖 方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中， 那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复 到20%： 为使三人中奖次数的期望最大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据(x1,y),(x2,y2),…,(xm,yn),其回归直线方程y=ix十a的斜率 和截距的最小二乘估计分别为：= ≥《x:x)y -,a =y-bx. 2x- 参考数据：设：=lnx=13i≈2.56y=76,∑x,=485,∑t:≈968， 2x-=10,∑a-4)2≈0.06e≈18.4cm≈20.3，en≈2.4 高二同步周测卷五 数学（人教B版）选择性必修第二册第8页（共8页）