(二)二项式定理、杨辉三角- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 （二)二项式定理、杨辉三角 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.C8026-2C2026十22C号026-23C2026十…+22026C2828= A.-1 B.1 C.0 D.22026 2.(x一2y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为 A.-120 B.-80 C.100 D.120 3.函数f(x)=x-3Cx3+9Cx2-27Cx+81的对称轴方程为 A.x=-3 B.x=2 C.x=3 D.x=4 4.在(1+3x)°的展开式中，系数为整数的项数是 A.8 B.5 C.3 D.2 把（十 展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为 A.A B.AA C.AA D.AA 6对丁n次=二项武1+x)”=空C,令x=2,可以得到3=之C2.类比此方法， 2024 可得∑C品32+1= ?=0 A.44048+42024 B.28097十24048 C.44048十42024-1 D.28097+24048-1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.关于多项式(2x一十1)的展开式，下列结论正确的是 A.常数项为一119 B.x2的系数为40 C.展开式的系数和为32 D.展开式中含有x9项 数学（人教B版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 8.如图，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是（α十b)”的展开式的二项式 系数，观察图中数字的排列规律，下列结论正确的是 A.1+C+C?+…+C8=84 第0行 第1行 B.第10行所有数字之和为21 第2行 第3行 1 331 C.第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 第4行 14641 第5行 5101051 D.第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 班级 姓名 分数 题号 1 2 心 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在(2x-2) 的展开式中，x2的系数为60，则a的值为 10.若满足2C,+2C%十·十2"C%能被5整除的n的最小值为no,设a,b∈{x∈Nx≤ no},则方程ax十by=0表示的不同直线的条数为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) (1)用二项式定理证明111-1能被10整除； (2)求912被100除所得的余数 高二同步周测卷二 数学（人教B版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 设(2x-1)6=a6x6十a5x5十a4x十a3x3十a2x2十a1x十a0,求： (1)a6十a5+a4十a3十a2+a1; (2)a6+a4十a2十ao; (3)64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+ao. 数学（人教B版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知（学”的展开式中的常数项为，且。≥0 (1)求二项式系数最大的项； (2)若展开式按x的次数由高到低排列，则系数绝对值最大的是第几项？ (3)从展开式中的所有项中任取三项，若取出的三项中既有有理项也有无理项，则共 有多少种不同的取法？ 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷二 数学（人教B版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 二项式定理的逆用 易 0.80 2 选择题 5 求展开式中特定项的 易 0.72 系数 二项式定理与函数的 3 选择题 5 0.65 综合 分 4 选择题 二项展开式中系数为 务 0.55 整数的项 二项式定理与排列的 5 选择题 5 L L 农 0.50 综合 6 选择题 5 与二项式定理有关的 / 中 0.35 新定义题 7 选择题 6 三项展开式 / 中 0.68 8 选择题 6 杨辉三角 √ 分 0.35 由二项展开式特定项 9 填空题 5 的系数求参 分 0.69 二项式定理与计数原 10 填空题 0.45 理的综合 L 外 利用二项式定理解决 11 解答题 13 整除及余数问题 L 中0.65 12 解答题 15 二项展开式的系数和 / / / 的 0.45 问题 二项展开式中的二项 式系数、系数绝对值的 13 解答题 20 / 0.30 最大项及有理项、无 v 书 理项 ·39· ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考答条及解析 一、选择题 8.ABD【解析】1+C十C+…+C=C十C+C十 1.B【解析】C226一2C226十22C026-23C2026十…十 …十Cg=C十C号+…十C=…=Cg十C8=C=84, 22026C号3=(1-2)2026=1.故选B. 故A正确；由题可知第10行所有数字之和为C。十 2.A【解析】(2x十y)5的展开式的通项为T+1= C。十C。十…十C=2“,故B正确；由题可知第 C(2x)5-y=C2-xi-ty,k=0,1,…,5,故 2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第 (x-2y)(2x十y)5的展开式中xy的系数为C× 1014个数相等，且都是该行最大的，故C错误：第12 22-2C%×23=-120.故选A. 行从左到右第4个数为C=220,第5个数为C12= 3.C【解析】由题得f(x)=Cx·(-3)°十Cx3· 495,所以第12行从左到右第4个数与第5个数之比 (-3)1+Cx2·(-3)2+Cx·(-3)3+C1x°· 为220：495=4：9，故D正确.故选ABD. (-3)=(x-3),f(x)的图象可由偶函数y=x 三、填空题 的图象向右平移3个单位长度得到，所以∫(x)的对 9.±1 【解析】(2x-是）广的展开式的通项为T 称轴方程为x=3.故选C. 4.C【解析】(1十5x)的展开式的通项为T+1= =C(2x)t(-g）广=(-ar2Cr-4,k=0. C3·x,k=0,1,…,8,要想系数为整数，则需3 1,…,6,令18-4k=2,得k=4,则x2的系数为 为整数，所以k=0或k=3或k=6,故系数为整数的 (-a)1X22×C=60a=60,解得a=±1. 项数为3.故选C 10.13【解析】依题意得2C,十2C十…+2C=(1十 5.D 【解析】(+) 的展开式的通项为T+1= 2)-1=3”-1,当n≤3，n∈N时，3”-1不能被5 整除，当n=4时，3-1=80能被5整除，所以= 4,则a,b∈{0,1,2,3,4}.当a=0,b≠0时，方程 =Cx8-，k=0,1,…,6,令6- 3k 2 ax十by=0表示直线y=0:当a≠0，b=0时，方程 Z,得k=0,2,4,6,所以展开式中的有理项有4项，无 ax十by=0表示直线x=0;当ab≠0且a=b时，方 理项有3项.把展开式中的项重新排列，先把3项无 程ax十by=0表示直线x十y=0;当ab≠0且a≠b 理项全排列，再把4项有理项插入形成的4个空中， 时，方程ax十by=0表示的直线的条数为A一2= 所以有理项互不相邻的排法种数为AA.故选D. 10(x+2y=0与2x十4y=0表示同一条直线，2x+y =0与4x十2y=0表示同一条直线).综上，方程 6.B 【解析】由题意可得(1十x) C49x2,令 a.x十by=0表示的不同直线的条数为13. 2024 02 四、解答题 x=3,得44040= C9432i十 C32+1;令x 11.解：(1)因为111-1=(10+1)1-1 =(101+Ch×101+…+C增×10+1)-1 -3,得-24 >C493 C32+1,两式作 =10(101+C×10°+…+C9), 202 (5分) 差得2∑C321=4640+2 所以111一1能被10整除. 28098+2048,所 (2)912=(100-9)2=C82X1002-C2×1001X9 2021 十C82X1000X92-…+C竖X92, 以∑C品3+=2691十214.故选B. 因为展开式中前92项均能被100整除， 二、选择题 所以只需求最后一项除以100的余数。 (8分) 92=(10-1)2=C92×102-C2X101+…+C88× 7.AC 【解标】在(2x-+1) 中，取2个2x,1个 102-C8×10+1, (10分) ,2个1或取5个1，可得常数项，所以展开式中 前91项均能被100整除，后2项的和为-919， 因为余数为正，所以从前面的数中分离出1000 的常数项为C×2×C×(-1)×C×1十15= 则1000一919=81， -19,故A正确：取4个2,1个-或取2个2x,3 故912被100除所得的余数为81. (13分) 12.解：(1)在展开式中，令x=0,得a6=(-1)5=1; 个1，可得x2项，所以展开式中x2的系数为C×2 令x=1,得a6十a十a:十a3十a2十a1十a=(2-1) ×(-1)+C×2×13=-40,故B错误：令x=1,得 =1, 展开式的系数和为25=32，故C正确：多项式中含有 所以a6十as十a4十a3十a2十a1=1-1=0.(5分) x2,很显然不可能凑成x”,故D错误.故选AC. (2)令x=-l,得a6-a;十a4-a十a2-a1十a0= ·40· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· (-2-1)°=729， (7分) 由(1)知a6十a5十a4十a4十a2十a1十a0=1, =(-1)r(侵)"c0,k=0,110. 两式相加得2(as十a4十a2十ao)=1十729=730， 所以a6十a4十a2十a0=365. (12分) 系数绝对值最大的项即为（侵）》”C, (3)令x-2,得64a6+32a:+16a4+8a3+4ag+2a 0,1,…,10的系数最大的项， +a=(4-1)°=729 (15分) 设第k十1项的系数最大， 1以解：1（管-启）”的展开式的道项为 fc(合)≥cw() 则 （-1)(号)Cr,=01.,10.（2分 c()≥c() 6=0得6=8， 解得9<k<号， (12分) 令20- 又k∈N,所以k=7, 所以(-1)（号）C-望，解得a=1, (4分) 所以系数绝对值最大的项是第8项。 (15分) 所以二项式系数最大的项为T,=(一1)×(2)】 (3)令20-号k∈Z,得k=02,46,8,10, XCio 所以展开式中的有理项有6项，无理项有5项， 8 (6分) 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项 2由0)可得（号左）》 中既有有理项也有无理项的取法共↓？？ 的展开式的通项为 =135种. ·41·