(一)计数原理、排列、组合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教A版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (一)计数原理、排列、组合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.从集合{一1,0,3,5,6}中任取两个不同的数a,b,组成复数a十bi,其中虚数有 A.8个 B.12个 C.16个 D.20个 2.若C3=C+1(x∈N),则A A.5 B.20 C.60 D.120 3.某校在2025年举办的成人礼活动上，从6对夫妻家长中选出2人发言，若选出的2 人不是夫妻，则不同的选法有 A.30种 B.55种 C.60种 D.66种 4.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2,则称这样的三位数为凸数（如 120,343,275).当中间数为3或4时，所有凸数的个数为 A.18 B.19 C.20 D.21 5.若直线ax+by十1=0(a,b不全为0)与圆x2十y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐 标均为整数，则这样的直线有 A.60条 B.66条 C.72条 D.78条 6.《九章算术》第一章“方田”中的问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广 以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，需给证明图形的六个区域 涂色，现有三种颜色可用，且要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有 米八 :虚 公 盈 甲 A.48种 B.96种 C.102种 D.120种 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列问题是组合问题的是 A.从6名数学教师中选出2人去参加优质课比赛 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字组成一个三位数 C.从全班学生中选出3名学生出席大学生运动会开幕式 D.从全班学生中选出3名学生分别担任班长、副班长和学习委员 数学（人教A版）选择性必修第三册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 8.将1,2,3,4,5,6,7这7个数随机排成一个数列，记第i项为a(i=1,2,…,7),则下列 说法正确的是 A.若a4=7,a1十a2十a3<a5十as十a7,则这样的数列共有360个 B.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C.若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有62个 D.若a1<a2<a3,a3>a4>a5,a5<a6<a,则这样的数列共有71个 班级 姓名 分数 题号 1 2 5 6 7 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知自然界氧的同位素有16O,17O,18O,氢的同位素有1H,2H(自然界中存在极微3H, 可忽略不计)，水由氧元素和氢元素组成，化学式为H2O,则自然界中水分子 共有 种. 10.2025年全球6G技术与产业生态大会于4月10日至12日在南京顺利举行.会议期 间，某大学派出了7名志愿者，其中只会日语的有3人，既会日语又会法语的有4人，从中 选出4人担任翻译工作，2人担任法语翻译，2人担任日语翻译，则共有 种不同 的选法.（用数字作答） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 某次文艺晚会计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目， 需要制作节目单， (1)若歌曲节目排在两头，则有多少种排法？ (2)若2个歌曲节目相邻、3个舞蹈节目相邻，2个小品节目不相邻，则有多少种 排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上2个新节目，但是不能改变原来节目 的相对顺序，则有多少种排法？ 高二同步周测卷一 数学（人教A版）选择性必修第三册第2页（共4页） 12.（本小题满分15分) 用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个符合下列条件的数字？ 作答) (1)无重复数字的五位的偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数. 数学（人教A版）选择性必修第三册第3页（共4页) 13.(本小题满分20分) (结果以数字 一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球. (1)从中任取4个球，红球和白球都至少有一个的取法有多少种？ (2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分 的取法有多少种？ (3)将6个白球全部分给5个人，每人至少1个球，则有多少种分法？ (4)将6个白球全部分给4个人，每人至少1个球，则有多少种分法？ 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷一 数学（人教A版）选择性必修第三册第4页（共4页)高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 分步乘法计数原理的 易 0.80 应用 2 选择题 5 排列组合数公式 易 0.75 3 选择题 5 成对抽取问题 易 0.70 与计数原理有关的新 4 选择题 5 定义题 分 0.60 计数原理与解析儿何 选择题 5 农 0.45 的综合 6 选择题 5 涂色问题 中0.30 7 选择题 6 排列组合的概念 易 0.75 计数原理与数列的 8 选择题 6 0.55 综合 中 9 计数原理与化学知识 填空题 5 的综合 易 0.72 10 填空题 多面手问题 中 0.45 11 解答题 13 排队问题 浓 0.65 12 解答题 15 排数问题 A/ 0.50 13 解答题 20 分组分配问题 中 0.40 春考答案及解析 一、选择题 2.D【解析】因为C=C+1(x∈N),所以x=2x十 1.C【解析】若复数a十bi表示虚数，则b≠0，先从 1或x+2x+1=13,解得x=-1(舍去)或x=4,所 {-1,3,5,6}中任取一个数作为b,共有4种取法，再 以A=A=5×4×3×2=120.故选D. 从剩余的4个数中任取一个作为a,共有4种取法，所 3.C【解析】先从6对夫妻中选出2对，再从这2对夫 以虚数有4×4=16个.故选C. 妻中各选一人，所以共有CCC=60种不同的选 ·71· ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 法.故选C 法语翻译，有CC=18种选法；②从只会日语的3 4.A【解析】当中间数为3时，有2×3=6个凸数：当 人中选1人担任日语翻译，从既会日语又会法语的 中间数为4时，有3×4=12个凸数，故共有6+12 4人中选3人，其中1人担任日语翻译，另外2人担 18个凸数.故选A. 任法语翻译，有CCC=36种选法：③从既会日语 5.C【解析】因为圆x2+y2=50上的整点有12个： 又会法语的4人中选2人担任法语翻译，2人担任 (士1，士7)，（±7，士1），（土5，士5），符合题意的直 日语翻译，有C=6种选法，所以共有18+36十6= 线可能同时过上述12个整点中的2个点或者过上述 60种不同的选法 12个整点中的1个点且与该圆相切，其中经过坐标 四、解答题 原点的有6条，因为直线不过坐标原点，所以满足题 11.解：(1)先排歌曲节目，有2种排法， 意的直线有C2十C2一6=72条.故选C 再将剩下的5个节目全排列，有A=120种排法， 6.B【解析】如图，记图中的六个区域分别为A,B,C, 所以共有2×120=240种排法 (4分) D.E.F. (2)将歌曲节目、舞蹈节目均看成整体并优先安排， 有AAA=24种排法， 再将小品节目插空排，有A=6种排法 所以共有24×6=144种排法 (8分) (3)将新增的2个节目放入7个节目排列产生的8 个空中， A D 若2个节目放入同一个空中，则有C8A=16种 先涂A,有3种颜色可供选择，其余B,C,D,E,F区 排法； 域各有2种颜色可供选择，故共有3×2×2×2×2× 若2个节目不放入同一个空中，则有A=56种 2=96种涂色方法，故选B. 排法， 二、选择题 所以共有16十56=72种排法。 (13分) 7.AC【解析】A,C选项与顺序无关，故为组合问题， 12.解：(1)①0在个位时，有A个五位的偶数： B.D选项与顺序有关，故为排列问题.故选AC ②2或4在个位时，万位从1,3,4（或2），5中选，有 8.ACD【解析】对于A,由于1十2十3+4+5十6=21 C种情况，十位、百位和千位从余下的数字中选，有 为奇数，根据对称性可知这样的数列共有号 A种情况，所以有CCA个五位的偶数， 所以共有A十CCA=312个五位的偶数.(5分) 360个，故A正确：对于B,若所有的奇数不相邻，所 (2)①0在个位时有A个： 有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、 ②5在个位时有CA个， 偶、奇、偶、奇”，共有AA=144个，故B错误；对于 所以满足条件的四位数共有A+CA=108个. C,先选出1，剩下6个数.从这6个数中选出1个数 (10分) 排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的 (3)①形如2口□口，3口口口，4口口口，5口口口，共 数列有C个；从这6个数中选出2个数排在1的右 有CA个； 侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有C ②形如13□口，14□□，15□□，共有CA个： 个；从这6个数中选出3个数排在1的右侧，其余排 ③形如124☐，125□，共有CC个； 在1的左侧，得到先减后增的数列有C个：从这6个 数中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧， ④形如123☐，共有C个， 得到先减后增的数列有C个；从这6个数中选出5 所以无重复数字且比1230大的四位数共有CA 个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后 +CA?十CC+C=284个. (15分) 增的数列有C:个，故满足条件的数列共有C十C十 13.解：(1)从中任取4个球有C。=210种取法， C十C十C=62个，故C正确：对于D,若a=1,则 若4个球全是白球，有C=15种取法， 这样的数列有CC号=45个，若a:=2,则这样的数列 若4个球全是红球，有C=1种取法， 有C号C=20个，若a=3,则这样的数列有C=6 所以红球和白球都至少有一个的取法有210一15 个，所以满足条件的数列共有45十20十6=71个，故 1=194种. (5分) D正确.故选ACD (2)设取出的5个球中有x个红球，y个白球， 三、填空题 (x+y=5 9.9【解析】由水分子的化学式可知，相同氢原子构成 则 2x+y≥7 的“H2”有C种，不同氢原子构成的“H2”有C种，则 0≤x≤4 “H2”的组成共有C十C是=3种，所以水分子共有3× 0≤y≤6 3=9种 或/x4 解得=2或x= 10.60【解析】①从只会日语的3人中选2人担任日 (y=3 y=2度y=1' 语翻译，从既会日语又会法语的4人中选2人担任 所以符合题意的取法有CC+CC十CC=186 ·72· 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 苑 (10分) 则6个球按2,2,1,1或3,1,1,1分组，再分配给每 (3)将6个白球全部分给5个人，每人至少1个球， 个人， 则6个球按2,1,1,1,1分组，再分配给每个人， (20分) 共有CA=1800种分法. (15分) 共有号9+GA-150矜分法。 (4)将6个白球全部分给4个人，每人至少1个球， ·73·