(六)计数原理、概率、统计综合(本册内容)- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教A版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (六)计数原理、概率、统计综合（本册内容） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X~N(100,o2),且P(X≥130)=0.15，则P(70<X<100)= A.0.15 B.0.35 C.0.70 D.0.79 2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y= 2x十a,样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)处的残差为 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 3.现有编号均为1,2,3,4的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每 个盒子放1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为 A B司 c品 D.3 ·64 .已知随机变量X~B(3,P)(0<力<1)，且P(X=2)+4P(X=3)=8,若Y=2X+ 则E(Y)= A.1 B.3 C.4 D.6 5.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明清皇宫及其收藏的基础上建立起 来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆.2025年北京故宫博 物院迎来建院100周年.用2025,100,2,0,2,5这6个数可以组成的不同的十一位数 的个数为 A.594 B.300 C.298 D.297 6.“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史 上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义.为弘扬中国优秀传统文化， 某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中 庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且每人选取的书均不相同，比赛 时有以下两种方案：方案一，这4位同学从这4本书中有放回地随机抽取1本并选择 其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为X;方案二，这4位同学从这4本书 中不放回地随机抽取1本并选择其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为 Y,则 A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 数学（人教A版）选择性必修第三册第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了探究在某次数学测试中成绩优秀是否与性别有关，小华进行了深入的调查，并绘 制了如表所示的2×2列联表： 性别 数学成绩 合计 男 女 优秀 m 27 70 不优秀 58 110 合计 6 180 经计算得x2≈1.315（附：x0.1=2.706),则下列结论正确的是 A.m=43 B.b=79 C.依据小概率值α=0.1的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关” D.依据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据可以推断“数学成绩优秀与性 别有关” 8.已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=-3,an十an+1=(-1)"+1(n∈N"),从{an}的 前2n项中任取两项，这两项的和为奇数的概率为Pm,记数列{Pn}的前n项积为 Tm,则 A.a10=12 B.S12=-6 C.P2< D.Tn≤2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在(2x-1)(x-2)6的展开式中，x4的系数为 10.在陈塘关，哪吒发现仙童的仙术成绩x(类似数学成绩)、法定操控成绩y(类似物理 成绩)、灵符绘制成绩z(类似化学成绩)两两成正相关关系.哪吒随机抽取了55名仙 童并统计了其三项成绩，若仙术成绩x和法定操控成绩y的样本相关系数为。，法定操 控成绩y和灵符绘制成绩x的样本相关系数为，则仙术成绩x和灵符绘制成绩之的样 ∑(x-x)(y:-y) 本相关系数的最大值为 附：r 高二同步周测卷六 数学（人教A版）选择性必修第三册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 对于春节联欢晚会上表演的机器人团体舞蹈节目，某机构随机抽取了100名观众进 行问卷调查，得到了如下数据 是否喜欢机器人团体舞蹈节目 性别 喜欢 不喜欢 男 40 10 女 20 30 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为性别与是否喜欢机器人团体舞 蹈节目有关？ (2)从这100名观众中任选1名，记事件A为“选到的观众是男性”，事件B为“选到 的观众喜欢机器人团体舞蹈节目”，比较P(BA)和P(BA)的大小，并解释其 意义. n(ad-bc)2 :-(ab)(cfd)(ae)(bdabd. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12.(本小题满分15分) 某新能源汽车配件公司从2018年至2024年的利润情况如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 利润y(单位：亿元)》 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中数据，可以认为变量y与x线性相关 (1)计算y与x的样本相关系数，并判断y与x的线性相关程度；（结果精确到0.01） (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该新能源汽车配件公司2026年的利润； (3)把利润不超过4.5亿元的年份叫做“试销年”，从2020年至2024年这5年中任 选3年，X表示选到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望， 参考数据： ∑(x-(y-3)=14,y-y)2=7.08,∑(x-x)2=28, √28×7.08≈14.08. 数学（人教A版）选择性必修第三册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 参考公式：对于一组数据（u1,w1),（u2,2),…,(um,vn),样本相关系数r= ∑(4-u)(w-) ;经验回归直线v=十α的斜率和截距的最小二乘 /∑-月 估计公式分别为3= a=v-Bi. (w- 13.(本小题满分20分) 人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为AI,是新一轮科技革命和产业变革的 重要驱动力量.近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市 场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的 顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分Z(单位：分)制作了 如下的频数分布表： 分组（单位：分） [40,50) [50,60) [60,70) [70,80》 [80,90) [90,100 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A,B两种品牌的手机，A品牌中A】手机占比 为号，B品牌中A1手机占比为，且A,B品牌手机的数量之比是2：1.现从该手机 店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升A】手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环 节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，每位 顾客抽中一、二等奖的概率分别为子，？，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连 续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI 手机的顾客所获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从该手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意 度评分Z近似地服从正态分布N(,σ2)，其中4近似为样本平均数x,σ近似为样本 的标准差s,且求得s≈14.31.现将满意度评分超过84.81分的定义为顾客对AI手 机“非常满意”，若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机，记这些顾客中 对AI手机“非常满意”的人数为Y,事件“Y=k”的概率为P(Y=k),求使P(Y=k) 取最大值时k的值（每组数据以区间的中点值为代表）， 附：若随机变量Z~N(,o2),则P(4一o≤Z≤4十o)≈0.6827，P(一2o≤Z≤μ+ 2o)≈0.9545，P(4-3o≤Z≤μ+3o)≈0.9973. 高二同步周测卷六 数学（人教A版）选择性必修第三册第4页（共4页)》高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⊙ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由正态分布求概率 易 0.80 2 选择题 5 求样本的残差 易 0.72 古典概型与计数原理 3 选择题 5 易 0.70 的综合 二项分布与期望性质 选择题 5 的综合 分 0.55 选择题 5 排列组合 中 0.45 选择题 与期望、方差有关的数 学文化题 中 0.35 7 选择题 6 对独立性检验的理解 中 0.69 8 选择题 6 概率与数列的综合 中 0.45 9 填空题 5 二项式定理 中 0.65 与样本相关系数有关 10 填空题 5 0.28 的最值问题 难 11 解答题 13 独立性检验与条件概 率的综合 L L L 浓 0.65 12 解答题 线性回归与超几何分 15 中 0.55 布的综合 13 解答题 20 全概率公式、二项分 / 中 0.35 布、正态分布的综合 季考答案及解析 一、选择题 X<100)=0.5-P(X≥130)=0.5-0.15=0.35.故 1.B【解析】由X~N(100,o2),得=100，故P(70< 选B. ·91· ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 2.C【解析】依题意得6.5=2×3十a,则a=0.5,所以 ∴.a+2-an=(-1)+2-(-1)+1=-2X(-1)+1, 经验回归方程为y=2x十0.5，当x=2.5时，y=2× 当n为奇数时，an+2一an=一2，.数列{an}的奇数项 2.5十0,5=5.5，所以样本点(2.5,7)处的残差为7 构成的数列是首项为一3，公差为一2的等差数列；当 5.5=1.5.故选C. n为偶数时，an+2一a=2,∴.数列{aa}的偶数项构成 3.A【解析】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒 的数列是首项为4，公差为2的等差数列，∴.a。= 子放1个小球的放法共有A种，恰好有2个小球与 a2十4X2=12,故A正确；S12=(a1十a3十…十a1)十 盒子的编号相同的放法有C?种，所以恰好有2个小 (a十a,++a)=-3×6+6X5×(-2)+4X6 球与盒子的编号相同的概率为P=景-员子：故 2 选A +6X5X2=6,故B错误：Pw=C区=m(2m-元 2 4.C【解析】因为X~B(3,p)(0<p<1),且P(X=2) n 十4PX=3)=子，所以C(1-p》+4C护=子 2工>乞，放C结误：当>2，n∈N时， 11 3 即D+3p=名，因为)=p+3p在(0，D上单 调递增，且f(公)=冬，所以p=子，则E(X)=3D 号…又 n! =号，所以En=E(2X+1D=2EX)+1=2X号 1 T=P,=1=2一T≤2”，故D正确.故选AD. +1=4.故选C. 三、填空题 5.D【解析】因为首位数字不能为0，所以从2025， 9.一380【解析】(x-2)的展开式中含x的项为 100,2,2,5这5个数中任选一个排在首位，有5种排 Cx3(-2)3=-160x3,含x的项为Cx(-2)2= 法，剩余5个数进行全排列，有A种排法，又两个2 60x,所以在(2x一1)(x一2)°的展开式中，x的系数 交换位置所得的十一位数相同，且2,0,2,5排列成的 为-160×2-60=-380. 2025与2025相同，所以用2025,100,2,0,2,5组成 10. 15+√77 的不同的十一位数的个数为光-3=297.放选D 24 【解析】设X=(x1,x,…,xn),Y=（y1: y…,yn),Z=(x1,2,…,2n),记X'=(x1-x,x2 6.D【解析】由题可知方案一中这4位同学抽到自己 x,…,xn-x),Y'=(y1-y,2-y,…ya-y),Z 准备的书的概率均为，则X~B(4,是)，“E(X) (x1一之，22一，…，m一)，由样本相关系数公式r= 4X=1,D(x)=4X十×(1-十)=.方案二 ∑(x,-)(y-） 知r=cos(X', 中Y的可能取值为0,1,2,4，则P(Y=0)= ∑(x-) (y:-y)2 g+C+A--景，PY-1)-ce=号 N=1 A A Y),设X与Y的夹角为a,Y与Z的夹角为B,因为 仙术成绩x和法定操控成绩y的样本相关系数为 PY=2)= 是=十P=)=元= 1 ,法定操控成绩y和灵符绘制成绩x的样本相关 5 EY)=0x音+1x号+2×}+4×员=1. 系数为子所以c0sa=名0s日=是，由这两个夹 D(Y)=0-1)×g+(1-1)×号+(2-1)2X 角都是锐角，得α<B,所以X'与Z'的夹角的范围为 +(4-1)x7=1.E(X)=EY).DX< [B-a,a十]，则X与Z'夹角的余弦值的最大值为 D(Y).故选D os(g-o）=+=号×是十 二、选择题 √一磊×√一品=15y严，所以仙术成绩 25 7.ABD【解析】由2×2列联表得m=70一27=43， 24 n=110-58=52,则b=27+n=79,故AB正确：因为 x和灵符绘制成绩？的样本相关系数的最大值 x2≈1.315<2.706=x.1,所以依据小概率值a=0.1 的独立性检验，没有充分证据可以推断“数学成绩优 为15+7 24 秀与性别有关”，故C错误，D正确.故选ABD. 四、解答题 8,AD【解析】当n=1时，a1十a2=1,则a2=4,:an十 11.解：(1)零假设H。:性别与是否喜欢机器人团体舞蹈 a+1=(-1)+1(n∈N),aa+1十an+2=(-1)+2, 节目无关. ·92· 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 经计算得X=100X40X300X20)=9、 0 1 2 50×50×60×40 3 16.667>10.828=x0.01, (4分) 3 3 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推 10 5 断H。不成立，即可以认为性别与是否喜欢机器人 团体舞蹈节目有关，此推断犯错误的概率不超过 则E(X)=0× 品+1×号+2x品- 3 6 (15分) 0.001 (6分) (2)依题意得P(B1A)=nAB)=40=4 13.解：(1)记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件C, n(A) 50 (8分) “抽取到的手机是B品牌手机”为事件C2,“抽取到 P(B|A)=(AB-20=2 (10分) 的手机是AI手机”为事件D, n(A)=0=， 则P(B|A)>P(B|A). (11分) 则P(C)=号，P(C)=子，P(DG)= 意义：这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节 目的概率比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的概 P(D1C)=, 率大. 所以P(D)=P(C)P(D|C1)+P(C2)P(DIC2) (或这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节目 (4分) 的人数比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的人数多.) -号×+×圣-品 (13分) (2)X的可能取值为0,300,600,900,1200， 12.解：(1)由题得r= PX=0)=(1--)广=6 ∑(x-)(y-y) P(X=30)=C×(1-子-)×2-， √-) P(X=600)= ×+c××(1--)） 14 14 ≈14.08 ≈0.99， √/28×7.08 8 所以变量y与x的线性相关性较强， (3分) P(X=900)=C× 1 1 4 2 4 -x)(y:-y) 1 1=1 (2)由题得3= 14 =0.5, P(X=1200)=4×4=16 (9分) 28 所以X的分布列为 (5分) X 0 300 600 900 200 又云=7×(1+2++6+7)=4， 3 y=7×(2.9+3.3+…+5.2+5.9=4.3, 16 4 8 16 所以a=y-元=4.3-0.5×4=2.3， 则E(X)=0×16 +300X +600× 4 8 +900×4 所以y关于x的经验回归方程为y=0.5x十2.3， (7分) +1200×16=600. (12分) 当x=9时，y=0.5×9+2.3=6.8, (3)样本平均数x=45×0.1十55×0.15十65×0.2 即预测该新能源汽车配件公司2026年的利润为 +75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,(13分) 6.8亿元. (9分) 随机选1名顾客，该顾客对AI手机“非常满意”的概 (3)由题意知2020年至2024年这5年中的“试销 年”有2个， 率为P(Z>84.81)=P(Z>μ十σ) 所以X的可能取值为0,1,2， =2[1-P(-g<Z≤n+o)]0.15865, 则P(X=0)=己-6 C_1 则Y-B(10000,0.15865), (15分) 记n=10000,p=0.15865, P(X=1)= 则P(Y=k)=Cp(1-p)"=*(k=0,1,2,…, PX-2)器-品 10000). (12分) 由/C1-p)≥Cp(1-p)- 所以X的分布列为： C%p(1-p)≥C+p+1(1-p)--1' ·93· ·数学（人教A版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 品 即10001p-1≤k≤10001p, 即1585.7≤k≤1586.7，所以k=1586, 6 所以当k=1586时，P(Y=k)取得最大值.(20分) 即(n+1)p-1≤k≤(n+1)p, (18分) ·94·