(四)平均变化率与瞬时变化率、导数的概念及几何意义、导数的运算- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(北师大版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (四)平均变化率与瞬时变化率、导数的概念 及几何意义、导数的运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知曲线C:)y一r2-2上一点P1,-),则曲线C在点P处的切线的倾斜角为 A.309 B.45° C.60 D.120° 2.已知函数f(x)在x=处可导，且1imf(-2△)-f)=4,则()= △x→0 △x A.-8 B.-4 C.-2 D.8 3.函数f(x)=2x2在区间[0,4幻上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率的2倍，则 m= A.1 B.2 C.4 D.6 4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组上线新成昆铁路和达成铁 路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原 版”复兴号动车组列车全长236.7，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等 座、642个二等座，最高运行时速达160km,全列定额载客676人.假设“高原版”复兴 号动车组开出站一段时间内，速度v(/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t+ 0.3t,t∈[0,12]，则当t=10s时，该动车组的加速度为 A.4.4m/s2 B.7.4m/s C.17m/s2 D.20m/s2 5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f'(x),且满足f(x)十xf(x)=e,若f(1)=0,则 f(-1)= B.-1 C.0 e D.e-1 6.若直线l与函数f(x)=1+lnx,g(x)=er一1的图象都相切，则l的斜率为 A.0或1 B.1或 C.1或e D.或e 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论正确的是 A.若y=cos2,则y=一sin2 B若y=ogx-,则y-l21 C.若y=2r+2026,则y'=2rln2 D.若y=,则y=- 数学（北师大版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 8.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且g(x)=广(x),若f(-x小，g1+x)均 为奇函数，则 Af2)=0 B.g(1)=1 Cgx)的图象关于直线x=对称 D.g(3)=0 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.写出同时具有下列性质①②的函数f(x)的一个解析式为f(x)= ①f(x)的值域为[-3，十∞)；②当x∈[0，十∞)时，f'(x)≥0. 10.曲线y=-e2x-x十2上的点到直线3.x十y-4=0的距离的最小值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 求下列函数的导数： (1)y--sincos (2)y=x2-x+1 x2+x+1 (3)y=3rer-2r+e; (4)y=Inz x2+11 高二同步周测卷四 数学（北师大版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3一3.x2十1. (1)求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若直线l:9x-y-a=0与f(x)的图象相切，求a的值； (3)求过点(0,2)且与f(x)的图象相切的直线方程. 数学（北师大版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿(Isaac Newton, 1643一1727)在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如 下：设r是函数f(x)的一个零点，任意选取x作为r的初始近似值，曲线y= f(x)在点(xo,f(x)处的切线为l,设l1与x轴交点的横坐标为x1,并称x1为r 的1次近似值；曲线y=f(x)在点(.x1,f(x1)处的切线为l2,设l2与x轴交点的横 坐标为x2,称x2为r的2次近似值.一般地，曲线y=f(x)在点(x,f(xn) (n∈N)处的切线为l+1,记lm+1与x轴交点的横坐标为xu+1,并称xn+1为r的n十1 次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取x为方程∫(x)=0的近似 解.现在用这种方法求函数f(x)=x2一2的大于零的零点r的近似值，取x。=2. (1)求x1和x2; (2)求xm和xm-1的关系(n∈N*); (3)i证明：2n<空<2n+1u∈N, y=f(x)/ 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷四 数学（北师大版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 利用导数求切线的倾 1 选择题 0.80 斜角 选择题 5 导数的定义 易 0.72 平均变化率与瞬时变 3 选择题 5 易 0.70 化率 4 选择题 5 导函数的实际应用 中 0.55 5 选择题 5 借助导数构造函数求值 中 0.40 6 利用导数研究公切线 选择题 分 0.30 问题 7 选择题 6 导数公式 易 0.75 8 选择题 6 利用导数解决抽象函 数问题 L L 中 0.40 9 填空题 5 与导数有关的开放题 W 易 0.72 利用导数解决曲线上 10 填空题 5 点到直线的距离的最 中 0.35 值问题 11 解答题 13 导数的计算 中 0.60 12 15 由切线方程求参，求切 解答题 / / 中 0.35 线方程 13 解答题 20 与导数有关的新定义题 / 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 1,所以曲线C在点P处的切线的斜率为1，则倾斜角 1.B【解析】因为y=号-2，所以=，则)L1 为45°，故选B. ·77· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 2.C【解析】因为1mw-2△x)）-f)=4,所以 △x g(号十x小，所以g(x)的图象关于直线x=号对称， 号limf（o-2△x）-f(x) 故C正确；由g(x)的图象关于点(1,0)对称，且关于 △x 1imf(x-2△）-f(w）=一2，由导数的定义可知 直线x=号对称，可得g(x)的一个周期T=4× -2△x f(x)=一2.故选C. (是-1）=2，所以g(x）=g(x+2),又g1)=0,所 3.A【解析】函数f(x)=2x2在区间[0,4幻上的平均 以g(3)=g(1)=0,故D正确.故选ACD. 变化率为4)二f0)=2二0=8，f()=2x在x= 三、填空题 4一0 4-0 9.x2-3(答案不唯一)【解析】令f(x)=x2-3,则 m时的瞬时变化率为f'(m)=4m,于是得2×4n=8, f(x)≥-3，且当x∈[0，十o∞)时，f(x)=2x≥0，故 解得m=1.故选A. f(x)=x2-3符合题意. 4.B【解析】因为v=1.4t+0.3t,t∈[0,12]，所以 10.310 v=0.6t十1.4，故当t=10时，v=6+1.4=7.4,即 10 【解析】假设P是曲线y=一e2x一x十2上 t=10s时，该动车组的加速度为7.4m/s2.故选B. 的一个动点，当曲线在P处的切线与直线y 5.D【解析】由f(x)十xf(x)=e,即x'f(x)十 一3x十4平行时，所求的距离最小，设此时 xf(x)=e,得[xf(x)]'=e,所以xf(x)=er十 P(x0,),由题意得y=-2e2x-1,由-2e2。-1 c,c是常数，当x=1时，f(1)=e十c=0,所以c= =一3，得x=0,则y=1,所以所求距离的最小值 -e,所以xf(x)=e-e,当x=-1时，-f(-1)= 为0+1-4=30 101 e1-e,得f(-1)=e-合故选D, /10 四、解答题 6.C【解析】设直线l的方程为y=kx十b,l分别与两 1.解：(1)因为y=x-sin号cos号=x-sin, 函数图象相切于(xy),(m),f(x)=1 所以y=(x-smx}=-之(sinx)'=1- k= 1 g(x)=e,则 ,整理得b= 2 cos z. (3分) kx+b=1+In x 山k①曲十bc电一整理得加k+6 (2)因为y= x十1=+x+1-2= x2+x+1 x2+x+1 2x k-1②，联立①②可得(k-1)lnk=k-1,解得k= 1- x2+x+1' 1或k=e故选C. 所以y=一 2(x2+x+1)-2x(2x+1) 二、选择题 (x2+x+1)2 7.BC【解析】对于A,因为y=cos2为常函数，则y= 2x2-2 =(x+x+1) (6分) Q,故A错误；易知BC正确：对于D,因为y习 (3)y=(3e)′-(2r)'+e'=(3)'e+3r(e)' (2r)'=3'e·ln3+3e-2rln2=(3e)rln(3e) x士，所以y=-号x,故D错误故选BC 2In 2. (9分) 8.ACD【解析】对于f(x),因为f(号-x)为奇函 (4)y=n)'(x+)-(x+1)'·nz (x2十1)2 数，所以f(号-x)=-f(号+x),即（号-x）十 1（x2+1)-2xn-20-21n）+ (x2十1)2 x(x2+1)2 .(13分) f(号+x)=0,所以f(x)的图象关于点（号，0）对 12.解：(1)f(x)=3x2-6x,f(1)=-1,f(1)= -3, 称，则f(号)=0，故A正确：对于g(x),因为 即切点坐标为(1，一1)，切线斜率为一3，(2分) g(1十x)为奇函数，所以-g(1十x)=g(1-x),所 所以f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y+ 以g(x)的图象关于点(1,0)对称，即g(1)=0,故B 1=-3(x-1),即3x+y-2=0. (4分) (2)直线l9x-y-a=0的斜率为9， 错误：g(x)=f(x),[f(受-x)] 令f(x)=3x2-6x=9,解得x=-1或x=3, [-(号+x]},即-f(号-x)=-f(2+) (6分) 当x=-1时，f(-1)=-3, 即-g(号-)=-g(号+)小，所以g(-x) 将点(-1，-3)代入9x-y-a=0,得a=一6： (7分) ·78· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 当x=3时，f(3)=1, 令y=0,得xn= x-1十2 (10分) 将点(3,1)代入9x-y-a=0,得a=26. (8分) 2xm-1 综上，a的值为-6或26. (9分) (3)由(2)知，xn= x片十2 (3)设切点坐标为(x,x-3x号十1)，切线斜率k= 2x-1 3x6-6x0, 则切线方程为y-(x8-36十1)=(3z-6)(x 所以=(++4小 (12分) x0), (10分) 由几何意义易知√2<xn≤2， 由切线过点(0,2)，得2一(x-3x号十1)= 所以∑x>反n, (13分) (3x8-6x0)(-x0), (11分) 整理得(x6-1)2(2x十1)=0，解得x=1或x0= 由>2得云=（化++4）<（十 (13分) 当x6=1时，k=-3,此时切线方程为y=-3x十2： 号+4=子(x+6), 当。=一宁时-只，此时切线方程为y中十2 即x<十(x+6), (15分) 综上，切线方程为3x十y-2=0或15x-4y十8=0. 所以云-2<(1-2)<…<(）广（-2》 (15分) 13.解：(1)由题意得f′(x)=2x,f'(2)=4,f(2)= 4-2=2, (2分) 则4：y-2=4(x-2), 所以x,<√2+系<E+, (18分) 令y=0,得五=号 (3分) 又(2)=（受）-2=十()=8. u 1- 2-Em+1-安< 所以4y-=3(e-), (5分) √2n+1, 令y=0,得4-品 (6分) 所以2m< <Ea+1a∈N).(20分) (2)由题意得，l:y-(x-1一2)=2xm-1(x一工-1)， (8分) ·79·